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吉林省延边州延吉市第一高级中学2024 2025学年高二下学期期中数学考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．设函数在处可导，且，则等于（ ）
A．2 B． C． D．
2．夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为和，且两地同时下雨的概率为，则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子只放一个小球，则1号球和2号球都不放入1号盒子的方法共有（ ）
A．18种 B．12种 C．9种 D．6种
4．若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（ ）
A．360 B．180 C．90 D．45
5．电子设备中电平信号用电压的高与低来表示，高电压信号记为数字1，低电压信号记为数字0，一串由0和1组成的不同排列代表不同的电平信号，所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息．某电平信号由6个数字构成，已知其中至少有四个0，则满足条件的电平信号种数为（ ）
A．42 B．22 C．20 D．15
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．某社区组织体检活动，项目有抽血、彩超、胸透、尿检四项，共有5名医护人员执行任务，每个项目至少需要1名医护人员，且每个医护人员只参与一个项目．其中有3名医护人员四个项目都能胜任，有2名医护人员既不会彩超也不会胸透，其他两个项目都能胜任，则这5名医护人员的不同安排方案有（ ）
A．36种 B．48种 C．52种 D．64种
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．可表示为
B．若把英文“hero”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有23种
C．10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次
D．老师手里有3张参观游园的门票分给7人中的3人，则分法有种
11．下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则展开式中各项的二项式系数的和为1
C．多项式展开式中的系数为40
D．被5除所得的余数是1
三、填空题（本大题共3小题）
12．与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝ln x相切的直线方程是 ．
13．《哪吒2》9天登顶中国影史票房榜，之后持续狂飙，上映16天票房突破100亿；21天登顶全球动画电影票房榜，电影中哪吒需要从风、火、水、雷、土五种灵珠中选出四个，按顺序排列成法阵对抗敌人，已知风灵珠和火灵珠不能相邻，问共有多少种法阵组合方式 ．（用数字作答）
14．已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数，其中.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若对于任意，都有成立，求的取值范围.
16．某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.
(1)求男生甲被选中的概率；
(2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；
(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.
17．已知函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围；
(3)若函数在区间上不单调，求的取值范围.
18．在二项式展开式中，第1项和第2项的二项式系数之比为.
(1)求的值；
(2)求展开式中的常数项；
(3)求展开式中系数最大的项是第几项.
19．已知函数
(1)当 时，求函数的单调区间；
(2)若函数 在区间 上有1个零点，求实数k的取值范围；
(3)若 在 上恒成立，求出正整数k的最大值；
参考答案
1．【答案】A
【详解】由导数的定义可得，
因为，
所以，
故选A.
2．【答案】C
【详解】记事件A为甲地下雨，事件B为乙地下雨，
在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为.
故选C.
3．【答案】B
【详解】由于1号盒子不能放1号和2号球，则1号盒子有3号球、4号球2种方法，则剩下3个盒子各放一个球有种方法，一共有种方法.
故选B.
4．【答案】B
【详解】展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中第6项为中间项，所以总共11项，故n＝10，
通项公式为
当，即时为常数，此时
所以展开式的常数项是180
故选B.
5．【答案】B
【详解】依题意，求电平信号种数可以有3类办法，电平信号的6个数字中有4个0，有种，
电平信号的6个数字中有5个0，有种，电平信号的6个数字中有6个0，有种，
由分类加法计数原理得满足条件的电平信号种数为.
故选B.
6．【答案】A
【详解】令，可得，则，
二项式的展开式通项为，则.
当为奇数时，，当为偶数时，，
因此，.
故选A.
7．【答案】B
【详解】令，则，
在上单调递增，
，
则不等式，即为，即为，，
所以不等式的解集为.
故选B.
8．【答案】B
【详解】分两种情况：第一种，先从四个项目都能胜任的3人中选2人安排1人做彩超，1人做胸透，有种方案，再将余下的3人安排到剩下的2个岗位上，有种方案，故共有种方案；
第二种，安排四个项目都能胜任的3人中的2人做彩超、胸透，有种方案，再安排既不会彩超也不会胸透的2名医护人员做抽血、尿检，有种方案，故共有种方案．
则这5名医护人员的不同安排方案有种．
故选B.
