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河南省周口市2024 2025学年高二下学期阶段性测试（三）（3）数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知点是空间直角坐标系中的一点，则点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的导数是（ ）
A． B． C． D．
3．若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．与圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知等差数列的首项为，若从第11项起比1大，则其公差的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知是从点出发的三条射线，若，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
7．某地举行新疆绿色农特产品展销活动，活动中有驼奶粉、奶豆腐、奶皮、酸奶共4种奶制品，无花果干、杏干、乌梅干、巴达木、开心果、葡萄干共6种干果，葡萄、哈密瓜、香梨、苹果、西瓜、沙棘、白杏共7种新鲜水果，张先生参观完活动决定至少选购一种商品，而每一大类中最多选购一种，则张先生不同的选购方法种数为（ ）
A．94 B．168 C．276 D．279
8．已知偶函数的图象是一条连续不断的曲线，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则（ ）
A． B．的渐近线方程是
C．的焦距为 D．的离心率为
10．某校派3名男同学和2名女同学参加冬令营，则下列说法正确的是（ ）
A．从5名同学中任选2人，至少有1名男同学和至少有1名女同学为对立事件
B．若5名同学排成一排合影留念，要求其中的2名女同学相邻，则有48种不同的排法
C．若5名同学和1位带队老师合影留念，要求这位老师与其中的甲、乙2名同学站在一起且站在甲、乙中间，则有48种不同的排法
D．若将这5名同学分配到3个班进行宣讲，每班至少1名同学，且每名同学只去1个班，则有150种不同的分配方案
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递减
B．当时，
C．当时，
D．若，则过点可作图象的两条切线
三、填空题（本大题共3小题）
12．在的展开式中，的系数是 ．
13．已知抛物线的准线为直线，为抛物线上一动点，点到轴的距离为，为圆上一动点，点到的距离为，则的最小值为
14．已知是递增的整数数列，若， ，则正整数的最大值为
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数的图象经过点，且在处取得极值．
(1)求的值；
(2)证明：．
16．已知公比大于1的等比数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)设为的前项和，，求的前项和．
17．如图，正方体的棱长为为棱上一点．
(1)证明：；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离．
18．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若，且当时，恒成立，求实数的取值范围．
19．已知是抛物线上一点，以点为圆心，2为半径的圆过的焦点．按如下方式依次构造点：过点作斜率为的直线与交于另一点，点为关于轴的对称点．
(1)求的方程；
(2)令，证明是等差数列，并求其通项公式；
(3)设是的面积，求证：．
参考答案
1．【答案】A
【详解】点关于平面对称的点的坐标为.
故选A.
2．【答案】B
【详解】.
故选B.
3．【答案】A
【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率，
所以直线方程为，化简可得.
故选A.
4．【答案】D
【详解】由圆有，
设圆关于直线对称的圆为，
则有，
所以圆关于直线对称的圆为，
故选D.
5．【答案】C
【详解】依题意，，
由从第11项起比1大，得，即，解得，
所以公差的取值范围是.
故选C.
6．【答案】B
【详解】过点作平面于，在平面内过作，
垂足分别为，连接，则为直线与平面所成的角，
，平面，则平面，
又平面，则，同理，由，
得，又，因此四边形为正方形，，
，所以直线与平面所成角的正弦值.
故选B.
7．【答案】D
【详解】选购1种，则有种；选购2种，则有种；
选购3种，则有种，共有种.
故选D.
8．【答案】D
【详解】设，对求导，可得：
已知当时，，所以当时，，则在上单调递增.
因为是偶函数，即，那么，所以也是偶函数.
已知，则，由是偶函数可得.
不等式两边同时乘以可得，即.
因为，所以.
又因为是偶函数且在上单调递增，所以.
即或.解得或.
同时要注意，即.
综上，不等式的解集为.
故选D.
9．【答案】ABD
【详解】对于A，由双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，得，解得，A正确；
对于B，双曲线的渐近线方程是，B正确；
对于C，的焦距为，C错误；
对于D，的离心率为，D正确.
故选ABD.
10．【答案】BCD
【详解】对于A，从5名同学中选出的2人可以是1男1女，同时满足至少有一名男同学和至少一名女同学，所以不是对立事件，A错误；
对于B，将须相邻的两名女同学捆绑在一起，则种，B正确；
对于C，将甲、乙、老师三人捆绑，老师在中间，甲乙在两边，则种，C正确；
对于D，将五名同学分组的方法有，“1，1，3”和“1，2，2”两种分法，则共有种排法，D正确.
故选BCD.
11．【答案】ACD
【详解】函数的定义域为，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
对于A，，则在区间上单调递减，A正确；
对于B，当时，，，，B错误；
对于C，当时，函数在上单调递增，，
，当从大于0的方向趋近于0时，趋近于0，因此，C正确；
对于D，当时，设切点坐标为，则，
而，切线方程为，而切线过点，
则，整理得，
令，求导得，
令，求导得，令，
求导得，则函数在上单调递增，，
，于是存在使得，当时，，
当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，
而，则存在使得，
当时，，当或时，，函数在上递减，在上递增，
，，
而，，即，函数在有唯一零点，
函数在有唯一零点，因此过点可作图象的两条切线，D正确.
故选ACD.
12．【答案】110
【详解】因为二项式的展开式为：
，
所以的展开式中含的项为，
则含的系数为.
13．【答案】
【详解】由准线方程，则，∴，
圆的圆心，半径，∴，
由抛物线的定义可知，
∴，
当三点共线时，最小，即，
又∵，∴当共线时，取最小值，
即.
14．【答案】55
【详解】
要求满足的的最大值，那么，
且是公差为的等差数列，
通项，则，
则，
当时，，此时，不满足题意．
当时，，此时，满足题意．
综上，的最大值为55．
15．【答案】(1).
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题，，即：且，
解得：，经检验，此时在处取得极小值，
故：.
（2）令，
令，解得，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以，
所以，
故，得证.
16．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）设等比数列的公比为，由，得，
则有，所以的通项公式为.
（2）由（1）知，，，
所以
.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在正方体中，，
又平面，平面，
所以，
又，平面，
所以平面，又平面，
所以.
（2）由题知，以所在直线，
分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，可得，
取，则，
令直线与平面所成角为，
则，
解得或（舍去），
所以，，又，
所以点到平面的距离为.
18．【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3).
【详解】（1）函数，求导得，则，而，
所以所求切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（3）当时，，不等式，
令函数，依题意，，恒成立，
求导得，
令，求导得，函数在上单调递增，
而，则存在，使，即，此时，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，由，得，
则，，
所以的取值范围是.
19．【答案】(1)
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）是抛物线上一点，得，
而，则，即，解得，
所以的方程为.
（2）点关于轴的对称点为，直线的斜率，
则，，即，又点都在上，
于是，两式相减得，
因此，数列是首项为2，公差为的等差数列，通项公式为.
（3）要证，只需证明.
直线的斜率，
直线的斜率，
因此，即，
所以.

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