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福建省福州市福九联盟（高中）2024 2025学年高二下学期期中联考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．在等比数列中，，，则的公比为（ ）
A． B． C． D．
2．下列求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．平潭岛是祖国大陆距离台湾最近的地方，岛上的龙凤头海滨浴场（沙滩玩耍或观赏日出）、猴研岛（离台湾最近地方）、长江澳风车田（日落美景）、壳丘头遗址博物馆（了解南岛语族文化）自然风光优美、文化底蕴深厚，是游客喜欢的打卡景点.某天甲、乙、丙三位同学准备从这个景点任选一个景点游玩，则不同游玩方案的种数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的图象如图所示，则的解析式可以是（ ）

A． B．
C． D．
5．已知函数在处取得极大值，则实数的取值为（ ）
A．或1 B．2或 C． D．1
6．渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每个月延迟个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示：
出生时间 年月—月 年月—月 年月—月 年月—月 ……
改革后法定退休年龄 岁个月 岁个月 岁个月 岁个月 ……
那么年月出生的男职工退休年龄为（ ）
A．岁个月 B．岁个月 C．岁个月 D．岁个月
7．有4张分别标有数字1、2、3、4的红色卡片和4张标有1、2、3、4的蓝色卡片，从这8张卡片中任选4张排成一列，如果4张卡片上的数字之和等于10，则不同的排列种数为（ ）
A．72 B．144 C．288 D．432
8．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知二项式的展开式中各二项式系数和为，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式共有项 B．二项式系数最大的项是第项
C．展开式的常数项为 D．展开式中各项的系数和为
10．已知椭圆的左，右焦点为，，，分别为它的左右顶点，点为椭圆上的动点（不在轴上），下列选项正确的是（）
A．的周长为 B．存在点使得
C．直线与直线的斜率乘积为 D．的最小值为1
11．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为；
B．有两个零点；
C．若点是函数图象上的动点，则点到直线距离的最小值为
D．若恒成立，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则
13．如图，将一张的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则剪下的小正方形的边长为 cm时，这个纸盒的容积最大.
14．“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧，已知函数，，若，则的最小值为
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列的前项和为，对一切正整数，点在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
16．已知函数
(1)求的极值；
(2)证明：
17．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，且，，，分别为，的中点.
(1)求证：平面；
(2)若与底面所成角的正切值为2，求平面与平面所成角的余弦值.
18．设函数
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若，讨论在上的单调性；
(3)当时，，求实数的取值范围.
19．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的乘积，形成一个新数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“延拓”.如数列1，2第一次“延拓”后得到数列1，2，2，第二次“延拓”后得到数列1，2，2，4，2.将数列，，经过次“延拓”后所得数列的项数记为、所有项的乘积记为.
(1)给定数列，，，回答下列问题：
①写出该数列的第一次与第二次“延拓”后得到的数列，并求出与的值；
②将定数列，，经过次“延拓”后所得数列的项数记为，现将，，，，构成数列，求的值；
(2)已知数列，，，其中，，，该数列经过3次“延拓”后，能被45整除，则满足上述条件的数列，，有几个？
参考答案
1．【答案】A
【详解】，，
.
故选A.
2．【答案】B
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选B.
3．【答案】C
【详解】因为每位同学均有种选择，由分步计数原理可知，不同游玩方案的种数为，
故选C.
4．【答案】B
【详解】由图象知函数图象关于原点对称，则函数是奇函数，
对于A，定义域为，因为，所以此函数是偶函数，不满足条件，排除A，
对于D，定义域为，因为，且，
所以此函数是非奇非偶函数，不满足条件，排除D，
对于C，因为和在上为增函数，所以在上为增函数，不满足条件，排除C，
对于B，定义域为，因为，所以此函数是奇函数，当时，，则，所以当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减；
又因为，且时，，故B选项符合题意.
故选B．
5．【答案】C
【详解】由函数，可得，
因为是函数的极值点，可得，
即，解得或，
当时，，
令，解得或；令，解得，
所以在区间上单调递增，在区间单调递减，
此时，在处函数取得极小值，不符合题意，舍去；
当时，，
令，解得；令，解得或，
所以在区间上单调递减，在区间单调递增，
此时，在处函数取得极大值，符合题意，
综上可得，实数的值为.
故选C.
6．【答案】C
【详解】由题知每个月延迟个月，则每年延迟个月，
所以年月出生的男职工退休年龄延迟个月，又，故退休年龄为岁个月，
故选C.
7．【答案】D
【详解】分三类：
第一类，当所取的4张卡片上分别标有1，2，3，4时，满足题意的不同排法共有（种）；
第二类，当所取的4张卡片上分别标有1，1，4，4时，满足题意的不同排法共有（种）；
第三类，当所取的4张卡片上分别标有2，2，3，3时，满足题意的不同排法共有（种）；
因此，满足题意的所有不同的排法共有（种）.
故选D.
