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第10章二元一次方程组达标练习卷-2024-2025学年数学七年级下册苏科版（2024）
一、单选题
1．二元一次方程的所有正整数解有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
3．以为解的方程组是（ ）．
A． B． C． D．
4．已知是方程的解，则的值（ ）
A． B． C． D．
5．已知二元一次方程组的解为则另一个被“*”遮盖的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
6．“扎龙湿地芦苇米”富含硒元素，是齐齐哈尔市特色物产．现将160千克芦苇米全部分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱可装20千克，每个小箱可装15千克，大、小箱都要装满，则所装的箱数最多为（ ）
A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱
7．古代农耕赋税问题：唐朝贞观年间，朝廷对农田征税．已知甲农户有上等田5亩，下等田3亩，共交税34斗；乙农户有上等田3亩，下等田5亩，共交税26斗．设上等田每亩交税斗，下等田每亩交税斗，则可列方程组为
A． B．
C． D．
8．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若有理数、满足，，则的值等于 ．
10．方程组的解为 ．
11．已知是方程组的解，则 ．
12．已知满足方程组，则无论取何值，恒有的关系式是 ．
13．2025年春节，随着《哪吒2》电影的爆火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办．已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价便宜20元，按售价购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办共需540元．若设“哪吒”“敖丙”手办的售价分别为元、元，根据题意，可列方程组为 ．
14．小明用8个相同的长方形（长是，宽是）分别拼出了两种图形：图①是一个正方形，且中间留下了一个边长是的正方形小洞，图②是一个大长方形．根据题意，可列出关于a，b的二元一次方程组为 ．
三、解答题
15．解方程组：
(1)
(2)
16．若方程组和方程组有相同的解．
(1)求方程组的解．
(2)求a，b的值．
17．已知，用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有27吨货物，计划同时租用A型车辆，B型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆车B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你直接写出该公司的租车方案．
18．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组
解：由得即③，
得④，
得，
解得：
把代入③得：
解得：
方程组的解是
(1)请你仿照上面的解法解方程组；
(2)猜测关于x，y的方程组的解是什么，并通过解这个方程组加以验证．
19．2025年第九届亚洲冬季运动会在美丽的冰城哈尔滨举办，本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心（）”；会徽“超越”、吉祥物是两只可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”，元旦期间，哈尔滨又一次成为热门景点，很多游客涌入亚冬会特许零售店购买纪念品，在纪念品店某游客购买了三种特色商品，因不小心污染了结账单相关信息，导致部分信息无法识别，根据下面结账单剩余信息解决问题：
商品名称 单价（元） 数量（个） 金额(元)
纪念冰箱贴 15 \ \
“滨滨”钥匙扣 40 \ \
“妮妮”钥匙扣 \ 2 90
合计 5 185
(1)某游客购买纪念冰箱贴，“滨滨”钥匙扣各几个？
(2)某游客再次购买3个纪念冰箱贴，4个“滨滨”钥匙扣和3个“妮妮”钥匙扣共多少钱？
20．【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得，的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值；
【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，求购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？
【拓展延伸】对于有理数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，．求的值．
《第10章二元一次方程组达标练习卷-2024-2025学年数学七年级下册苏科版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D C D C A C
1．C
【分析】本题考查了二元一次方程的整数解，正确理解二元一次方程的解得概念是解题的关键．
直接写出二元一次方程的所有正整数解即可．
【详解】解：由二元一次方程可得，正整数解为：
或或或或，共个，
故选：．
2．D
【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键．
先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得．
【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，所以这个方程组的解为，
A、将代入得：，则此项不符合题意；
B、将代入得：，则此项不符合题意；
C、将代入得：，则此项不符合题意；
D、将代入得：，则此项符合题意；
故选：D．
3．D
【分析】根据方程组的解的定义，将方程组的解代入各个选项中的方程组，判断其是否成立即可．本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是正确判断的前提．
【详解】解：当，时，
则，，，
故是方程组的解．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解是解题的关键．将代入方程即可求得的值．
【详解】解：根据题意，得：
将代入方程得，
，
解得：，
故选：C．
5．D
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是熟练掌握方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
把代入选项的方程进行检验即可．
【详解】解：A.将代入，故该选项不符合题意；
B.将代入，故该选项不符合题意；
C. 将代入，故该选项不符合题意；
D. 将代入，故该选项符合题意；
故选：D．
6．C
【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，设用个大箱，个小箱，利用每个大箱可装20千克，每个小箱可装15千克，建立方程，求出方程的正整数解可得答案．
【详解】解：设用个大箱，个小箱，
∴，
∴
∴，
∴方程的正整数解为：
或，
∴所装的箱数最多为箱；
故选：C．
7．A
【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是找准等量关系．
