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第六章平行四边形达标练习卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版
一、单选题
1．在中，、分别是、的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，中，对角线交于点O，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，已知矩形中，分别是上的点，、分别是、的中点，当在上从向移动而不动时，那么下列结论成立的是（　　）
A．线段的长不能确定 B．线段的长逐渐增大
C．线段的长逐渐减小 D．线段的长不改变
5．如图，已知，若四边形为平行四边形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若，则的长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
7．如图，在中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．5
8．如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．在平行四边形中，是的2倍， 那么 ．
10．如图，在中，，，，点分别平分线段，则的长为 ．
11．如图，设点是平行四边形的边上任意一点，设的面积为，的面积为，的面积为，则 ．

12．如图，在中，过对角线交点O作直线分别交、于点E、F．若，，，则四边形的周长为 ．
13．如图，梯形中，，且，设，，那么关于的函数关系式是 ．
14．如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 ．
三、解答题
15．如图，在的方格中，请按要求画出格点四边形（顶点均在格点上的四边形）．
(1)在图①中，以为边画一个格点，且各边边长为整数．
(2)在图②中，以为对角线画一个格点，使．
16．如图，在中，点分别在上，，交于点O．求证．
17．如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)比较与的大小．并说明理由．
18．如图，在平行四边形中，点为的中点．仅用无刻度的直尺在给定图形中画图，画图过程用实线表示，按步骤完成下列问题：
(1)若，请在图1中的边上找点，使；
(2)如图2，点为边上一点，请在图2中的边上找点，使．
19．证明三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在中，点M、N分别为边、的中点，连接．
求证：，．
20．如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)连接交于点，若，，，求，的长．
《第六章平行四边形达标练习卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D D D A B B C
1．B
【分析】本题考查三角形的中位线，解题的关键是掌握中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．据此解答即可．
【详解】解：∵在中，、分别是、的中点，，
∴是的中位线，
∴．
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据边形是平行四边形，得，再结合两直线平行，同旁内角互补，得，即可作答．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
故选：D
3．D
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，根据平行四边形对角线互相平分得，从而可求出的值．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，且，
∴，
∴，
故选：D．
4．D
【分析】本题考查了三角形中位线定理，连接．由三角形中位线定理得出，即可得出答案，熟练掌握三角形中位线定理是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接．
∵、分别是、的中点，，
∴为的中位线，
∴．
∵不动，
∵的长为定值．
∴线段的长不改变，
故选：D．
5．A
【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
先根据邻补角性质求得，再根据平行四边形的对角相等求解即可．
【详解】解：∵
∴
∵四边形为平行四边形
∴
故选：A．
6．B
【分析】本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据作图可知，结合平行四边形的性质可得，则，可得．
【详解】解：由题中作图可知：平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
7．B
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等，解题的关键是通过证明进行面积转换．先证明，可得，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，据此即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
故选：B．
8．C
【分析】如图，取的中点，连接、、，作于，首先证明，求出，，利用三角形中位线定理，可知，求出的最大值以及最小值即可解决问题．
【详解】解：如图，取的中点，连接、、，作于，
四边形是平行四边形，，，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，，
，
点在上，
的最大值为的长，最小值为的长，
的最大值为，最小值为，
的最大值为，最小值为，
的最大值与最小值的差为：．
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形、含的直角三角形的特征、三角形中位线定理，解题关键是构造以为中位线的三角形．
9．/120度
【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握对边平行是解题的关键．
根据平行四边形对边平行得到，再由即可求解．
【详解】解：∵平行四边形，
∴
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
10．2
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理和三角形中位线定理等知识，得出的长是解题关键．首先利用平行四边形的性质对角线互相平分得出的和长，再利用勾股定理得出的长，进而利用三角形中位线定理与性质得出的长．
【详解】解：∵，
∴，
在平行四边形中，，，
，，
∴，
∵点分别平分线段，
是的中位线，
∴．
故答案为：．
11．1
【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键．
过作，则、、上的高相同，根据平行四边形的性质并结合题意可得，然后分别表示出三角形的面积，最后进行变形即可解答．
【详解】解：如图，过作，
∵点是平行四边形的边上任意一点，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为： ．
12．12
【分析】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定以及全等三角形的性质，根据平行四边形的对边相等得：，．再根据平行四边形的性质和对顶角相等可以证明：．根据全等三角形的性质，得：，，故四边形的周长为．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
故四边形的周长为．
故答案为：12．
13．
【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，函数的关系式，等边对等角，在上截取，可知四边形是平行四边形，得，则，再结合，可得，进而可知，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：在上截取，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，则，
∵，，
∴，
∴，
由三角形内角和定理可得：，
即：，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，的直角边等于斜边的一半，垂线段最短，根据题意添加合适的辅助线是解题关键．
过点作，交的延长线于点，利用平行四边形的性质得，通过“直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”可得，即当点、点、点三点共线，且时，有最小值，结合、即可求解的值．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
当点、点、点三点共线，且时，有最小值，即，
，，
．
故答案为：．
15．(1)画图见解析
(2)画图见解析
【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理，平行四边形的判定，熟练掌握网格特点是解题关键．
（1）根据格点特点结合平行四边形的判定，画出即可；
（2）根据题意画出，，再画出即可．
【详解】（1）解：如图，四边形为所求作的平行四边形，
，，
四边形为平行四边形，符合题意．
（2）解：如图，四边形为所求作的平行四边形，
∵，，
∴四边形是平行四边形；
∵，
∴，
∴四边形为所求作的平行四边形．
16．见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先由平行四边形的性质得，则，结合，得，再证明，即可作答．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
17．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）连接证明，得到，证明是等边三角形．则．即可得到结论；
（2）作于．求出和，即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接
∵都是等边三角形，
．
．
∴
．
∵，
．
是等边三角形．
．
四边形是平行四边形．
（2）作于．
∴，
在Rt中，，
四边形是平行四边形
，
又，
又是等边三角形，各边上的高相等都是
．
．
【点睛】此题考查了等边三角形性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形是平行四边形是关键．
18．(1)图见解析；
(2)图见解析．
【分析】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的性质，三角形中位线的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）连接交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求；
（2）连接交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求．
【详解】（1）解：连接交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴点为中点，
又∵点为的中点，
∴为的中位线，
∴，即，
又∴，
∴，
∴；
（2）解：连接交于点，连接并延长交于点，连接交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴点为的中点，
又∵点为的中点，
∴为的中位线，
∴，即，
∴，
∵点为的中点，，
∴是的中位线，
∴点是的中点，
∴是和的中位线，
∴，
∴．
19．见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
延长至，使，连接，先证明，得，，再证明四边形是平行四边形，可得结论．
【详解】证明：延长至，使，连接．
∵点M、N分别为边、的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
，，
，
∴．
20．(1)证明见解析
(2)，的长为
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（）证明是的中位线, 得，即，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（）由（）可知，是的中位线，四边形为平行四边形，则，，，，然后由勾股定理求出，故，，再由勾股定理求出，，最后由平行四边形的性质即可求解．
【详解】（1）证明: ∵是的中点，，
∴是的中位线，
∴，即，
∵
∴四边形为平行四边形；
（2）解: 由（）可知，是的中位线，四边形为平行四边形，
∴，，，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
即的长为．
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