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2024-2025学年北京市东城区东直门中学高二（下）期中数学试卷
一、选择题：（共10小题，每题4分）
1．（4分）已知函数f（x）＝sinx，则（　　）
A． B．1 C． D．
2．（4分）下列求导运算正确的是（　　）
A． B．
C．（2x）′＝2x D．
3．（4分）有7件产品，其中4件正品，3件次品，现不放回从中取2件产品，每次一件，则在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（　　）
A．0.92 B．0.93 C．0.94 D．0.95
5．（4分）在的展开式中，x3的系数为10，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
6．（4分）如果记录了x，y的几组数据分别为（0，1），（1，3），（2，5），（3，7），（4，9），那么y关于x的经验回归直线必过点（　　）
A．（2，5） B．（1.5，2） C．（1，2） D．（1.5，4）
7．（4分）从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，则不同的组队方案共有（　　）
A．60种 B．50种 C．40种 D．30种
8．（4分）已知函数f（x）＝x3+ax2+2x，则“a≤1”是“f（x）在R上单调递增”的（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
9．（4分）函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
10．（4分）甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1～6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌X次，则P（X＝4）＝（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：（共5小题，每题5分）
11．（5分）已知随机变量X～N（2，σ2）（σ＞0），若P（X＜4）＝0.8，则P（2＜X＜4）＝　 　 ．
12．（5分）已知a为常数，n∈N*，的展开式中各项系数的和与二项式系数的和均为32，则展开式中x的系数为 　 　 （用数字作答）．
13．（5分）随机变量X服从两点分布，若P（X＝0），则下列结论中：
①P（X＝1）；
②D（X）；
③E（2X+1）；
④D（2X+1）．
正确结论的序号有 　 　 ．
14．（5分）关于x的方程2|x+a|＝ex有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为　 　 ．
15．（5分）同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，转化为形式结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题．如y＝aea与y＝blnb（可化为lnb elnb）可以同构为f（x）＝xex．若已知axeax﹣ax≥xlnx﹣lnx，（a＞0，x＞1）恒成立，则a的取值范围是 　 　 ．
三、问答题：（共6小题，共85分）
16．（15分）将6个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1 6．现从中任取3个球，以X表示取出球的最大号码．
（1）求X的分布列；
（2）求X的期望及方差．
17．（14分）已知函数f（x）＝lnx﹣x+1，
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））点处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值点和极值．
18．（14分）近年来，我国电影市场非常火爆，有多部优秀国产电影陆续上映，某影评网站统计了100名观众对某部电影的评分情况，得到如下表格：
评价等级 ★ ★★ ★★★ ★★★★ ★★★★★
人数 2 3 10 10 75
以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立．从全国所有观众中随机抽取4名，
（1）求恰有3人评价为五星，1人评价为四星的概率；
（2）记其中评价为五星的观众人数为X，求X的分布列与数学期望．
19．（14分）已知函数．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：xf（x）+e﹣x＞a．
20．（14分）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M（0，1），离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点（﹣1，﹣1）的直线交椭圆C于A，B两点，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，证明：k1与k2的和为定值．
21．（14分）如图，设A是由nxn（n≥3）个实数组成的n行n列的数表，其中aij表示位于第i行第j列的实数，且满足ai1，ai2，…，ain（i＝1，2，…，n）与a1j，a2j，…，anj（j＝1，2，…，n）均是公差不为0的等差数列．
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
…
an1 an2 … ann
若根据条件p，能求出数表A中所有的数，则称A能被p确定．
（Ⅰ）已知n＝3，分别根据下列条件，直接判断数表A能否被其确定：
条件p1：“已知a13，a22，a31”；
条件p2：“已知a12，a21，a23，a33”．
（Ⅱ）设条件p：“任意给定数表A中的m个数”，A能被p确定，证明：m的最小值为2n；
（Ⅲ）设条件p：“已知集合{aij|i＝j或i+j＝n+1，其中i＝1，2，…，n}中的任意k个元素”，求k的最小值，使得A能被p确定．
2024-2025学年北京市东城区东直门中学高二（下）期中数学试卷