8．【答案】C
【详解】因为函数在区间上单调递增，，
所以，即，
则有，故.
记，则，
当时，，所以在上单调递减，
因为，所以，即，即.
综上可得：.
故选C.
9．【答案】BD
【详解】由题知，得到，所以展开式共有项，故选项A错误，
对于选项B，因为，由二项式系数的性质知二项式系数最大的项是第项，所以选项B正角，
对于选项C，二项式的展开式的通项公式为，
由，得到，所以展开式的常数项为，所以选项C错误，
对于选项D，令，则，所以展开式中各项的系数和为，故选项D正确，
故选BD.
10．【答案】ABD
【详解】椭圆，则，则，
对于A：因为，所以的周长为，故A正确；
对于B：当在椭圆的短轴顶点时取得最大值，
不妨取，此时，
所以为钝角，所以存在点使得，B正确；
对于C：因为，设，
则，故C错误；
对于D：因为，
所以
，
当且仅当，即时取等号，故D正确；
故选ABD.
11．【答案】ACD
【详解】对于A，由于，所以，
令，解得，
若，，若，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，故A正确；
对于B，时，，当，，
时，，当，，，
所以有一个零点，故B错误；
对于C，在点处的切线与直线平行时，点到直线距离最小，
令，解得，所以，
所以切点为，故到直线的距离为：.故C正确；
对于D，等价于（*），
设，等价于，
则，
①当时，，则在上单调递增，
又，若，则与（*）矛盾舍去.
②当时，由可知，满足，
，，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，
令，则，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，，
即，与取交集，.故D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】因为，则或，解得或，
又，所以，则.
13．【答案】1
【详解】设剪下的小正方形的边长为，
由题知纸盒的容积为，
则，令，得到（舍）或，
所以当时，，当时，，
则的增区间为，减区间为
所以在处取到最大值，最大值为.
14．【答案】1
【详解】依题意：，即，
则，
设，则在恒成立，
所以函数在上单调递增，则，
，
令，显然在上单调递增，,
设，，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题设知，当时，，
当时，，
经验证，满足，
所以.
（2）因为，则，
又为常数，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以
.
16．【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)证明见解析
【详解】（1）易知的定义域为，又，
令，得到，当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在处取极小值，极小值为，无极大值.
（2）要证明，即证明，
即证明恒成立，令，
则，令，得到，
易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则，即恒成立，
所以成立.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
连接，交与点，连接.
因为底面是菱形，所以点是的中点
又因为为的中点，所以
因为平面，且平面，
因此平面；
（2）
因为平面，所以在平面上的射影为，
所以为与底面所成角.
所以，因为，则
方法一：
因为底面是菱形，，设中点为，易知，，两两互相垂直，
故以点A为坐标原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
显然平面的一个法向量是，
而，，
设平面的一个法向量为，
则
令，解得，， ，
故
所以平面与平面所成角的余弦值为.
方法二：
如图：取的中点，因为为中点，所以
由已知平面，所以平面，
底面是菱形，，
故以点为坐标原点，，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系
且，
则，，，，，，
显然平面的一个法向量是，
则 ，
设平面的法向量为，
则
取，解得，，所以，
故
所以平面与平面所成角的余弦值为
法三：
因为平面，所以在平面上的射影为，
所以为与底面所成角.
所以，因为，则
过点作的平行线交的延长线于，交的延长线于，
由于，则，因此、、、四点共面
所以平面平面，
过点作交于，则面，
因为面，所以，
过点作于，连接，
又，所以平面，
因为平面，所以，
所以为平面与底面所成角，
因为为的中点，则，
因为底面是菱形，，
所以，，则
在中，
所以
即平面与平面所成角的余弦值为.
18．【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）当时，，
，即切点为，
，则切线的斜率，
切线的方程为，即.
（2）依题意定义域为，
，
①若，则，，即在上单调递增，
②若，由，则，
当时，则，，在上单调递增，
当时，则，时，，时，，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增，
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在区间单调递减，在区间上单调递增，
（3），
依题意当时，，整理可得（*），
当时，，（*）成立---①，
当时，（*）可变式为成立，
设，等价于---②，
，
设，，
， ，，
则在区间上单调递减，，
因为时，，时，，
在区间在单调递增，在区间在单调递减，则，
由②可知，当时，，只需满足，
由①②可得，当时，成立，实数的取值范围.
19．【答案】(1)①第一次得到数列：1，2，2，，， 第2次得到数列：1，2，2，4，2，，，2，；，；
②
(2)96
【详解】（1）①数列1，2，第一次“延拓”后得到数列1，2，2，，，
第2次“延拓”后得到数列1，2，2，4，2，，，2，，
，.
②数列1，2，第次“延拓”后得到数列，记为，，，，，
第次“延拓”后，每两项之间添加1项，共添加了项，
总项数，
故，即，又，即，
是首项为4，公比为2的等比数列，
，即，
令
则



.
（2）由题设可知，，，，而，
故要使能被45整除，则，，中既要有能被5整除的数，又要有能被3整除的数.
令集合，，，
①在集合，，中各取一个数构成数列，共有个；
②在集合中取两次数，集合中取一个数构成数列，共有个；
③在集合中取两次数，集合中取一个数构成数列，共有个.
综上所述满足条件的数列共有

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