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第四章因式分解达标练习卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版
一、单选题
1．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．不能确定
2．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列因式分解中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知三角形的三边分别为，其中两边满足，那么这个三角形的最长边的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，a，，分别对应下列五个字：荆、州、我、爱、游．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．游荆州 B．我爱游 C．我爱荆州 D．我游荆州
6．若，则的值为（ ）
A．12 B．6 C．3 D．0
7．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是如对于多项式，因式分解的结果是，若取当，时，则各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式取，时，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A．113212 B．111232 C．123211 D．123011
8．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．因式分解： ．
10．已知，则 ．
11．已知 为互不相等的非零实数，满足 ，则 ．
12．已知，，则与的大小关系是 ．
13．关于的二次三项式因式分解的结果为，则 ．
14．已知，，，那么的值为 ．
三、解答题
15．已知代数式．
(1)化简A；
(2)若，，求A的值．
16．已知：，．分别求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
17．阅读材料：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：
解：原式
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
已知a，b，c是的三边，且满足，判断的形状，并说明理由．
18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，，，因此4，12，20都是“神秘数”
(1)28和2024这两个数是“神秘数”吗？为什么？
(2)设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
(3)两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？
19．数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫作完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式
例如：求代数式的最小值
．可知当时，有最小值．
根据阅读材料，利用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)当为何值时，多项式有最值，并求出这个最值．
20．数形结合是一种重要的数学思想．《周髀算经》中记载有“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一”，这表明当时人们已经将几何与代数结合在一起研究，其意义重大、影响深远，例如，对于等式，可由图1进行解释：整个大长方形的长为，宽为a，其面积可用长乘以宽得到，也可用1个小正方形的面积与2个小长方形的面积之和来表示．
(1)由图2，你能得到的数学等式为：______；
(2)观察图3，解决以下问题：若，，求的值．
(3)小灵同学用2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，7张两边分别为的长方形纸片拼出了一个大长方形，请你直接写出该大长方形的长和宽．
《第四章因式分解达标练习卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D B C A D D
1．C
【分析】此题考查了因式分解方法，利用完全平方公式的结构特征判断，常数项等于一次项系数一半的平方，确定出的值即可得到答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵能用完全平方公式进行因式分解，
∴，
∴，
∴，
∴的值为4或，
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了因式分解的判定，掌握因式分解的概念及方法是关键．
把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式），根据概念判定即可．
【详解】解：A、，属于因式分解，符合题意；
B、，结果不是整式的乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意；
C、，不属于因式分解，不符合题意；
D、，等号左边不是多项式，不属于因式分解，不符合题意；
故选：A ．
3．D
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等，据此进行分析解答即可．
【详解】解：A、不能进行因式分解，故不符合题意；
B、，原写法错误，不符合题意；
C、，原写法错误，不符合题意；
D、，写法正确，符合题意，
故选：D．
4．B
【分析】先由完全平方公式因式分解，再由二次根式性质化简得到，结合绝对值非负性及非负数和为零的条件求解即可得到，从而由三角形三边关系即可得到答案．
【详解】解：，
，则，
，
要使，则，
解得，
由三角形的三边关系可知，
是这个三角形的最长边，
，即这个三角形的最长边的取值范围是，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形三边关系、绝对值非负性、非负数和为零的条件、完全平方公式因式分解、二次根式性质等知识，熟记三角形三边关系、绝对值非负性、非负数和为零的条件、完全平方公式因式分解、二次根式性质等知识是解决问题的关键．
