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第12章二次根式达标练习卷-2024-2025学年数学八年级下册苏科版
一、单选题
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．，， B．1，， C．4，5，6 D．1，1，
4．要使等式成立，实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
5．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形，已知，，则留下的阴影部分的面积为（ ）
A．1 B．2 C．14 D．
7．如图的三角形纸片中，，使B落在边上，且，那么的长为（　　）．
A． B． C． D．
二、填空题
8．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是 ．
9．当时，二次根式的值为 ．
10．计算： ．
11．若整数m满足条件，且，则m的值是 ．
12．已知，则的值是 ．
13．如图，在中，，，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E，F，则线段的长为 ．
14．比较大小： ．
三、解答题
15．已知a、b两数在数轴上的对应位置如图所示，化简．
16．计算：
(1)
(2)
17．如图，一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东方向上，小时后，渔船行至B处，此时看见小岛C在渔船的北偏东方向上．
(1)求A处与小岛C之间的距离；
(2)渔船到达B处后，航向不变，继续航行多长时间与小岛C的距离恰好为海里．
18．已知 ， ．
(1)_____，_____；
(2)求代数式的值．
19．如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接，，．
(1)求证：是菱形；
(2)若，，求的长．
20．阅读下面材料：
我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．
类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．
请根据上述材料，解决下列问题：
(1)把下列各式分子有理化：
①_____；
②_____；
(2)利用分子有理化的方法，比较和的大小，并说明理由；
(3)当_____时，代数式有最_____值（填“大”或“小”）为_____．
21．在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数a，b，
称为a，b这两个数的算术平均数，
称为a，b这两个数的几何平均数，
称为a，b这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
(1)若，，则 ， ， ；
(2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N 没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表 ．

①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为，的图形；
②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是：__________（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）．
《第12章二次根式达标练习卷-2024-2025学年数学八年级下册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D D B C B B C
1．D
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，具备以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、的被开方数中是小数，不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、的被开方数是分数，不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，逐一进行计算判断即可，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：、与不可以合并，原选项错误，不符合题意；
、，原选项错误，不符合题意；
、，原选项错误，不符合题意；
、，原选项正确，符合题意；
故选：．
3．B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，掌握利用勾股定理的逆定理判断能否构成直角三角形是解题的关键．根据勾股定理的逆定理即可判断．
【详解】解：A、，，，则，故不能构成直角三角形，不符合题意；
B、，，，则，故能构成直角三角形，符合题意；
C、，，，则，故不能构成直角三角形，不符合题意；
D、，，则，故不能构成直角三角形，不符合题意；
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据二次根式有意义的条件得到，解一元一次不等式组即可求得的取值范围．
【详解】解：根据题意得，
解得：，
故选：C．
5．B
【分析】此题主要考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质可得，再结合绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项即可．
【详解】解：由数轴知，且，
∴，
∴
；
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了平方差公式的应用，解题的关键是理解留下的阴影部分的面积为，再利用平方差公式进行求解．
【详解】解：从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形，
则留下的阴影部分的面积为，
，，
则留下的阴影部分的面积为，
故选：B．
7．C
【分析】本题考查折叠的性质，三线合一，含30度角的直角三角形，分母有理化，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．过点D作于H，易得，进而求出，根据，进行求解即可．
【详解】解：过点D作于H，
∵折叠这个三角形，使B落在边AC上，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故选：C．
8．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴．
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键．
将代入，进而根据二次根式的性质化简，即可求解．
【详解】解：当时，，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算：，根据二次根式的乘法运算法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
11．或0或1
【分析】本题考查了二次根式的性质、求不等式的解集，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质得出，再结合得出，即可求解．
【详解】解：，
，
解得：，
又，
，
是整数，
的值是或0或1．
故答案为：或0或1．
12．
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式有意义的条件可得，进而得到，则可求出的值．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．
由折叠的性质得，再证是等腰直角三角形，得出，由勾股定理求出，然后由面积法求出，由勾股定理求出，则，即可得出答案．
【详解】解：由折叠的性质得：，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，由勾股定理得：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查二次根式的运算、实数的大小比较，利用分子有理化，即可比较大小．
【详解】解：，
，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．b
【分析】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，还涉及数轴，化简绝对值，整式的加减运算，判断出的符号和掌握是解题的关键．
先由数轴可得，则，再根据二次根式的性质化简得到，再化简绝对值，进行加减计算即可．
【详解】解：由数轴可得：，则
∴
．
16．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键．
（1）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可；
（2）根据二次根式混合运算法则，结合完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．(1)A处与小岛C之间的距离为海里
(2)渔船继续航行小时与小岛C的距离恰好为海里
【分析】本题考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，二次根式的应用，结合航海中的实际问题，将直角三角形的相关知识结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
（1）作于H，作交的延长线于T，首先证明，求出即可解决问题；
（2）利用直角三角形的性质求出即可解决问题．
【详解】（1）解：作于H，作交的延长线于T，
∵，
∴，
∴（海里）．
∵，
∴（海里）．
∴（海里），
∴（海里），
答：A处与小岛C之间的距离为海里；
（2）解：在中，海里，
∴，
∴（海里），
∴（海里），
∴当渔船继续航行到T时，与小岛C的距离恰好为海里，
∴（小时），
答：渔船继续航行小时与小岛C的距离恰好为海里．
18．(1)；18
(2)
【分析】本题考查代数式求值，涉及到二次根式的运算、平方差公式及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）直接将值代入化简即可得出的值，将值代入并利用平方差公式计算即可得出的值；
（2）将化为，再将（1）中的值代入计算即可得出答案．
【详解】（1）解：，，
，
；
（2）解：
．
19．(1)见详解
(2)
【分析】（1）先证四边形是平行四边形．再证平行四边形是矩形，则，得，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）证明是等边三角形，得，再由勾股定理得，然后由矩形的在得，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形．
，
∴平行四边形是矩形，
，
∴，
∴是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
，
，
∴是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
由（1）可知，四边形是矩形，
，
，
即的长为．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
20．(1)①；②；
(2)，理由见解析
(3)1，大，．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键．
（1）根据阅读材料中的方法进行分子有理化即可；
（2）先根据阅读材料中的方法进行分子有理化，然后再比较即可；
（2）先根据阅读材料中的方法进行分子有理化，然后确定最值即可解答．
【详解】（1）解：① ；
②．
故答案为：，．
（2）解：，理由如下：
由，
，
又∵，
∴．
∴．
（3）解：
，
∵，
∴，
∴当时，有最大值，即有最大值．
故答案为：1，大，．
21．(1)，，
(2)①画图见解析，②
【分析】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，较难的是题（2）①，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键．
（1）将，分别代入求值即可得；
（2）①分别求出，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；
②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论．
【详解】（1）解：当，时，
，
，
，
故答案为：，，；
（2）解：①，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：
，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：

②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立，
都是正数，
都是正数，
，
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