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河南省濮阳市南乐县豫北名校2024 2025学年高二下学期4月期中数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
2．的展开式的第4项为（ ）
A． B． C． D．
3．若随机变量的分布列为，则（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
4．已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．若随机变量的所有可能取值为2，4，且，则（ ）
A． B． C．1 D．
6．已知等差数列的公差，前项和为，若，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．2025年2月深圳福田区推出基于DeepSeek开发的AI数智员工，并上线福田区政务大模型2．0版，该模型能进一步驱动政务效能全面跃升．某地也准备推出20名AI数智员工（假定这20名AI数智员工没有区别），分别从事三个服务项目，若每个项目至少需要5名AI数智员工，则不同的分配方法种数为（ ）
A．21 B．18 C．15 D．12
8．已知盒中装有9个除颜色外其他完全相同的小球，其中有3个白球，6个红球，每次从盒中随机抽取1个小球，观察颜色后再放回盒中，直到两种颜色的球都取到，且取到的一种颜色的球比另一种颜色的球恰好多2个时停止取球，则停止取球时取球的次数为6的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．在空间直角坐标系中，已知点，（与点不重合），则下列结论正确的是（ ）
A．若点，关于平面对称，则
B．若点，关于轴对称，则
C．若，则
D．若，则
10．已知函数的导函数为，则（ ）
A．一定是偶函数
B．一定有极值
C．一定存在递增区间
D．对任意确定的，恒存在，使得
11．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点从点处出发，每次向上或向右移动1个单位长度，直至到达点时停止移动，则下列结论正确的是（ ）

A．移动的方法共有252种
B．仅有4次连续向上移动的方法有30种
C．经过点的移动方法有70种
D．若对任意，从第次到第次的移动方向相同，则移动的方法有2种
三、填空题（本大题共3小题）
12．某地高中生的肺活量（单位：）服从正态分布，若该地有12000名高中生，则其中肺活量低于的高中生的人数约为 ．
参考数据：．
13．若函数的图象在处的切线与在处的切线互相垂直，则的一个值为 ．
14．甲、乙、丙三人进行篮球传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第4次传球传给乙的概率为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知椭圆经过点，且的离心率．
(1)求的方程；
(2)若直线经过点且与相切，求的方程．
16．如图，在长方体中，，，，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
17．河南省是我国小麦产量第一大省，约占全国小麦产量的．小麦品种是在河南省广泛种植的一个品种，某科研基地在实验田种植的品种小麦收获时，随机取10个该小麦的种子样本，每个样本均为1000粒，测得每个样本的质量（称为千粒重，单位：g）分别为40，48，42，46，50，46，52，43，48，45，记这10个数据的平均数为．
(1)从这10个数据中随机选取3个，记这3个数据中大于的个数为，求的分布列；
(2)用这10个样本中千粒重大于g的频率作为每个样本千粒重大于g的概率，从品种小麦种子中随机抽取20个样本，千粒重大于g的样本最有可能是几个？
18．已知数列满足，．
(1)求证：是等比数列；
(2)若，求数列的前项和；
(3)判断是否存在，使得，，成等差数列，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
19．若函数在区间上有意义，且存在，使得对任意的，当时，单调递增，当时，单调递减，则称为上的“抛物线型函数”，其中为在上的峰值．
(1)若函数，试判断是否是区间上的“抛物线型函数”；
(2)若是区间上的“抛物线型函数”，求实数的取值范围；
(3)若函数，求证：是区间上的“抛物线型函数”，并求在区间上的峰值．
参考答案
1．【答案】C
【详解】由双曲线即知，则离心率为.
故选C.
2．【答案】B
【详解】因为，所以.
故选B.
3．【答案】B
【详解】根据分布列中概率之和为1，列方程得：，即，
解得.
故选B.
4．【答案】C
【详解】设圆心坐标为：
由题意可知圆的标准方程为：，
由圆过点，
所以，解得：，
所以圆的标准方程为，
故选C.
5．【答案】A
【详解】由分布列的性质可知：，
所以，所以
，
故选A.
6．【答案】D
【详解】因为，所以，所以，
即，所以，所以.
故选D.
7．【答案】A
【详解】先每组分5名员工，然后剩余5名分成三组，
采用隔板法，五名员工和两个隔板，共有七个位置，
所以不同的分配方法种数为种.
故选A.
8．【答案】C
【详解】从袋中有放回地取球，每次取到红球的概率 ，取到白球的概率是 ，连续有放回地取 次，相当于次独立重复试验；
根据题意，知第6次时首次满足：两种颜色都取到；一种比另一种多2.
即：前5次不满足“两种都取到且差为2”；第6次后满足“两种都取到且差为2”.
可能的序列：
①第6次后4白2红：前5次3白2红（差1），第6次白；
②第6次后4白2红：前5次4白1红（差3），第6次红；
③第6次后2白4红：前5次2白3红（差1），第6次红；
④第6次后2白4红：前5次1白4红（差3），第6次白.
设所求的概率为,所以
.
故选C.
9．【答案】BC
【详解】对A，若点，关于平面对称，则，
所以，故A错误；
对B，若点，关于轴对称，则，
所以，故B正确；
对C，若，则，故C正确；
对D，若，则，
所以，两式相减得，故D错误.
故选BC.
10．【答案】ACD
【详解】对于A，由得，定义域为关于原点对称，
且，所以一定是偶函数，故A正确；
对于B，当时，，在上单调递增，没有极值，故B错误；
对于C，当时，，在上单调递增，
当时，得或，
则在和上单调递增，综上，一定存在递增区间，故C正确；
对于D，因为，所以的值域即在上的值域，
而在上必有大于0的最大值，记该最大值为，则，
即对任意确定的，恒存在，使得，故D正确.
故选ACD.
11．【答案】ABD
【详解】对A，由题可知，无论怎样走，一定移动10次，其中5次向上移动，5次向右移动，
故移动的方法共有种，故A正确；
对B，仅有4次连续向上移动的方法有种，故B正确；
对C，若经过点，则前3次向右移动2次向上1次，后7次向右3次向上4次，
所以移动的方法有种，故C错误；
对D，由题可知，当时，第1,2次的移动方向相同，当时，第3,4,5次的移动方向相同，
当时，第6,7,8,9次的移动方向相同，因为向右5次，向上5次，
所以第次的移动方向相同，则移动的方法有2种，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】因为，
所以.
所以肺活量低于的高中生的人数约为：.
13．【答案】(答案不唯一)
【详解】由，
可得，
所以在处的切线斜率为，在处的切线斜率为
由题意：，
可设，则，
解得：，，
同时取，得，
所以的一个值为.
14．【答案】/
【详解】前4次传球接球的情况有：乙甲乙甲、乙甲乙丙、乙甲丙甲、乙甲丙乙、乙丙甲乙、乙丙甲丙、
乙丙乙甲、乙丙乙丙、丙甲乙甲、丙甲乙丙、丙甲丙甲、丙甲丙乙、丙乙甲乙、丙乙甲丙、丙乙丙甲、丙乙丙乙，共16种，
第4次传球传给乙的情况有：乙甲丙乙、乙丙甲乙、丙甲丙乙、丙乙甲乙、丙乙丙乙，共5种，
设第4次传球传给乙的事件为，则.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由椭圆经过点，且的离心率，
可得，且，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）解：当过的直线的斜率不存在时，此时，显然不符合题意，
设直线的斜率为，则直线的方程为，即，
联立方程组，整理得，
因为直线与椭圆相切，所以，
整理得，解得，
所以的方程为，即.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面；
（2）由长方体可知，，两两垂直，以为坐标原点，
向量，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

