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湖南省永州市第四中学2024 2025学年高二下学期直升班高考适应性练习数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数在复平面内对应的点在实轴上，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
3．已知集合有16个子集，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，若恰有两个零点，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B点，，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），当时，（ ）
A．170 B．168 C．130 D．172
8．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．关于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．各项的系数之和为0 B．二项式系数的和为
C．展开式共有2026项 D．展开式中常数项为-1
10．新中国成立以来，我国一共进行了七次全国人口普查（以下简称“普查”），历次普查得到的全国人口总数如图1所示，城镇人口比重如图2所示．下列结论正确的是（ ）
A．第三次普查城镇人口数量低于2亿
B．对比这七次普查的结果，我国城镇人口数量逐次递增
C．第六次普查城镇人口数量超过第二次人口普查总人口数
D．与前一次普查对比，第五次普查的总人口增长量高于第四次普查的总人口增长量
11．已知为正四棱柱，底面边长为2，高为4，，分别为，的中点.则下列说法正确的是（ ）
A．直线与平面所成角为
B．平面平面
C．正四棱柱的外接球半径为
D．以为球心，为半径的球与侧面的交线长为
三、填空题（本大题共3小题）
12．曲线在处的切线的方程为 ．
13．函数在上单调递增，则k的取值范围为 ．
14．如图，在中，D是AC边上一点，且，为直线AB上一点列，满足：，且，则数列的前n项和 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．写出下列圆的标准方程：
(1)圆心为，半径是；
(2)圆心为，且经过点.
16．已知在的展开式中，第4项为常数项．
(1)求的值；
(2)求含项的系数．
17．如图，在直三棱柱-中，3，=4，5，
(1)求证；
(2)在上是否存在点，使得并说明理由
18．第届北京冬季奥林匹克运动会于年月日至月日在北京和张家口联合举办.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的大热潮.某市举办了中学生滑雪比赛，从中抽取名学生的测试分数绘制成茎叶图和频率分布直方图如下，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图.

(1)求频率分布直方图中的值，并根据直方图估计该市全体中学生的测试分数的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，结果保留一位小数）；
(2)现要对测试成绩在前26%的中学生颁发“滑雪达人”证书，并制定出能够获得证书的测试分数线，请你用样本来估计总体，给出这个分数线的估计值.
19．已知函数的导函数为．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若存在两个不同的零点，，求实数的取值范围；
(3)在（2）的条件下，证明：．
参考答案
1．【答案】B
【分析】利用交集的定义求解即可.
【详解】因为，所以，
则，故B正确.
故选B.
2．【答案】D
【分析】由题意可得，由解出a的值，结合复数的几何意义即可求解.
【详解】由题意知，
，
所以复数z在复平面内对应的点的坐标为，
又该点在实轴上，所以，解得，
所以，则.
故选D.
3．【答案】A
【详解】因为集合有16个子集，
所以集合中有4个元素，分别为0，1，2，3，
所以.
故选A.
4．【答案】C
【详解】因为，所以，，
所以，
所以.
故选C.
5．【答案】C
【详解】当时，，得成立，
因为函数恰有两个零点，
所以时，有1个实数根，显然a小于等于0，不合要求，
当时，只需满足，解得：.
故选C.
6．【答案】C
【详解】
过点，作准线的垂线，交准线与，，过点作，交与点，
因为，所以，
又因为，所以，，，
在直角三角形中，，，所以，即直线的倾斜角为，所以，
将点坐标代入抛物线方程中可得，解得或（舍去）.
故选C.
7．【答案】D
【详解】依题意，，
故，
又，所以．
所以．
故选D.
8．【答案】B
【详解】，
即，
即，
构造，则在上单调递增，
因为，所以，
即存在，使得，
记，
，令，则，
所以在单调递减，在单调递增，，
因为，，
所以，
所以，所以，
所以
所以实数的取值范围是.
故选B.
9．【答案】AC
【详解】令，则各项系数的和为，故A正确；
展开式的二项式系数的和为，故B错；
展开式中共有2026项，故C正确；
展开式中的第项为，
因为，且，所以，因此展开式中无常数项，故D错；
故选AC.
10．【答案】BD
【详解】A：第三次普查城镇人口数量万人，即大于2亿，错误；
B：各次普查总人口数逐年递增，同时城镇人口比重也逐年递增，故我国城镇人口数量逐次递增，正确；
C：第六次普查城镇人口数量万人，而第二次人口普查总人口数为万人，第六次普查城镇人口数量未超过第二次人口普查总人口数，错误；
D：第五次普查的总人口增长量万人，第四次普查的总人口增长量万人，正确.
故选BD.
11．【答案】BCD
【详解】解：对于A：由正四棱柱的结构特征可知，则为直线与平面所成角，
因为，所以直线与平面所成角不等于，故A错误；
对于B：由正四棱柱的结构特征可得，，，
则四边形为平行四边形，可得，
平面，平面，
平面，
同理可证平面，
又，且，平面，
平面平面，故B正确；
对于C：正四棱柱外接球的直径即为其体对角线，
所以其外接球的半径，故C正确；
对于D：点到侧面的距离为，易得交线轨迹与圆相关，设为球与侧面交线轨迹的半径，
，立体图如下图所示：
球与侧面的交线轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，平面图如下图所示：
故交线长为，故D正确；
故选BCD.
12．【答案】
【详解】由得，故，又，
所以切线方程为，即，
13．【答案】
【详解】若，则在上单调递增，
所以函数在上单调递增，符合题意；
若，则函数在上单调递增，符合题意；
若，则在上单调递减，在上单调递增，
则，解得；
综上所述：k的取值范围为.
14．【答案】
【详解】由于D是AC边上一点，且，
则 ，
由于为直线AB上一点列，则．
因为 ，
则，故，
整理，即，
故，
令，则，即，
因此 ，，，
所以 是以1为首项，为公比的等比数列，则，
所以，
故 ．
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）圆心在，半径长是，
故圆的标准方程为．
（2）圆心在，且经过点，
故半径为，
故圆的标准方程为．
16．【答案】(1)6
(2)1
【详解】（1）的展开式通项为．
因为第4项为常数项，所以时，，解得．
（2）由（1）可知，
令，解得．
所以含项的系数为．
17．【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析
【详解】（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，AC BC CC1两两垂直，以C为坐标原点，、、分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如下图示：
则，，，，
，，， ，.
（2）假设在上存在点，使得，利用上式所建的空间直角坐标系，设，则，其中，
于是，又，由得：，解得，此时，.
在上存在点，使得，点与点重合.
18．【答案】(1)，平均数为
(2)
【详解】（1）解：由频率分布直方图可知，测试分数位于的频率为，
则测试分数位于个数为，
所以，测试分数位于的个数为，
所以.
估计平均数为.
（2）解：因为测试分数位于的频率为，测试分数位于的频率为，
能够获得“滑雪达人”证书的中学生测试分数要在前，
故设能够获得证书的测试分数线为，则，
由，可得，所以分数线的估计值为.
19．【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析
【详解】（1）若，
，又，
曲线在点处的切线方程为.
（2），
设，则.
令， 得， 在上，， 在上，，
在上单调递减， 在上单调递增，
.
又当或时，，
要使有两个零点， 只需， 解得，
的取值范围为.
（3）由题意及（2）知， 存在不同的， 使得，
不妨设， 则，.
设，则，
当时，，在上恒成立，
当时，单调递减，， 即.
，
在上单调递增，， 即.

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