9．【答案】AC
【详解】对于选项A，因为，故A正确；
对于选项B，因为，故B错误；
对于选项C，因为，故C正确；
对于选项D，因为，故D错误．
故选AC．
10．【答案】ABC
【详解】A项，，正确；
B项，h，e，r，o的全排列为（种），正确的有1种，故可能出现的错误共有（种），正确；
C项，10个朋友，两个人握手一次，共握手（次），正确；
D项，3张门票属于相同元素，故应有种分法，D不正确．
故选ABC.
11．【答案】ACD
【详解】对于A，因为，故A正确；
对于B，的展开式中各项的二项式系数的和为 ，故B正确；
对于C，因为，
展开式的通项为：
展开式的通项为：，
当时， 的系数为；
当时， 的系数为；
当时， 的系数为；
当时， 的系数为，
所以多项式展开式中的系数为，故C正确；
对于D，因为，
所以被5除所得的余数是1，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】2x－y－1－ln2＝0
【详解】∵直线2x－y－4＝0的斜率为k＝2，
又∵y′＝(ln x)′＝，∴＝2，解得x＝.
∴切点的坐标为.
故切线方程为y＋ln 2＝2.
即2x－y－1－ln 2＝0.
13．【答案】84
【详解】由题知共分两种情况：
第一种情况：风、火灵珠选出一个，水、雷、土三种灵珠均被选出，
共有种法阵组合；
第二种情况：风、火灵珠均被选出，水、雷、土三种灵珠选出两个，
先从水、雷、土三种灵珠中选出两个进行排列，共有种方法，
再将风、火灵珠进行插空，共有种方法，
则共有种法阵组合，
所以共有种法阵组合.
14．【答案】
【详解】由题可知，，，
令，则，，则，
则在上单调递增，.
，则，
因为，所以在上恒成立，
则在上单调递减，.
由题意对任意的，总存在，使得，
则，则.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）时，求出导数，求出切线斜率，从而得切线方程，整理成一般式即可；
（2）恒成立可转化为，即，从而只要求得的最大值即可，利用导数即可得出.
【详解】（1），，
，，
∴在处切线方程为,.
（2）∵，有恒成立，则，即，
令，当时，， ，
∵当时， ，所以在上单调递增，
∴．∴ ．
【关键点拨】利用导数处理不等式恒成立问题，一般转化为求函数的最值问题，其中分离参数法是重要的思想方法．
16．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）从7名成员中挑选2名成员，共有种情况，
记“男生甲被选中”为事件，事件所包含的基本事件数为种，
故.
（2）记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，
由（1），则，
且由（1）知，
故.
（3）记“挑选的2人一男一女”为事件，事件所包含的基本事件数为种，
由（1），则，
“女生乙被选中”为事件，则，
故.
17．【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为；
(2)
(3)
【详解】（1）若，则，
可得的定义域为，且，
令，则，令，则，
故的单调减区间为，单调增区间为；
（2）∵，则，
若函数在区间上单调递增，等价于对，恒成立，
可得对恒成立，
构建，可知开口向上，对称轴，
∴，
故，解得，
则的取值范围为.
（3）由（2）可得：，
若函数在区间上不单调，等价于，使得，
可得，使得成立，
构建，可知开口向上，对称轴，
∴，
故，解得，
则的取值范围为.
18．【答案】(1)12
(2)
(3)5
【详解】（1）二项式展开式的通项公式为，
由展开式第1项和第2项的二项式系数之比为，得，解得；
（2）由（1）知，
令，则，
故常数项为；
（3）设第的系数最大，则，解得，
而r为自然数，即，故展开式中系数最大的项是第5项.
19．【答案】(1)增区间，减区间
(2)
(3)3
【详解】（1）当时，，，
则，
令，得，令，得，
所以的单调增区间为，减区间为.
（2）由，
当时，由，得，
所以，在上是单调增函数，且图象不间断，
又，所以当时，，
所以函数在区间上没有零点，不合题意.
当时，令，得，
若，则，故在上是单调减函数，
若，则，故在上是单调增函数，
当时，，
又，
所以函数在区间上有1个零点，符合题意．
综上所述，的取值范围为.
（3）由在上恒成立，即，
由，则，对上恒成立，
令，则，
设，则，
所以在是单调增函数，
又，，
所以存在唯一的实数，使得，
当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，又，即，
，
，又，，
所以的最大值为3，

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