设上等田每亩交税斗，下等田每亩交税斗，根据两户交税的数量列出方程即可．
【详解】解：设上等田每亩交税斗，下等田每亩交税斗，
根据题意得
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，把方程组变形为，再根据方程组的解为进行求解即可．
【详解】解：将方程组变形得
∵关于x、y的二元一次方程组的解为，
∴关于x、y的二元一次方程组的解为，
故选：C．
9．
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据题意可得方程组，把方程组中两个方程相加可得，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，，
得，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求解即可，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
【详解】解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴方程组的解为：．
11．1
【分析】将方程组的解代入原方程可得到关于参数a，b的二元一次方程组，分别利用两式相减可得到，利用两式相加可得到，再代入进行计算，即可解题．本题考查了二元一次方程组，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：∵是方程组的解，
∴，
得，解得；
得，解得；
∴
故答案为．
12．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，理解二元一次方程的解得定义是解题的关键．
将代入求解即可．
【详解】解：将代入得，
，即．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
本题根据“哪吒”比“敖丙”每个便宜20元以及购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办的总费用为540元，列出二元一次方程组即可．
【详解】解：根据题意，“哪吒”比“敖丙”每个便宜20元，
即：
购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办的总费用为540元，
因此：，
将以上两个方程联立，得到方程组：
．
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据图①可得，小长方形宽的2倍减去长是中间正方形小洞的边长，由图②可知小长方形的长的3倍等于宽的5倍，据此列出方程组即可．
【详解】解：由图①可知，，由图②可知，
∴，
故答案为：．
15．(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练进行计算是解题的关键．
（1）代入消元法解方程组即可；
（2）加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：把①代入②得，，
解得，
把代入①得，，
∴原方程组的解为；
（2）解：得，，
解得，
把代入①得，，
解得，
∴原方程组的解为．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解，解题的关键是要知道两个方程组之间解得关系．
（1）由题意得，解方程组即可解答．
（2）首先联立两个方程组不含a、b的两个方程求得方程组的解，然后代入两个方程组含a、b的两个方程从而得到关于a、b的方程组，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵方程组和方程组有相同的解，
∴，
得，解得，
将代入①得，解得
∴方程组的解为．
（2）解：由（1）可得是方程和方程的解，
∴，
解得
17．(1)1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨．
(2)①型车1辆，型车6辆；②型车5辆，型车3辆．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：
（1）设1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货吨，吨，根据“用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）由（1）的结论结合某物流公司现有27吨货物，即可得出，即，由、均为正数即可得出各租车方案．
【详解】（1）解：设1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货吨，吨，
根据题意得：，
解得：．
答：1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨．
（2）解：设分别租辆型车和辆型车，
由题意可得：，
．
，均为整数，（要求既有型车又有型车）
有和两种情况．
故共有两种租车方案，分别为：
①型车1辆，型车6辆；
②型车5辆，型车3辆．
18．(1)
(2)，验证见解析
【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法，分析所给方程组的特点，仿照题干中的解法是解题的关键．
（1）仿照题干解法，得③，，得，解出x的值，代入③求出y值；
（2）由题干及（1）的答案猜测方程组的解为，得，即③，得出，解出x的值，代入③求出y值．
【详解】（1）解：，
，得③，
得出，
解得：，
把代入③，得，
解得；，
所以原方程组的解是；
（2）解：，
得出，
∴③，
得出，
解得：，
把代入③，得，
解得；，
所以原方程组的解是．
19．(1)游客购买纪念冰箱贴1个，“滨滨”钥匙扣2个
(2)340元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，能够根据题意以及表格中的数据找出等量关系列出方程是解决本题的关键．
（1）设游客购买纪念冰箱贴x个，“滨滨”钥匙扣y个，根据表格中的数据列出方程组，并求解即可；
（2）设“妮妮”钥匙扣每个a元，根据表格中的数据列出关于a的一元一次方程，求出a的值，代入计算即可求出答案．
【详解】（1）解：设游客购买纪念冰箱贴x个，“滨滨”钥匙扣y个，
由题意可得：，
解得：，
答：游客购买纪念冰箱贴1个，“滨滨”钥匙扣2个；
（2）解：设“妮妮”钥匙扣每个a元，
由题意得：，
解得：，
（元），
答：某游客再次购买3个纪念冰箱贴，4个“滨滨”钥匙扣和3个“妮妮”钥匙扣共340元．
20．[模仿应用]；[解决问题]30元；[拓展延伸]
【分析】本题主要考查了二元一次方程组及三元一次方程组的整体求法，理解题意，熟练掌握整体计算方法是解题关键．
[模仿应用]根据方程组中两个方程的特点，由即可求出的值；
[解决问题] 设每支铅笔元，每块橡皮元，每本日记本元，列出方程组，由先求出，再求出，即可得出答案；
[拓展延伸]根据题意得出方程组，由求出，即可求出的值．
【详解】[模仿应用]解：
由，得；
[解决问题]
解：设每支铅笔元，每块橡皮元，每本日记本元，根据题意，得
，得，所以．
所以购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本需要30元．
[拓展延伸]
因为，
所以①，②
①②组成方程组得，
，得．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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