5．C
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，灵活运用因式分解的方法进行因式分解成为解题的关键．
先对多项式进行因式分解，然后根据密码手册分析呈现信息即可解答．
【详解】解：
，
所以结果呈现的密码信息可能是：我爱荆州．
故选C．
6．A
【分析】本题考查了因式分解的应用，原式先提取公因式，然后根据完全平方公式因式分解，将整体代入，即可求解．
【详解】解：
，
∵，
∴原式，
故选：A．
7．D
【分析】本题考查了因式分解的应用,用提取公因式法和平方差公式因式分解，熟练掌握用提取公因式法和平方差公式因式分解是解题的关键．根据题中范例的提示，先提取公因式，再运用平方差公式因式分解，得到，可得到六种密码排列，即可判断答案．
【详解】解：，且，，
各个因式的值是，，，
组成的密码应包含11，12，32，
组成的密码共有6种：111232，113212，121132，123211，321112，321211，
不能组成的密码为123011．
故选：D．
8．D
【分析】本题主要考查因式分解，先根据图和图，分别用两种方法表示出阴影部分面积，然后列出等式即可；掌握数形结合思想成为解题的关键．
【详解】解：图1中的阴影部分的面积为，
图2中的阴影部分的面积为，
∴，
故答案为∶D．
9．
【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可．
【详解】解：原式；
故答案为：．
10．6
【分析】本题考查了求代数式的值，因式分解，解题的关键是对多项式因式分解，通过整体代入求代数式的值．先提公因式，将式子转化为的形式，再将直接代入求解即可．
【详解】解：，
将代入上式，，
故答案为：6．
11．
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，根据，可得，进而得出，再根据，可得，最后根据得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
即，
则．
∵，
∴，
可得．
∵，
∴，
∴，
即．
∴．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，利用作差法比较大小是解题的关键．
根据配方法把的结果写出平方和的形式，根据偶次方的非负性解答即可．
【详解】解：
，，
，
故答案为： ．
13．
【分析】本题考查因式分解的定义和多项式乘多项式，熟练掌握因式分解的定义和多项式乘多项式的运算法则，并熟练待定系数法是解题的关键．先计算，再利用因式分解的定义，利用待定系数法求解即可．
【详解】解：∵因式分解的结果为，且，
∴，
∴，
故答案为：．
14．7
【分析】本题主要考查了因式分解的应用．设，根据因式分解，先求的值，再求．
【详解】解：∵，，
，
∴，
，
，
设，
则
，
．
的值为7．
故答案为：7．
15．(1)
(2)36
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据去括号，合并同类项化简即可；
（2）将A变形为，再整体代入求值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先求出、的值，再将所求式子变形为，代入计算即可得解；
（2）将所求式子变形为，代入计算即可得解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴；
（2）解：．
17．为等腰三角形，理由见解析
【分析】本题考查了因式分解，三角形的三边关系，等腰三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
先利用因式分解，得到，再根据三角形的三边关系，得到，推出，即可判断的形状．
【详解】解：为等腰三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵a，b，c是的三边，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
18．(1)28是“神秘数”，2024不是“神秘数”，理由见解析
(2)是，理由见解析
(3)不是，理由见解析
【分析】此题考查的知识点是因式分解的应用，主要是平方差公式的灵活应用．
（1）试着把36、2022写成平方差的形式，即可判断是否是神秘数；
（2）化简两个连续偶数为和的平方差，再判断；
（3）设两个连续奇数为和，则，即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数．
【详解】（1）28是“神秘数”，2024不是“神秘数”，理由如下：
．
又，但505、507不是连续的偶数，
28是“神秘数”，2024不是“神秘数”．
（2）是，理由如下：
，
由和构造的神秘数是4的倍数，且是奇数倍．
（3）不是，理由如下：
设两个连续奇数为和，
则，
即：两个连续奇数的平方差是4的倍数，是偶数倍，不满足连续偶数的神秘数为4的奇数倍这一条件．
两个连续奇数的平方差不是神秘数．
19．(1)
(2)当时，有最大值20
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握配方法和因式分解是解题的关键．
（1）根据阅读材料，先将变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（2）利用配方法将变形为，再利用完全平方式的性质即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
，
当时，多项式有最大值20．
20．(1)
(2)3
(3)长方形的长为，宽为
【分析】（1）根据大长方形的面积等于各部分的面积之和求解即可；
（2）先得出，再将，代入计算即可；
（3）由题意得，再分解因式即可得到答案．
【详解】（1）解：由图可得．
故答案为：；
（2）解：从总体看，大正方形的边长为，面积为，
从部分看，图形的面积为，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：由题意可知：，
∴大长方形的长为，宽为．
【点睛】本题考查的是多项式乘多项式、完全平方公式的应用、因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．
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