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广东省汕头市澄海中学与澄海华侨中学2024 2025学年高二下学期期中联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．如图，在四面体中，，，，，为线段的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知数据87，89，90，90，91，92，93，94，则（ ）
A．极差为6 B．中位数为90
C．第70%分位数为92 D．平均数为90.25
5．已知，，则（ ）
A．8 B． C． D．
6．若点 为直线 上任意一点，过点 总能作圆 的切线，则 的最小值为（ ）
A． B． C．-2 D．
7．名同学合影，站成了前排人后排人，现摄影师要从后排人中抽人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）
A． B． C． D．
8．定义在的函数的导函数为，已知且，则下列结论正确的是（ ）
A．在单调递增 B．在单调递减
C．在上有极小值 D．在上有极大值
二、多选题（本大题共3小题）
9．函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在处有极小值 B．函数在处有极小值
C．函数在区间内有个极值点 D．导函数在处有极大值
10．已知数学0，1，2，3，4，用它们组成四位数，下列说法正确的有（ ）
A．可以组成无重复数字的四位数96个 B．可以组成有重复数字的四位数404个
C．可以组成无重复数字的四位偶数66个 D．可以组成百位是奇数的四位偶数28个
11．设函数，数列满足，，则（ ）
A． B．为定值
C．数列为等比数列 D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．若，则 .
13．已知，，，则的最小值为 .
14．如果存在函数（，为常数），使得对函数在区间内任意的都有成立，那么为函数的一个“覆盖函数”．已知，，若为函数在区间上的一个“覆盖函数”，则实数的取值范围 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知等差数列满足，的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
16．的内角的对边分别为，已知，．
(1)求；
(2)设为边上一点，且，求的面积．
17．底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面．
(1)证明：平面；
(2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
18．已知抛物线的顶点为，过焦点的直线交抛物线于两点．
(1)若，求线段中点到轴的距离；
(2)设点是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值；
(3)已知，过点作直线分别交抛物线于两点，作直线分别交抛物线于两点，且，设直线与直线的交点为，求直线的斜率．
19．悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象.现定义双曲正弦函数，回答以下问题：
(1)类比三角函数的导数关系：，，写出与的导数关系式，并证明；
(2)对任意，恒有成立，求实数a的取值范围；
(3)求的最小值．
参考答案
1．【答案】C
【详解】由，得，
所以，其虚部为．
故选C．
2．【答案】A
【详解】当为锐角时，且；
当且时，为第一象限的角，此时不一定为锐角，
所以是的充分不必要条件.
故选A.
3．【答案】D
【详解】由已知，
故选D．
4．【答案】C
【详解】由题意可知：数据的极差为：，故A错误；
数据的中位数为：，故B错误；
因为，故数据的第70%分位数为第6个数，故C正确；
因为数据的平均数为：，故D错误.
故选C
5．【答案】D
【详解】因为，，
所以.
故选D.
6．【答案】B
【详解】因为过总能作圆的切线，故点在圆外或圆上，
也即直线与圆相离或相切，
则，即，解得，
故的最小值为.
故选B.
7．【答案】D
【详解】解：第一步可先从后排人中选人共有种；
第二步可认为前排放个座位，选出个座位让后排的人坐，
由于其他人的顺序不变，所以有种坐法；
综上知不同调整方法的种数为.
故选D.
8．【答案】C
【详解】令，则，即且为常数，
又，则，故，
所以，则，
当时，即在上单调递减，
当时，即在上单调递增，
所以处取极小值.
故选C.
9．【答案】BD
【详解】对于选项A，由图知在左右两侧均有，所以不是的极值点，故选项A错误，
对于选项B，由图知在左右两侧的符号：左侧，右侧，
所以函数在处有极小值，故选项B正确，
对于选项C，根据图象可知，有个极值点，左右两侧均有，
所以不是的极值点，故选项C错误，
对于选项D，由的图象知，在左侧单调递增，在右侧单调递减，所以在处有极大值，故选项D正确，
故选BD.
10．【答案】AB
【详解】对于A，可以组成无重复数字的四位数（个），A正确；
对于B，可以组成有重复数字的四位数（个），B正确；
对于C，若个位数为0，则有（个），
若个位数不为0，则有（个），
所以可以组成无重复数字的四位偶数（个），C错误；
对于D，可以组成百位是奇数的四位偶数（个），D错误．
故选AB.
11．【答案】ACD
【详解】由，，则，故A正确；
由，则显然非常数，故B错误；
由，又，则，
则数列是以为首项，以为公比的等比数列，故C正确；
则，即，
由，则，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】190
【详解】则 ，所以
13．【答案】
【详解】解：因为，，，
所以，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以的最小值为.
14．【答案】
【详解】由题意可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
从而得对任意的恒成立，
设，，
则，
令，则的分子可化为.
对于二次函数，
由，解得或（舍去）.
当，即时，，，单调递减；
当，即时，，，单调递增.
所以在处取得最小值，.
所以.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由可得，解得，
故，
（2），
故，
由于，
，
其中分别为前项中奇数项的和以及偶数项的和，
故
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，所以．在中，由余弦定理得，
即，解得（舍去），．
（2）
因为，由余弦定理得，又，即是直角三角形，所以，
则，又，则，所以的面积为．
17．【答案】(1)证明过程见解析；
(2).
【详解】（1）因为四边形为菱形，所以⊥，
因为平面平面，为交线，平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
因为平面平面，为交线，平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
因为，平面，
所以平面；
（2）由（1）知，两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，则，，
设，，则，，
设平面的一个法向量为，
，
令得，故，
直线与平面所成角的正弦值为，
即，
化简得，负值舍去，则，
平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
，
所以平面与平面夹角余弦值为.
18．【答案】(1)；
(2)16；
(3).
【详解】（1）设，因为过焦点的直线交抛物线于两点，且，
所以由抛物线的性质可得，即，
因此线段中点到轴的距离为.
（2）因为顶点关于点的对称点为，所以和到直线的距离相等，
所以．
由题意可知直线的斜率不为，，设直线的方程为，
由得．
则，
因此，
故当时，四边形面积取得最小值.
（3）由题意可知，直线的斜率不为，且点的横坐标均不为，
设的方程为,
，整理得，
设，由韦达定理，
所以，同理，
因为，所以，
即，因此，
故的方程为，
从而直线恒过定点，同理，直线恒过定点，
所以，因此，即直线的斜率为.
19．【答案】(1)答案见解析；
(2)；
(3)0
【详解】（1）平方关系：；
和角公式：；
导数：．
理由如下：平方关系，
，
，
和角公式：
，
故；
导数：，；
（2）构造函数，，由（1）可知，
i．当时， ，
故，故单调递增，
此时，故对任意，恒成立，满足题意；
ii．当时，令，，则，可知单调递增，
由与可知，存在唯一，使得，
故当时，，则在内单调递减，
故对任意，，即，矛盾；
综上所述，实数a的取值范围为．
（3），，
令，则，
令，则，
当时，由（2）可知，，则，
令，则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
因为,
即为偶函数，故在内单调递减，
则，故当且仅当时，取得最小值0.

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