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安徽省宿州市省、市示范高中皖北2024 2025学年高二下学期期中考试教学质量检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知平面内有两个向量，，设平面的法向量为，则可以为（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆与圆，则两圆圆心所在直线的方程为（ ）
A．或 B． C． D．
4．记为等比数列的前项和．若，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线l，M，N分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点．若是线段的中点，则的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．2025年1月16日在灵璧县钟灵文化广场举办了灵璧县第四届青年音乐节，节目均由青年人自导自演，展现了灵璧青年的独特风采和灵璧城市的魅力.若音乐节共6个节目，其中2个是个人歌唱表演，2个是舞蹈表演，1个大合唱，1个乐器合奏，要求第一个节目不能是大合唱，两个歌唱表演节目不相邻，现确定节目顺序，则不同的排法种数为（ ）
A．280 B．336 C．360 D．408
7．已知函数有两个不同的零点，则实数的最大值为（ ）
A．0 B． C． D．2e
8．已知各项非零的递增数列满足：，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知的展开式共有7项，则（ ）
A．展开式的所有项的系数和为1 B．二项式系数和为128
C．展开式中的系数与的系数和为128 D．所有项的系数绝对值之和为729
10．已知点是抛物线的焦点，直线经过点交抛物线于两点，与准线交于点，且为中点，则下面说法正确的是（ ）
A． B．直线的斜率是
C． D．设原点为，则的面积为
11．已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ）
A．数列为等差数列
B．数列为等比数列
C．
D．若，则数列的前项和
三、填空题（本大题共3小题）
12．直线与直线的距离为 ．
13．记为等差数列的前n项和．已知，则的最小值为 ．
14．设函数，若在上的最大值不小于4，则实数的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数在处取得极值.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间的最大值与最小值.
16．如图，在四棱锥中，底面，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.

(1)若，证明：平面平面；
(2)若底面为正方形，当平面与平面夹角为时，求的值.
17．已知数列的首项，且满足.
(1)求，；
(2)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(3)记数列的前项和为，证明：.
18．已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）．
①若的面积为，求直线的方程；
②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上．
19．对于无穷数列和函数，若，则称是数列的生成函数.
(1)定义在上的函数满足：对任意，有，且；又数列满足.求证：是数列的生成函数；
(2)在（1）的条件下，求数列的前项和.
(3)已知是数列的生成函数，且.若数列的前项和为，求证：.
（参考数据：）
参考答案
1．【答案】D
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选D.
2．【答案】B
【详解】因为为平面的法向量，所以且.
因为：；
；
.
所以ACD都不是.
因为，，所以B正确.
故选B.
3．【答案】C
【详解】圆的圆心为，
圆可化为，
所以圆心为，圆心所在直线的斜率为，所以两圆圆心所在直线的方程为.
故选C.
4．【答案】C
【详解】设等比数列的公比为，由得，可得，
所以，，
所以，.
故选C.
5．【答案】C
【详解】设双曲线的右焦点，过第一象限的渐近线方程为，
直线与直线交于点，交双曲线于点，
由M是线段的中点，得，则，，
所以C的渐近线方程为.
故选C
6．【答案】D
【详解】间接法：第一个节目不排大合唱，共有（种）不同的排法，第一个节目不排大合唱且两个歌唱节目相邻共（种），所以第一个节目不排大合唱且两个歌唱节目不相邻共有（种）排法，
故选D.
7．【答案】C
【详解】令，即得，即方程有两个不同的解，
即直线与曲线有两个不同的交点，
可得，
所以当或时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，有极小值为，
当时，有极大值为，
当时，，且当时，，
所以作出函数的图象如图所示，所以实数的最大值为.
故选C.
8．【答案】A
【详解】因为，，所以，
设，则，所以，
若，则，，矛盾，所以，故，
所以数列为以为首项，公比为2的等比数列，
所以，故，
若，则，数列为递增数列，且，
所以数列为递减数列，与已知矛盾；
若，则，所以数列为递减数列，
且，所以数列为递增数列，满足条件；
当时，，故，所以数列为递减数列，
令，可得，
所以当，且时，，
当，且时，，与条件矛盾，
所以的取值范围是，
故选A.
9．【答案】AD
【详解】因为的展开式共有7项，所以，
对于A，令，得的展开式中所有项的系数和为，所以A正确；
对于B选项，二项式系数和为，B错误；
对于C，因为展开式的通项公式为，
令，得，即的系数为，
又令，得，系数为，
所以这两项的系数和为，所以C错误；
对于D选项，由二项式的通项公式可知的系数正负交错排列，
所以令，得，所以D正确.
故选AD.
10．【答案】ABC
【详解】
设，，，
由向准线作垂线，垂足为，由向准线作垂线，垂足为，连接,，
由题知，直线的斜率一定存在且不为0，
设直线的斜率为，则直线的方程为：，
联立得，
，，，
对于A，为中点，∽，
，，，，
，故A正确；
对于B，，，，
，，，
，，解得，，故B正确；
对于C，，
，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选ABC.
11．【答案】BCD
【详解】对于A选项，由条件可得，，且，
所以，则数列是首项和公比均为2的等比数列，
故，故A错误；
对于B选项，由已知等式变形得，且，
所以，则数列是首项和公比均为1的等比数列，
则，故B正确；
对于C选项，由，可得，
所以，故C正确；
对于D选项，若，
则数列的前项和为，故D正确.
故选BCD.
12．【答案】/1.1
【详解】设直线即与直线的距离为，
则.
13．【答案】
【详解】设等差数列的公差为，
根据，可得，解得，
则，
因为，所以当或时，有最小值为.
14．【答案】
【详解】的定义域为，，
，，，在上单调递增，
故在上的最大值为，即.
15．【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为.
(2)最大值为2，最小值为.
【详解】（1）由题意得，由题意得，即，解得，
故，定义域为R，
，令得或，令得，
故在，上单调递增，在上单调递减，
易知为极小值点，符合题意，
所以单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减，
1
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以，.
又，，
故的最大值为2，最小值为.
16．【答案】(1)证明见解析
(2).
【详解】（1）证明：平面，平面，，
又，而，平面，平面，
平面，，
，为的中点，，
而，且平面，平面，
平面，
平面平面.
（2）由底面为正方形及底面，，AD，AP两两垂直，
以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系

不妨设，则，，，，，，
设，
设平面的一个法向量为，，
则，取，则，，得，
设平面的一个法向量为，，
则，取，则得，
因为平面与平面的夹角为，
所以，
解得，所以.
17．【答案】(1)，.
(2)证明见解析，
(3)证明见解析.
【详解】（1），.
（2）由得，且，
所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，所以，
所以数列的通项公式为.
（3）由（2）可知，，
所以，
又因为，所以.
18．【答案】(1)
(2)① ；②证明见解析
【详解】（1）由题意可知，，所以．
又，
所以椭圆的方程为；
（2）①设过点的直线方程为，点，
联立，得，
则，
则．
又因为点到直线的距离．
令，解得，
所以直线的方程为．
②由①知，
则直线，直线，
由，整理得．
由①知，得，
所以，
即，解得，
所以点在直线上．

19．【答案】(1)证明见解析.
(2).
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意知：，，
又，，即，
所以是数列的生成函数；
（2）由（1）知：，又，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
，，
所以
，
两式相减得：，
所以.
（3）由题意知：，，
，
，
，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，
又，，，
则当时，，
即，.

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