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广东省部分学校2023 2024学年高二下学期联合教学质量检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知数据的平均数，方差，则的平均数和方差分别为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数的最小正周期为．则在的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
3．已知等差数列满足，且，则首项（ ）
A． B．0 C．1 D．3
4．5名同学站成一排拍照，甲、乙要求站在一起，丙不站在两端，则不同的安排方法数有（ ）
A．24 B．12 C．48 D．36
5．已知直线与椭圆相切，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．四棱锥至多有几个面是直角三角形？（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．某校举办了一次法律知识竞赛，为了解学生的法律知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校2400名学生中抽取了一个容量为200的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图.对于该组数据，下列说法正确的是（ ）
A．样本的众数为70
B．样本中得分在区间内的学生人数的频率为0.03
C．用样本数据估计该校学生成绩在80分以上的人数约为600人
D．用样本数据估计该校学生成绩平均数约为71.5
10．已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为4
C．当时，则 D．当时，则
11．如图所示，正四棱台中，，点在四边形内，点是上靠近点的三等分点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．该正四棱台的高为
C．若.，则动点的轨迹长度是
D．过点的平面与平面平行，则平面截该正四棱台所得截面多边形的面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．2022年10月梦天实验舱发射，标志着中国空间站三舱“T”字的基本构型完成.除了梦天实验舱外，中国空间站的基本构型还包括天和核心舱和问天实验舱．假设要安排3名中国航天员和2名国际航天员前往中国空间站开展实验，每个舱段必须安排至少一人，天和核心舱需要安排3人，且两名国际航天员不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有 种．
13．已知某圆台的上底面和下底面的面积之比为，轴截面面积为6，母线长为上底面半径的倍，则该圆台的体积为 .
14．已知函数对任意一个负数x，不等式恒成立，则整数a的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)点是上的一点，，且，求周长的最小值.
16．已知数列满足且.
(1)求的通项公式.
(2)设的前项和为，表示不大于的最大整数.
①求；
②证明：当时，为定值.
17．已知x为正实数，展开式的二项式系数和为256．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中含的项；
(3)若第k项是有理项，求k的取值集合．
18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，且，，，点E，F分别为棱，的中点.
(1)若平面平面，
①求证：；
②求三棱锥的体积；
(2)若，请作出四棱锥过点，，三点的截面，并求出截面的周长.
19．已知椭圆过点，离心率为.不过原点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且.
(1)证明：直线的斜率为定值；
(2)求面积的最大值.
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为的平均数是10，方差是10，
则，，
所以的平均数是，
方差是
故选：A.
2．【答案】A
【详解】，由得，
即，当时，，
画出图象，如下图，
由图可知，在上递减，
所以，当时，
故选：A
3．【答案】C
【详解】设等差数列的公差为，
因为，且，
所以，所以．
故选：C．
4．【答案】A
【详解】将甲乙捆绑，有种情况，将甲和乙看作一个整体，
和除丙外的两个人进行全排列，有种情况，
然后将丙进行插空，两边的空不插，共有2空，故有种情况，
综上，不同的安排方法数有.
故选：A
5．【答案】C
【详解】依题意，联立，得，
化解得，
因为直线与椭圆相切，
所以，
化简整理得，所以.
故选：C.
6．【答案】C
【详解】在正方体中，取四棱锥，
其四个侧面均为直角三角形，又四棱锥仅有四个三角形面，所以四棱锥至多有四个面是直角三角形.
故选：C.
7．【答案】B
【详解】由函数，可得，
因为函数在区间上单调递减，
可得在恒成立，即恒成立，
设，则，所以，
所以在单调递减，所以.
故选：B．
8．【答案】C
【详解】因为在内单调递增，
则，即，
又因为在内单调递增，
则，，可得；
令，则，，
构建，
则，
可知在上递减，则，即；
综上所述：.
故选：C.
9．【答案】ACD
【详解】对A,众数为区间的中点横坐标70，A选项正确；
对B,由，得，得分在区间内的学生人数的频率为0.3 ，B选项错误；
对C,样本中成绩在80分以上的频率约为，用样本估计总体，
总体人数为2400人，其中成绩在80分以上的人数约为，C选项正确；
对D,样本平均数为，D选项正确.
