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广西钦州市第四中学2024 2025学年高二下学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共7小题）
1．某学校准备抽奖活动，在一个盒子中有20个大小和形状均相等的小球，其中有8个粉色球，8个紫色球和4个蓝色球，从盒子中任选一球，若它不是粉色球，则它为蓝色球的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知随机变量服从二项分布，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称
6．若随机变量的分布列为，则（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
7．设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
若随机变量， 则等于 （ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
二、多选题（本大题共3小题）
8．某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成绩近似服从正态分布，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知离散型随机变量的分布列为.定义随机变量为自然对数的底数，的分布列如下：
随机变量的数学期望称为随机变量的生成函数，记为.是函数在处的导数，则（ ）
A．
B．若服从两点分布，，则
C．若，则
D．若实数为常数，则
A．中位数就是第50百分位数
B．已知随机变量，若，则
C．已知随机变量，满足，若，，则，
D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为120
三、填空题（本大题共3小题）
11．设随机变量，若，则 ．
12．箱子中装有4个红球，2个黄球（除颜色外完全相同），掷一枚质地均匀的骰子1次，如果点数为，则从该箱子中一次性取出个球.规定：依据个球中红球的个数，判定甲的得分，每一个红球记1分；依据个球中黄球的个数，判定乙的得分，每一个黄球记2分.比如：若一次性取出了2个红球，2个黄球，则判定甲得分，乙得分.则在1次掷骰子取球的游戏中， .
13．一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字．事件，事件，若事件满足，则满足条件的事件的个数为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
14．小王参加某机构的招聘面试，要从6道简答题和4道论述题中任意抽取3道进行回答．
(1)求小王抽取的3道题中两种题型都有的概率；
(2)每道简答题答对得10分，每道论述题答对得20分，假设小王每道题都能答对，记小王答完3道题的总得分为，求的分布列和数学期望．
15．设有6个白球和4个红球混合后装入袋中，从这10个球中任取5个.
(1)在有放回的情况下，求这5个球中恰有3个白球的概率；
(2)在不放回的情况下，求这5个球中恰有3个白球的概率；
(3)在不放回的情况下，求第3个球为白球的概率.
16．某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为．
(1)求该运动员第二次投篮命中的概率；
(2)记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望；
(3)设第次投篮命中的概率为，求证：．
17．为了估计一个小池塘中鱼的条数m，池塘主人先从中打捞出20条鱼，做好记号后放回池塘，再从中打捞出10条鱼，发现有记号的鱼有4条.
(1)试估计m的值；
(2)对于（1）中的估计值m，若在这m条鱼中，A种鱼有8条，从m条鱼中打捞出3条，用X表示其中A种鱼的条数，求X的分布列和数学期望.
18．某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下:
零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0]
零件个数 10 25 30 25 10
(1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率;
(2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望;
(3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率.
参考数据: 若随机变量，则，，.
参考答案
1．【答案】D
【详解】记取出蓝色球为事件,事件取出的不是粉色球为,
,,
,
则．
故选D.
2．【答案】C
【详解】若该家庭中有两个小孩，
样本空间为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，
(男，女)，(女，男)(男，男)，(男，女)，(女，男)(男，女)，(女，男)，
若该家庭中有三个小孩，
样本空间为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，
(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，
(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，
(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，
则，于是，
故选C．
3．【答案】D
【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，
根据题意可得，
，
所以
.
故选D.
4．【答案】B
【详解】，
故选B．
5．【答案】C
【详解】由连续型随机变量服从正态分布，
可得，可得，所以正态密度曲线关于对称，
即，
由，可得在时增加较快，在时增加越来越慢，
所以无对称轴，故AB错误；
，
所以关于点成中心对称，故C正确，D错误.
故选C.
6．【答案】B
【详解】根据分布列中概率之和为1，列方程得：，即，
解得.
故选B.
7．【答案】A
【详解】.
故选A.
8．【答案】AB
【详解】由题意可得．由对称性可得,，AB正确，CD错误．
故选AB.
