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广东省广州市广东实验中学越秀学校2024 2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．在等差数列中，已知，则数列的前项之和为（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．某跳水运动员在距离地面3m高的跳台上练习跳水，其重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）的函数关系是，则该运动员在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
4．若，则（ ）
A．5 B．20 C．60 D．120
5．将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（ ）
A．120 B．300 C．180 D．150
6．已知，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
7．在上的导函数为，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知数列的各项均为正数，且，对于任意的，均有， .若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（ ）
A．599 B． C．554 D．568
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知 ，则（ ）
A．展开式中的常数项为1 B．展开式中各项系数之和为0
C．展开式中二项式系数最大的项为第1012项 D．
10．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种
B．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种
C．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种
D．如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有20种
11．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为，如的前项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，记为，的前项和记为，则下列说法正确的有（ ）
A． B．的前项和
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知等比数列的前项积为，若，则 .
13．如图，对、、、、五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有 种.
14．设，若函数在内存在极值点，则的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数 的图象在点 处的切线方程为 .
(1)求 的值；
(2)求 在区间 上的最大值与最小值.
16．如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且，是棱上动点.
(1)证明：平面.
(2)线段上是否存在点，使二面角的余弦值是？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
17．已知各项均为正数的数列，其前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前项和；
(3)若，求数列的前项和为
18．设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求的极值点个数．
19．已知椭圆的下焦点为，其离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过的直线与椭圆交于两点（直线与坐标轴不垂直），过作轴的垂线，垂足分别为，若直线与交于点，证明：点的纵坐标为定值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】设等差数列的前项和为，则.
故选C.
2．【答案】D
【详解】根据题意，，
所以.
故选D.
3．【答案】D
【详解】由，求导得，
所以该运动员在时的瞬时速度为（）.
故选D.
4．【答案】D
【详解】因为，所以或，
解得（舍去）或，
所以.
故选D.
5．【答案】D
【详解】将5名党员志愿者分成三组，各组人数分别为1，1，3或1，2，2．
当各组人数为1，1，3时，共有种安排方法；
当各组人数为1，2，2时，共有种安排方法．
所以不同的安排方法有种．
故选D.
6．【答案】C
【详解】因，
且①
则，②
由①+②可得：，
故.
故选C.
7．【答案】A
【详解】令，
则，
，，
在上单调递增，
，即，
.
故选A.
8．【答案】D
【详解】因为，所以，又因为，所以，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即，
所以，，
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，即，
所以，，
由得，所以，
所以
.
故选D.
9．【答案】AD
【详解】A选项，中，令得，
，常数项为1，A正确；
B选项，中，令得，
，展开式中各项系数之和为1，B错误；
C选项，展开式共有2025项，根据二项式系数的单调性和对称性，
二项式系数最大的项为第项，C错误；
D选项，中，令得，
，
又，故，D正确.
故选AD.
10．【答案】ABD
【详解】A，如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有种，故A正确；
B.B，如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有种，故B正确；
C，如果甲乙不相邻，则不同排法共有种，故C错误；
D，如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有种，故D正确．
故选ABD.
11．【答案】BCD
【详解】从第一行开始，每一行的数依次对应的二项式系数，
所以，所以为等比数列，，
所以，故A错误；
，
故的前项和为，
故B正确；
去掉每一行中的1以后，每一行剩下的项数分别为0，1，2，3…，构成一个等差数列，
项数之和为，则的最大整数为11，此时,
杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1，
取的就是第12行中的第3项，，故C正确；
是中去掉22个1，再加上第12行中的第2项和第3项，
所以，故D正确.
故选BCD．
12．【答案】
【详解】由题意得，，
∵，
∴，
∴.
13．【答案】
【详解】先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择，
接下涂、区域，若、区域颜色相同，则区域有种选择；
若、区域颜色不同，则区域有种选择，区域有种选择；
最后涂区域，有种选择，
由分类加法和分步乘法计数原理可知，不同的涂色方法种数为种.
14．【答案】
【详解】因为，则，
令，则函数在区间内存在异号零点，
对任意的恒成立，
所以，函数在区间上单调递增，
由题意可得，解得，
因此，实数的取值范围是.
15．【答案】(1)
(2)最大值为10，最小值为-10
【详解】（1）解：因为函数 ，
所以，
因为函数在点 处的切线方程为 ，
所以，
解得；
（2）由（1）知：，
令，得，
随x的变换变换如下表
x 1 3
10 6 10
由表知：在区间 上的最大值为10，最小值为-10.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）连接，交于点，
四边形为正方形，；
平面，平面，，
又，平面，平面.
（2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，
假设在线段上存在点，使得二面角的余弦值为，
设，则，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
由（1）知：平面，平面的一个法向量为；
，解得：，
当，即时，二面角的余弦值为.
17．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）当时，由，得，得，
由，得，两式相减，
得，即，
即.
因为数列各项均为正数，所以，所以
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.
因此，
（2）由（1）得，
，
则，
两式相减得
（3）由（1）知，所以.
所以.
所以
18．【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)3个
【详解】（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，
所以，，
则，解得，
所以.
（2）由（1）得，
则，
令，解得，不妨设，，则，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，，即
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，在上单调递减，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
所以在上有一个极大值点；
当时，在上单调递增，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，，
所以，则单调递增，
所以在上无极值点；
综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可知，，
解得，
故椭圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为，
，则，
由，得，且，
则，
易知直线与的斜率均存在，
则直线的方程为①，
直线的方程为②，
联立①②消去得，
，
故点的纵坐标为定值.

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