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广东省汕头市潮阳实验学校2024~2025学年高二下学期第一次月考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，若向量与垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆锥的母线长为6，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
6．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的所有零点从小到大依次记为，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知对于，都有，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．2024年4月30日国家统计局发布了制造业采购经理指数（PMI），如图所示．下列说法正确的是（ ）
（%）与上月比较无变化
A．从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的第75百分位数为
B．从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的极差为
C．从2023年4月到2024年4月制造业采购经理指数（PMI）呈下降趋势
D．PMI大于表示经济处于扩张活跃的状态，PMI小于表示经济处于低迷萎缩的状态，则2024年3月到2024年4月，经济处于扩张活跃的状态
10．已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A．等差数列的公差 B．的最大值为
C． D．
11．数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（ ）
A．曲线与直线有3个公共点；
B．的最大值为4
C．曲线所围成的图形的面积为
D．的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知分别为双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则双曲线的离心率为 ．
13．甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{1,2,3,4,5,6}.若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为 .
14．设表示数集中最小的数，若，则的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，内角，，的对边分别为，，，且，．
(1)求的值；
(2)若时，求的面积．
16．在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
17．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，为的上顶点，的面积为2．
(1)求的方程；
(2)过点作斜率为1的直线交于，两点，设点、关于轴的对称点分别为、，当四边形的面积为时，求直线的方程．
18．已知函数，
(1)若，求函数的最小值；
(2)设函数，讨论函数的单调性；
(3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围．
19．对于无穷数列，，若－…，则称是的“收缩数列”.其中，，分别表示中的最大数和最小数.已知为无穷数列，其前项和为，数列是的“收缩数列”.
（1）若，求的前项和；
（2）证明：的“收缩数列”仍是；
（3）若，求所有满足该条件的.
参考答案
1．【答案】C
【详解】集合，，
所以．
故选C．
2．【答案】D
【详解】由题意得，，
所以.
故选D.
3．【答案】B
【详解】由题意得：，
与垂直 ，解得：
故选
4．【答案】A
【详解】因为，，
所以，
解得，
所以.
故选A.
5．【答案】A
【详解】设圆锥的底面半径为，
则，解得，
所以该圆锥的表面积为.
故选A.
6．【答案】A
【详解】
因为函数在上单调递减，
所以，解得.
故选A.
7．【答案】C
【详解】令，
因为，
且函数的图象都关于对称，
在同一直角坐标系，画出两个函数图象如下图所示：
由图可知共有20个交点，故，则A，B错误；
又，
故，则C正确，D错误，
故选C
8．【答案】D
【详解】不等式可转化为
因为，所以
设，则，在上单调递增，
又，所以
又，所以对恒成立，即
令，则由得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
所以则
故选D.
9．【答案】ABD
【详解】对于A，从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）,
从小到大的顺序为，
由，得第75百分位数为第6个数，为，A正确；
对于B，从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的极差
为，B正确；
对于C，制造业采购经理指数（PMI）有升有降，C错误；
对于D，2024年3月到2024年4月，PMI大于,经济处于扩张活跃的状态，D正确．
故选ABD
10．【答案】ABC
【详解】由，则，解得，故A正确；
因此可得数列是以为首项，为公差的等差数列，
由，则数列为递减数列，即，故D错误；
又，
当时，，所以的最大值为，故B正确；
由，故C正确；
故选ABC.
11．【答案】ABD
【详解】对于A，由，得，
所以，即，
解得或，所以或或，
即曲线与直线有3个公共点，故A正确；
对于B，，
如图所示：
由图可知，所在圆的圆心为，半径为2，.
令，则，即，
如图，当该直线与相切时，直线与轴的截距最大，
由，得，解得，即的最大值为4，故B正确；
对于C，由选项B知，曲线所围成的图形的面积为四个全等弓形的面积之和，
设弓形的面积为，
在中，，
所以，
所以扇形的面积，
，所以，
所以曲线所围成的图形的面积为，故C错误；
对于D，可表示为曲线上的点与定点的距离的平方，
由图可知，最大距离为定点到圆心的距离与半径之和，
即，
所以的最大值为，故D正确.
故选ABD
12．【答案】2
【详解】由，，
得，又，
所以.
13．【答案】
【详解】试题分析：“心有灵犀”数有或，则他们“心有灵犀”的概率为．
14．【答案】1
【详解】设，
则，，，，
因为，所以,，
当且仅当时两个不等式同时取等号，
所以，
又，
当且仅当，时取等号，所以，则，当且仅当，时取等号，
故的最大值为1.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），由余弦定理得，，
又，
，化简得，
．
（2）由（1）得，
为锐角，，
，，
的面积．
16．【答案】(1)证明见详解
(2)．
【详解】（1）如图，连接，交于点，连接．
因为四边形为矩形，所以，
因为，分别为和的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面．
（2）因为平面，平面，
所以，，
因为四边形为矩形，所以，
以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，．
设平面的法向量为，
则，令，则，得．
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【方法总结】向量法求直线与平面所成角的正弦值方法：
(其中为平面α的斜线AB的方向向量，为平面α的法向量，θ为斜线AB与平面α所成的角)．
17．【答案】(1)
(2)或．
【详解】（1）设，，．由，可知．
因为的面积为2，所以，
由得，解得或，即或，
所以或，结合，可得，所以的方程为.
（2）由题意得直线的方程为，设，．
由，关于轴的对称点分别为，，构成四边形，
可知点，位于轴同侧，
则四边形的面积．
将代入，化简得，
则，，
且，解得，
所以，
整理得，所以，解得，
所以直线的方程为或．
18．【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）当时，，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，.
（2）因为，其中，
则，
当时，即当时，由可得，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为；
当时，即当时，
由可得，由可得或，
此时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，即当时，对任意的，，
此时，函数的增区间为，无减区间；
当时，即当时，
由可得或，由可得，
此时，函数的增区间为、，减区间为.
综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为；
当时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的增区间为、，减区间为.
（3）由（2）可知，当时，函数在上单调递增，则，不合乎题意；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
（i）若，则时，则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
设，其中，则，
所以，函数在上单调递减，则，合乎题意；
（ii）若，即当时，函数在上单调递减，
所以，，解得，
因为，则.
综上所述，实数的取值范围是.
19．【答案】（1）（2）证明见解析（3）所有满足该条件的数列为
【详解】解：（1）由可得为递增数列，
所以，
故的前项和为.
（2）因为，
，
所以
所以.
又因为，所以，
所以的“收缩数列”仍是.
（3）由可得
当时，；
当时，，即，所以；
当时，，即（*），
若，则，所以由（*）可得，与矛盾；
若，则，所以由（*）可得，
所以与同号，这与矛盾；
若，则，由（*）可得.
猜想：满足的数列是：
.
经验证，左式，
右式.
下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件.
法1：由上述时的情况可知，时，是成立的.
假设是首次不符合的项，则，
由题设条件可得（*），
若，则由（*）式化简可得与矛盾；
若，则，所以由（*）可得
所以与同号，这与矛盾；
所以，则，所以由（*）化简可得.
这与假设矛盾.
所以不存在数列不满足的符合题设条件.
法2：当时，，
所以
即
由可得
又，所以可得，
所以，
即
所以等号成立的条件是
，
所以，所有满足该条件的数列为.

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