9．【答案】AD
【详解】对于A，随机变量的生成函数，则，当时，，所以A正确；
对于B，服从两点分布，，则生成函数为，所以B错误；
对于C，，则生成函数为，所以C错误；
对于D，对于线性变换的生成函数，所以D正确.
故选AD.
2、随机变量，则；
3、.
10．【答案】AB
【详解】对于A选项，中位数就是第50百分位数，A选项正确.
对于B选项，已知随机变量，根据二项分布的方差公式（其中是试验次数，是每次试验成功的概率），可得.
又因为（、为常数），那么.
已知，即，解得，B选项正确.
对于C选项，已知随机变量，满足，根据期望的性质（、为常数），可得.
因为，所以.
再根据方差的性质（、为常数），可得.
因为，所以，C选项错误.
对于D选项，设男生样本为，平均数为，方差为；女生样本为，平均数为，方差为.
总体样本平均数.
根据分层抽样样本方差公式（其中、分别是男生、女生的样本数量），可得：
，所以D选项错误.
故选AB.
11．【答案】0.3/
【详解】因为随机变量，所以正态分布曲线关于对称，
又因为，所以，所以
又因为，所以0.3.
12．【答案】
【详解】设掷骰子得到的点数的概率为，则，
当时，的概率为，若，则需取出的1个球是红球的概率为，
所以，
当时，的概率为，若，则需取出的2个球都是红球的概率为，
所以，
当时，的概率为，若，则需取出的3个球都是红球的概率为
，所以，
当时，的概率为，若，则有两种可能的情况：第一种情况为取出的4个球都是红球有种，
第二种情况为取出的4个球种有3个红球，1个黄球，有种，所以概率为，
所以
当时，的概率为，若，则需取出全部4个红球，1个黄球，
所以，所以，
当时，不满足题意，
所以综上.
13．【答案】
【详解】事件，事件，故，
又，故，即，
因为，，
所以，故，即，
又，，
故，所以，
即，所以，故，
其中，，则或2，
若，则，
又，故，
，故，
若，，可令或或或；
若，，可令或或或，
事件，事件
若，则，此时，
此时，故，不合要求，舍去，
综上，满足条件的事件的个数为8.
14．【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为42
【详解】（1）所求概率为.
（2）的所有可能取值为，
，，
，．
所以的分布列为
X 30 40 50 60
P
的数学期望.
15．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在有放回的情况下，每一次取到白球的概率为，
所以这5个球中恰有3个白球的概率.
（2）在不放回的情况下，这5个球中恰有3个白球的概率.
（3）在不放回的情况下，若第3个球为白球，则有四种情况：白,白,白；白,红,白；红,白,白；红,红,白，
所以所求概率.
16．【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
(3)证明见解析
【详解】（1）设事件“第次投篮命中”，则“第次投篮未命中”，，
易知与是互斥事件，
所以由全概率公式得
该运动员第二次投篮命中的概率为．
（2）由题意得，，
的所有取值为0,1,2，
,
所以的分布列为
0 1 2
……
所以．
（3）由题意得，；
当时，
即，
变形为，所以数列是以为公比的等比数列，
又，于是，
即，所以．
17．【答案】(1)50；
(2)分布列见解析，期望为.
【详解】（1）已知小池塘中鱼的条数为m，
由样本估计总体得=，解得，
所以估计小池塘中有50条鱼.
（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，3，
所以，，，，
X的分布列为
0 1 2 3
.
18．【答案】(1)
(2)的分布列见解析；
(3)
【详解】（1）由题意，
得.
（2）由题意，随机抽取一个零件，直径在区间的概率为，
故由题意满足二项分布，
故，，
，，
，
故的分布列为
0 1 2 3 4
的数学期望为
（3）设事件为“从这批零件中随机抽取一件来自甲机器生产”，事件为“从这批零件中随机抽取一件为次品”
则为“从这批零件中随机抽取一件来自乙机器生产”，
由题意，，，，
则，
，
故，
故从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率为.

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