有，，，，，设，
，，，，
因为，所以，解得，所以，
设平面的一个法向量为，
有，
令，可得，设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．【答案】(1)
0 1 2 3
P
(2)8
【详解】（1），10个数据中有4个数据大于平均数，
所以从这10个数据中随机选取3个，记这3个数据中大于的个数为，，
，，
，，
的分布列如下：
0 1 2 3
P
（2）由题意知每个样本千粒重大于g的概率为，从品种小麦种子中随机抽取20个样本，千粒重大于g的样本个数记为Y，则Y～，
，
令，即
解得，又，所以，
所以从品种小麦种子中随机抽取20个样本，千粒重大于g的样本最有可能是8个.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)不存在
【详解】（1）由条件得，所以，
又，所以是首项为2，公比为2的等比数列；
（2）由（1）知，所以，
设，则，
两式相减得，
所以，
设，
则．
（3）由（1）知，所以，
假设存在，使得，，成等差数列，
则，所以，即，即，
当时，，，，
当时，，
所以不存在，使得，，成等差数列.
19．【答案】(1)不是区间上的“抛物线型函数”
(2)
(3)证明见解析；-2
【详解】（1）因为，所以，
设，则，
当时，可得，所以函数在区间上单调递减，
所以，所以，所以在区间上单调递减，
故不是是区间上的“抛物线型函数”
（2）因为，所以，
当时，，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
但区间为，所以在区间上单调递增，不满足题意；
当时，令得或，
若，当时，，函数在区间上单调递增，
当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，
若是区间上的“抛物线型函数”，
则，解得；
若，当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，
当时，，函数在区间上单调递减，不存在，
使得在区间上先增后减，故不满足题意.
综上，实数的取值范围为；
（3）因为，
所以，
设，则在区间单调递减，
且，
所以存在，使得，
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
所以是区间上的“抛物线型函数”，
由得，则，
所以，
即在区间上的峰值为.

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