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河南省南阳市2024 2025年高二下学期期中质量评估数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列求导运算结果不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．现有一组样本数据都在直线上，则该组样本数据的相关系数（ ）
A． B． C． D．1
3．在等差数列中，已知，则（ ）
A． B． C．-10 D．
4．已知双曲正弦函数，双曲余弦函数．若点在曲线上，为曲线在点处切线的倾斜角，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知成等差数列，成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．2
6．在数列中，，则（ ）
A． B． C．2025 D．5050
7．已知首项为，公比为q的等比数列，其前n项和为，则“”是“单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知公差不为零的等差数列的前项和为，满足，则（ ）
A． B． C．10 D．20
二、多选题（本大题共3小题）
A．回归直线经过样本点的中心
B．回归直线至少经过所有样本点中的一个
C．两个变量相关性越强，则相关系数越接近1
D．对于独立性检验，随机变量的值越大，判定“两个变量有关系”犯错误的概率就越小
10．为满足人们对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，则下列结论中正确的有（ ）
A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强
B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强
C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标
D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强
11．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，最大 B．使得成立的最小自然数
C． D．中最小项为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数的导函数为，且满足，则 ．
13．已知数列中，，且，则 ．
14．牛顿法求函数零点的操作过程是：先在轴上找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，依次类推，直到求得满足精度的零点近似解为止．设函数，初始点为，若按上述过程操作，则所得前个三角形，的面积和为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在处的切线与直线垂直，求．
16．2025年春节档一部国产动画电影《哪吒之魔童闹海》横空出世，迅速斩获各项票房冠军，截止3月20日，该电影已进入全球票房榜前五．经权威电影机构调查，得到其前5周的票房数据如下表：
周次 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周
周次代码 1 2 3 4 5
票房总额亿元 40 35 25 37 7
(1)求关于的线性回归方程；
(2)该机构随机调查了某电影院2月15日200位观影人的购票情况，其中购买《哪吒之魔童闹海》的男性有80人，女性有70人，购买其他电影的男性有30人，女性有20人，完成列联表，并判断是否有的把握认为是否购买《哪吒之魔童闹海》与性别有关．
购买《哪吒》 购买其他电影 合计
男性
女性
合计
附：①，在利用最小二乘法求得的线性回归方程中，
②，其中．
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
17．已知是公差为的等差数列的前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求使成立的的最小值；
(3)求数列的前项的和．
18．已知数列的前项和为，．
(1)求的通项公式．
(2)若数列满足，其前项和为．
①求；
②若对任意恒成立，求实数的取值范围．
19．拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础．其定理陈述如下：如果函数在区间上连续，在区间内可导，则存在，使得．已知函数，数列满足，且．
(1)求；
(2)证明：数列为等比数列；
(3)若数列，记为数列的前项和，证明：．
参考答案
1．【答案】B
【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.
故选B.
2．【答案】A
【详解】由样本数据都在直线上，可得，
因为的斜率为负数，所以，所以．
故选A.
3．【答案】D
【详解】根据等差数列前项和性质，可得成等差数列，
所以，即，解得．
故选D.
4．【答案】C
【详解】设，则，
当且仅当时，即时，等号成立，
即，所以；
故选C.
5．【答案】D
【详解】由等差数列的性质，，
由等比数列的性质，，解得，
又因为等比数列奇数项符号相同，所以，
所以．
故选D.
6．【答案】D
【详解】因为，所以，
当时，，
以上个式子左右两边分别相乘得，
即，
又，所以，
所以．
故选D.
7．【答案】A
【详解】在等比数列中，，则，
当时，，所以单调递增，故充分性成立；
当单调递增时，时，单调递增，但是推不出，故必要性不成立.
故选A.
8．【答案】B
【详解】若，则，不符合题意；
所以，则，所以公差，
且有，所以①，
②，
又③，上述三式联立解得，，，
所以．
故选B.
9．【答案】AD
【详解】对于A：回归直线恒过样本点的中心，故A正确；
对于B：回归直线可以不过任一个样本点，故B错误；
对于C：两个变量的相关性越强，则相关系数r的绝对值就越接近1，故C错误；
对于D：对于独立性检验，随机变量的值越大，判定“两个变量有关系”犯错误的概率就越小，故D正确．
故选AD.
10．【答案】ABC
【详解】由题图可知甲企业的污水排放量在时刻高于乙企业，
而在时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，
故在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A正确；
由题图知在时刻，甲企业在该点的切线斜率的绝对值大于乙企业的，故B正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，故C正确；
由题意可知，甲企业在，，这三段时间中，在时的污水治理能力明显低于时的，故D错误．
故选ABC．
11．【答案】ABD
【详解】因为，所以，
由，所以，所以，
所以．
所以，当时，最大，故A正确；
因为，
，
所以使得成立的最小自然数，故B正确；
由，且，
所以，即，故C错误；
因为当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以．
且，
所以中最小项为，故D正确．
故选ABD.
12．【答案】
【详解】由函数，可得，
令，可得，解得．
13．【答案】
【详解】由，可得，即，
又，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，即，所以．
14．【答案】
【详解】设，则，因为，所以，
则处切线为，
切线与轴相交得，
，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，又，所以得，
所以，
又，
所以
.
15．【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）因为，得
所以，
所以切线方程为，，即，
所以在处的切线方程为：．
（2）因为，
所以，
由题意知，，
所以．
16．【答案】(1)
(2)表格见解析，没有的把握认为购买《哪吒之魔童闹海》与性别有关
【详解】（1）解：由前5周的票房数据，可得，
，
所以，则，
故所求的线性回归方程为．
（2）解：由题意，可得列联表如下．
购买《哪吒》 购买其他电影
男性 80 30 110
女性 70 20 90
合计 150 50 100
可得，
故没有的把握认为购买《哪吒之魔童闹海》与性别有关．
17．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，即，即，
又，解得，所以．
（2）由（1）可得，
由可得，即，解得或，
因为，故正整数的最小值为．
（3）因为，
对任意的，，
故
.
18．【答案】(1)；
(2)①；②.
【详解】（1）因为，所以，
两式相减得，
即，
当时，得，
所以是首项，公比为2的等比数列，
故的通项公式为．
（2）①由（1）得，
则，
可得，
所以，
所以．
②对任意恒成立，
即，整理得恒成立．
令，则，
当时，，
当时，，
当时，，
所以以，即的最小值为，
综上，，即实数的取值范围是.
19．【答案】(1)．
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）解：由函数，则，
则，可得，
即，
又由，所以．
（2）解：由（1）知：，可得，即，
又由，所以数列为首项为3，公比为2的等比数列．
（3）证明：由（2）可得，则，
所以，
则.
因为，可得，所以，
所以.

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