故选：ACD.
10．【答案】AD
【详解】设在复平面内的对应点分别为，
由得，所以在直线上.
由得，所以在圆上.
如图所示：
对于A：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离，
所以的最小值为，故A正确；
对于B：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离，
所以的最小值为，故B错误；
对于CD：因为是方程在复数范围内的两根，
所以.
若，即或，此时，
由得或，
∴当或时，；
当时，，故C错误；
若，即，此时，为一对共轭虚根，
，故D正确.
故选：AD.
11．【答案】AD
【详解】对于选项，因为，所以，
由余弦定理可知，
即，解得，
所以，即，同理可得，
又因为，平面，所以平面，故正确；对于选项，如图①所示，过点作，垂足为，则四棱台的高为，因为，所以，为上靠近点的四等分点，
所以，故错误；
对于选项，由勾股定理得，
故点的轨迹为以为圆心，以6为半径的圆在正方形内部的部分，如图②，
圆与相交于点，与相交于点，
过点作，垂足为，，垂足为，
为上靠近点的四等分点，则，，
又，由勾股定理得，
由于，所以，故，
故动点的轨迹长度是，故C错误；
对于D选项，如图①，分别在棱上取点，使得，则有，
平面，平面，平面，
同理平面，，平面
所以平面平面，
所以即为平面截该四棱台所得截面多边形，
，所以，
所以截面多边形的面积为，故D正确，
故选：AD.
12．【答案】14
【详解】根据题意，分2步进行分析：
①在5名航天员中选出3人，在天和核心舱工作，两名国际航天员不能同时入选，有种安排方法，
②剩下2人安排到问天实验舱与梦天实验舱工作，有2种情况，
则有种安排方法，
故答案为：14
13．【答案】
【详解】如图所示，设圆台的上下底面中心分别为,为其轴截面.
由题意得，设，则，
在轴截面中过点作⊥于点，则，
故，
由勾股定理，
轴截面的面积为，解得，
故圆台上底面半径，下底面半径，高，
故该圆台的体积为.
故答案为：
14．【答案】2
【详解】对任意一个负数x，不等式恒成立，即对恒成立，
设，则，
设，则，令，解得，
当时，，故单调递减，当时，，故单调递增，
又，，时，
故存在，使得，即，
当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值，因为中，，，
故，所以的最大值，
当时，，又整数，所以整数a的最小值为2．
故答案为：2
15．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由二倍角公式得，
故由正弦定理得，而，
故，
则；
（2）设，设，则，
在中，，即
在中，，即
周长.
令，则
.
即周长最小值为.
16．【答案】(1)
(2)①；②证明见解析
【详解】（1）由，则，即，
则数列是以为公差的等差数列，又，
故，即；
（2）①由，则，
，
则
，
故；
②令，则，
则，
故数列为单调递减数列，又，
故当时，，故，
即当时，恒成立，即为定值.
17．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在展开式的二项式系数和为256，
即，
，
展开式中二项式系数最大的项中间项，即第5项，
所以，
（2），
由，所以展开式中含的项是第2项，
所以
（3），
当为整数时为有理项，即，
则k的取值集合
18．【答案】(1)①证明见解析.②
(2)
【详解】（1）①因为平面平面平面平面
又因为底面为直角梯形，其中
所以又因为面
所以面又因为面所以
②由①知面取的中点设为连结则则面
则点到面的距离为
又因为在直角梯形中，，
解得所以在等腰三角形中
三棱锥的体积
（2）取线段的中点，连接，
因为，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又分别为线段，
所以，
所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面，
则，，，
在中，，，
所以，
则，
所以截面周长为.
19．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意，解得，
所以椭圆的标准方程为，
设，
由得，
，
，
解得，
所以直线的斜率为定值；
（2）由（1）得，
与椭圆方程联立得，
则，
，
点到直线的距离，
的面积，
令，
则，
令，解得，即在上单调递增，
令，解得或，即在和上单调递减，
又，
所以当时，取到最大值，
所以的面积得最大值为.

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