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第五章分式与分式方程达标练习卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版
一、单选题
1．下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知分式（m，n为常数）满足下表的信息：
x 2 a 0
无意义 0 1 b
则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列各式中是分式的是（ ）
A． B． C． D．
4．若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A． B．2 C．4 D．
5．如果把分式中的x，y都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．不变
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
6．对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．无解
7．已知为整式，计算的结果为，则（　　）
A． B． C． D．
8．我校秋季运动会，八年级120人要参加举旗表演，按原计划分组后，又来了20人，比原计划多分一组，但每组人数比原计划少了2人，设原计划分组，则可得方程（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．约分： ．
10．计算的结果是 ．
11．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
12．已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为 ．
13．若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
14．某工程计划修一条800米长的公路，开工后每天比原计划多修15米，结果提前2天完成任务．如果设原计划每天修米，那么根据题意可列出方程 ．
三、解答题
15．计算：．
16．先化简，再求值：，其中．
17．解下列方程：
(1)：
(2)．
18．已知非零实数，，，，满足．
(1)若，，求的值；
(2)嘉淇说：“在满足题干的基础上，的结果一定是正数．”请你通过计算判断嘉淇的说法是否正确．
19．观察：…
解答下列各题：
(1)填空：___________（k是正整数）．
(2)计算：
①；
②．
20．知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．
例1：分解因式；
解：将“”看成一个整体，令；
原式；
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
(1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解．
(2)计算： ．
(3)已知，求的值．
21．随着农业数字化转型加速推进，某乡村振兴示范县积极发展特色农产品电商产业．当地一家农产品电商店铺计划购进两种以本地特色花卉为原料的加工产品，已知购进一个A产品比购进一个B产品多5元，且用1600元购进B产品的数量与用1800元购进A产品的数量相等．求购进一个A产品，一个B产品各需要多少元？
《第五章分式与分式方程达标练习卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C C B C D D
1．D
【分析】根据分式的基本性质，逐个进行化简即可．本题考查了分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
【详解】解：A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确．
故选：D．
2．C
【分析】本题考查分式有无意义的条件，分式值为0的条件，以及解分式方程，理解基本定义，以及解分式方程后注意检验是解题关键．
首先根据已知条件分别确定和的值，然后确定出分式，最后根据时，原分式值为1，通过解分式方程确定，即可得出结论．
【详解】解：∵时，原分式无意义，
∴，
解得：，B选项说法正确，不符合题意；
∴此分式为，
∵当时，原分式值为0，
∴，
解得：，A选项说法正确，不符合题意；
由上分析，原分式为，
当时，原分式值为，D选项说法正确，不符合题意；
当时，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，C选项说法错误，符合题意；
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．对选项进行判断即可．
【详解】解：A. 是整式，不是分式；
B. 是整式，不是分式；
C. 是分式；
D. 是整式，不是分式；
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了分式方程的解，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母为0，所以增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【详解】解：方程两边都乘，得：
，
∵原方程有增根，
∴，
解得：，
把代入，得：
，
∴．
故选：C．
5．B
【分析】此题考查分式的基本性质，解题关键在于掌握运算法则．根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
【详解】解：分式中的x和y都扩大为原来的2倍，
则，
则分式的值不变
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了解分式方程以及新定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
【详解】解：根据题中的新定义化简得：，
去分母，得，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
故选：C．
7．D
【分析】本题考查分式混合运算，分式的基本性质，根据分式的混合运算解答即可．
【详解】解：，
，
故选：D．
8．D
【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设原计划分组，根据题意列出方程即可求解．
【详解】解：设原计划分组，
由题意得，．
故选：D．
9．
【分析】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
先把分式的分母因式分解，再约分即可．
【详解】解：，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分．
先把两个分式通分，然后按照同分母分式相减进行计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
11．且
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．利用二次根式有意义的条件得，利用分式有意义的条件得，求解即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，且，
解得：，且，
故答案为：且．
12．或/1或
【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，把原方程去分母并化简后得到，根据原方程无解可得或当时，原方程有增根，据此讨论求解即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
当，即时，此时满足原方程无解；
当，即时，解得，
∵原方程无解，
∴是原方程的增根，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意；
综上所述，或，
故答案为：或．
13．
【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，确定m的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负数，可得且，进而得到且，问题随之得解．
【详解】解：，
解①得：，
解②得：，
关于的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，
不等式组的解集为：，其整数解为：3、2、1，
∴，
解得：，
解方程，得，
关于的分式方程的解为的解为非负数，
且，
解得且，
且，
则所有满足条件的整数m的值之和是，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查分式方程的应用，设原计划每天修米，则实际每天修米，根据实际比原计划提前2天完成了任务，列出方程即可．
【详解】解：设原计划每天修米，则实际每天修米，
由题意得：，
故答案为：．
15．
【分析】根据分式乘法运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
16．
【分析】本题主要考查了分式的约分和求值，先把分子提取公因式x分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，再把分子和分母约分，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解；
，
当时，原式．
17．(1)无解
(2)
【分析】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的步骤和解法是解题的关键．
（1）先去分母化为整式方程求出解，再检验即可；
（2）先去分母化为整式方程求出解，再检验即可．
【详解】（1）解：
去分母得，，
移项，合并同类项得，，
检验：当时，，
∴原分式方程无解；
（2）
去分母得，，
整理得：，
解得：
检验：当时，，
∴．
18．(1)
(2)嘉琪的说法不正确
【分析】本小题考查完全平方公式、分式的加法运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
（1）根据分式的加法运算即可求解；
（2）根据题意得出，根据非负数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：原式．
当，时，原式；
（2）嘉琪的说法不正确，理由如下：
，，
，
∵，，是非零实数，
，
的结果是非负数，
离淇的说法不正确．
19．(1)；
(2)①；②．
【分析】本题主要查了分式的乘除运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键．
（1）根据分式的乘方法则计算，即可；
（2）①根据分式的乘方法则计算，即可；②先计算乘方，再计算除法，即可．
【详解】（1）解：根据题意得：；
故答案为：
（2）解：①；
②
20．(1)
(2)
(3)1
【分析】本题考查整体思想，完全平方公式，整式的运算，分式运算法则，解题的关键是掌握整体思想，看懂例题．
（1）将看成一个整体，令，代入计算即可；
（2）将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，代入计算即可；
（3）将代入求解即可．
【详解】（1）解：将看成一个整体，令，
则原式．
（2）解：将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，
则原式
．
（3）解：∵，
∴
．
21．购进一个A产品元，购进一个B产品元
【分析】本题主要考查分式的运用，理解数量关系，正确列分式方程求解是关键．
设购进一个B产品元，则购进一个A产品元，根据数量关系列分式方程求解即可．
【详解】解：设购进一个B产品元，则购进一个A产品元，
∵用1600元购进B产品的数量与用1800元购进A产品的数量相等
∴，
解得，，
检验，当时，，
∴是原分式方程的解，则（元）
∴购进一个A产品元，购进一个B产品元．
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