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B B D A D D A D
二、填空题：（共5小题，每题5分）
11．0.3．
12．270．
13．①②④．
14．（1﹣ln2，+∞）．
15．．
三、问答题：（共6小题，共85分）
16．解：（1）由已知可得随机变量X的可能取值有：3，4，5，6，
所以，
所以X的分布列为：
X 3 4 5 6
P
（2）E（X）＝3456，
D（X）＝（3）2（4）2（5）2（6）2．
17．解：（1）由题意得，
则f′（1）＝0，又f（1）＝0，所以切点坐标为（1，0），
所以所求切线方程为y＝0．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，
由f′（x）＞0，得0＜x＜1；由f′（x）＜0，得x＞1，
函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
所以函数f（x）的极大值点为1，极大值f（1）＝0，无极小值．
18．解：（1）依题意样本中抽取1人，评价为五星的频率为，评价为四星的频率为，
所以从全国所有观众中随机抽取4名，恰有3人评价为五星，1人评价为四星的概率；
（2）依题意X的可能取值为0、1、2、3、4，且，
所以，
，
，
所以随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
所以．
19．解：（1），
，
当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，
所以函数f（x）在（0，+∞）上递增，
当a＞0时，x∈（0，a）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
综上所述，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间，
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（a，+∞），单调减区间为（0，a）．
（2）证明：由（1）知，当a＝1时，，且f（x）≥f（1）＝1，
所以xlnx+1≥x，
因为，
所以不等式xf（x）+e﹣x＞a等价于xlnx+e﹣x＞0，
令g（x）＝x+e﹣x﹣1，则在x＞0时恒成立，
所以函数g（x）在（0，+∞）上递增，
所以当x＞0时，g（x）＞g（0）＝0，
又xlnx+1≥x，则xlnx≥x﹣1，
所以xlnx+e﹣x≥x﹣1+e﹣x＞0，
所以xlnx+e﹣x＞0，
所以xf（x）+e﹣x＞a．
20．解：（1）根据题目：椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，
上顶点为M（0，1），离心率为．得b＝1，
由椭圆C的离心率为，得，解得，
所以椭圆C的方程为：．
（2）证明：由题：过点（﹣1，﹣1）的直线交椭圆C于A，B两点，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝k（x+1）﹣1，k≠2，A（x1，y1），B（x2，y2），
由消去x得：（2k2+1）x2+4k（k﹣1）x+2（k﹣1）2﹣2＝0，
Δ＝16k2（k﹣1）2﹣8（2k2+1）[（k﹣1）2﹣1]＝8（k2+2k）＞0，解得k＜﹣2或k＞0，
，，
因此，
当直线AB斜率不存在时，由，得，
不妨令，则，
所以k1与k2的和为定值2．
21．解：（Ⅰ）数表A不能被p1确定；数表A能被p2确定，
对于条件p1，假设数表A中每行、每列的公差都相等，均为d，
则a13＝a11+2d，a31＝a11+2d，a22＝a12+d＝a11+2d，
则a13＝a22＝a31＝a11+2d，a11、d均无法确定，故数表A不能被p1确定；
对于条件p2，因为a21、a23确定，可以根据确定a22，则第二行可以全部确定，
低于第二列，由于确定a12，结合a22可确定第二列的公差，进而可求出a32，则第二列可以全部确定，
对于第三行，由于确定了a33，结合a23可求出第三行的公差，由此可确定a31，则第三行可以全部确定，
对于第一列，由于确定了a31、a21可以求出第一列的公差，由此可确定a11，则第一列可以全部确定，
综上所述，数表A可由条件p2确定；
（Ⅱ）证明：对于一个公差为d的等差数列a1，a2， ，an，若知其中两项ai与aj（1≤i＜j≤n），
便可根据，a1＝ai﹣（i﹣1）d求出该等差数列中的每一项，
故对于数表A中的任意一行（或列），若知道其中的两个数，便可利用条件得到该行（或列）中的所有数，
一方面，若知a11，a12， ，a1n，a21，a31， ，an1这2n﹣1个数，
则无法求出a22，故不能得出数表A中所有的数，所以m＞2n﹣1，
另一方面，若知数表A中的任意2n个数，则必存在表A中的两行，且这两行中至少有两个数已知，
于是数表A中这两行的数都能被求出，即数表A中每一列都至少有两个数已知，
所以数表A中所有的数都能求出，即A能被p确定，
综上，m的最小值为2n；
（Ⅲ）当k≤n时，若知aii（i＝1，2， ，n）中的k个数，则不能求出A中所有的数，
当k＝n+1时，已知aii（i＝1，2， ，n）与aij（i+j＝n+1）中的任意n+1个数，
则必存在两个数在A中位于同一行（记为第s行），从而可求出这一行中的所有数，
因为aii（i＝1，2， ，n）与aij（i+j＝n+1）中至多有两个数在同一行，
所以除去第s行的两个数外，余下已知的n﹣1个数必在其余的n﹣1行中，
当n＝3时，通过列举可知：余下已知的2个数不在同一列中（所在列分别记为第g列和第h列）；
当n＞3时，n﹣1≥3，
因为在aii（i＝1，2， ，n）与aij（i+j＝n+1）中至多有两个数在同一列，
所以至少有两列（记为第g列和第h列）中含有这已知的n﹣1数中的数，
又因为第s行的数均已得到，
所以在第g列与第h列中均至少知道两个数，故这两列中所有的数都可求出，
于是数表A中每一行至少有两个数均已得到，从而可求出数表A中所有的数，
综上，k的最小值为n+1．

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