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河南省信阳市浉河区信阳高级中学2024 2025学年高二下学期4月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知随机变量服从二项分布，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知等差数列中，，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．若展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数的极小值点，那么函数的极大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．在数列中，，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
7．某冷饮店有种瓶装饮品可供选择，现有位同学到店，每人购买一瓶，则恰好购买了种饮料的购买方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
8．甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．某兴趣小组9名同学的数学成绩（单位：分）分别为：，，，，，，，，，则（ ）
A．中位数是88.5 B．上四分位数是91
C．下四分位数是80 D．极差是30
10．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．2
11．已知为常数，函数有两个极值点，，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率直方图如图所示，其中支出在[20，30）内的同学有10人，则的值为 ．

13．已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和 .
14．已知，则的大小关系为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列满足，且，数列满足，且点在直线上，其中.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求的前项和.
16．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)记的两个零点分别为，求曲线在点处的切线方程.
17．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小；
(3)试在线段上一点，使得与所成的角是．
18．已知平面内一动圆过点，且轴被该圆截得的弦长为2，设该动圆圆心的轨迹为曲线.
(1)求的方程.
(2)若过点且斜率为的直线与交于两点，分别作在点处的切线，两条切线交于点.
（i）若，求的取值范围；
（ii）若的面积为，求直线的方程.
19．无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校120名大学生（男女各60人），调查结果如下表所示：
对无人驾驶的态度性别 支持 中立 反对
男 36 18 6
女 24 21 15
用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分．
(1)为判断性别对无人驾驶的支持态度是否存在关联，对上面数据重新整理形成下表，请补齐数据，并作出检验判断：能否有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联？
对无人驾驶的态度性别 支持 不支持
男
女
附：，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
(2)从抽样调查的60名男大学生中，按分层抽样选10名学生进行深度追踪访谈，求选出的3名男大学生对无人驾驶的支持态度各异的概率；
(3)从该校任选名学生，其中得分为5的学生人数为，若，利用下面所给的两个结论，求正整数的最小值．
结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布；
结论二：若随机变量，则，．
参考答案
1．【答案】B
【详解】，
故选：B．
2．【答案】A
【详解】设首项为，公差为，因为，所以，
即，解得，因为，所以，
解得，则，得到，故A正确.
故选：A
3．【答案】A
【详解】由，得，
则，
则，
所以切线方程为.
故选：A.
4．【答案】B
【详解】∵展开式的二项式系数之和为，
∴，故，
∴展开式的第项为，
由得，
∴，即含项的系数为.
故选：B.
5．【答案】D
【详解】由，因为是函数的极小值点，
所以，即
则当或时，，所以在上递增，
则当时，，所以在上递减，
即在时有极大值,
故选：D .
6．【答案】C
【详解】因，则
，
当时，符合题意，故数列的通项公式为.
故选：C.
7．【答案】A
【详解】先指定购买的种饮料，共种，要求这位同学只能购买这种饮料，
利用间接法，每位同学共有种选择，共种购买方法，
除去位同学所买的饮料都是同一种，共种情况，
由分步乘法计数原理可知，恰好购买了种饮料的购买方法种数为种.
故选A.
8．【答案】C
【详解】设事件“第次球在甲手中”，“第次球在乙手中”，“第次球在丙手中”，
那么由题意可知：，又，
所以，构造等比数列，
因为第一次由甲传球，可认为第次传球在甲，即，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
故，
则.
故选：C.
9．【答案】BCD
【详解】将数据从小到大排列，有，，，，，，，，.
对于A，因数据个数为9，则中位数为第5个数据，即89，故A错误；
对于B，上四分位数为分位数，因，则上四分位数为第7个数据，
即91，故B正确；
对于C，下四分位数为分位数，因，则下四分位数为第3个数据，
即80，故C正确；
对于D，极差为，故D正确.
故选：BCD
10．【答案】AD
【详解】由双曲线，可得其中一条渐近线方程为，
因为双曲线的两条渐近线的夹角为，
所以直线的倾斜角为或，则或，
解得或，
当时，可得，此时双曲线的离心率为；
当时，可得，此时双曲线的离心率为.
故选：AD.
11．【答案】ABC
【详解】由题意有函数的定义域为，
所以，令有，即，令，所以，令有，当时，，当时，，所以函数在单调递增，在单调递减，，当时，，当时，，令有，
所以，即，且，故A正确；
当时，，即，当时，，即，当时，，即，所以在单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
，故B正确；
，故C正确；
当时，，故D错误；
故选：ABC

12．【答案】
【详解】

由频率直方图可得，支出在内的频率为，
所以有
故答案为：.
13．【答案】
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
∴.
∴，
∴.
故答案为：.
14．【答案】
【详解】由，
即，
令，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
则有，即，
令，
则在上恒成立，
故在上单调递减，
则有，即，
故.
故答案为：
15．【答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）由题意得，，首项为，
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以，即.
由题意得，，且，
所以数列是以5为首项，2为公差的等差数列，
所以.
（2）由题意，，
所以，
则，
两式相减可得，
，
所以.
16．【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，；当时，，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由（1）知，，
因此函数有两个零点，且，即，
则所求切线的切点坐标为，斜率，切线方程为
所以曲线在点处的切线方程为.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)为线段的中点
【详解】（1）设的交点为，连接，因为四边形ABCD为正方形，所以为的中点，
又在矩形ACEF中，因为M是线段EF的中点，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为面BDE，面BDE，所以平面BDE.
（2）正方形和矩形所在的平面互相垂直，
平面平面，平面，，
则平面，
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，，
所以，，，
因为，平面，所以平面，
所以为平面的一个法向量，
因为，
，
所以，所以为平面的一个法向量，
所以，所以与的夹角为．
即所求的二面角的大小为．
法2：在平面中过作于，连接，
，，，
平面，
是在平面上的射影，
由三垂线定理得
是二面角的平面角
在中，，，
，，
二面角的大小为；
（3）设，（），则，
因为PF与BC所成的角是60°，
所以，
解得或(舍)．
故为线段的中点．
18．【答案】(1)
(2)（i）；（ii）或
【详解】（1）设动圆圆心为，半径为，
则，即，
整理得的方程为.
（2）如图：
设，.
（i）由（1）可知为的焦点.
由题可知的方程为，
联立，可得，
则，.
所以.
由，可得，
解得或，即的取值范围是.
（ii）设点处的切线方程为，
联立，可得，
由，可得.
所以点处的切线方程为.
同理点处的切线方程为.
由，并结合（1）解得，即，
所以点到直线的距离为.
所以，解得，
所以直线的方程为或.
19．【答案】(1)数据见解析，有
(2)
(3)
【详解】（1）如表，，，，
对无人驾驶的态度 支持 不支持
男 36 24
女 24 36
，
有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联．
（2）按分层抽样从60名男生中选10名，其中支持、中立、反对的人数分别为：6、3、1，
故从中选出3人态度各异的概率为；
（3）由题可知从该校随机选一名学生得5分的概率为，易知，
设，根据结论一，知．
再根据结论二，知．
由条件知，
所以，解得，所以正整数的最小值为11．

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