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第六章平面向量及其应用
综合测试
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中正确的是( )
A．－＝ B．＋＝0
C．0·＝0 D．＋＋＝
2．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋( )
A． B．
C． D．
3．已知a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边，b＝，c＝，B＝，那么a等于( )
A．1 B．2
C．4 D．1或4
4．已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝( )
A．－6 B．－5
C．5 D．6
5．向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
6．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱高度，某人在喷水柱正西方向的D处测得水柱顶端A的仰角为45°，沿D的北偏东30°方向前进100 m后到达C处，在C处测得水柱顶端A的仰角为30°，则水柱的高度是( )
A．50 m B．100 m
C．120 m D．150 m
7．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cos A＝，则△ABC的面积S为( )
A． B．
C． D．6
8．如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是( )
A．2 B．0
C．－1 D．－2
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是( )
A．(4，－8) B．(8,4)
C．(－4，－8) D．(－4,8)
10．若a，b，a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角则( )
A．a＝b
B．a·(a＋b)＝b·(a＋b)
C．|a|＝|b|
D．|a＋b|＝|a－b|
11．若△ABC为钝角三角形，且a＝2，b＝3，则边c的长度可以为( )
A．2 B．3
C． D．4
12．已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则( )
A．||＝||
B．||＝||
C．·3＝·
D．·＝·
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，则(a＋b)·c＝___；a·b＝___.
14．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝ 　.
15．(2023·华侨、港澳台联考)在△ABC中，A＝2B，a＝6，b＝4，则cos B＝　.
16．在△ABC中，已知D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝，∠ADB＝135°，若AC＝AB，则BD＝ 　.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
18．(本小题满分12分)如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y.
(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值．
19．(本小题满分12分)在锐角△ABC中，a＝2，_____.
(1)求角A；
(2)求△ABC的周长l的范围．
注：在①m＝，
n＝，且m·n＝－，
②(2b－c)cos A＝acos C，
③f(x)＝cos xcos－， f(A)＝.
这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
20．(本小题满分12分)一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(2－2)n mile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile到达海岛C．
(1)求AC的长；
(2)如果下次航行直接从A出发达到C，求∠CAB的大小．
21．(本小题满分12分)△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是边BC的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连接DF，求证：∠ADB＝∠FDC．
22．(本小题满分12分)已知向量a＝(2＋sin x,1)，b＝(2，－2)，c＝(sin x－3,1)，d＝(1，k)，(x∈R，k∈R)．
(1)若x∈，且a∥(b＋c)，求x的值；
(2)若函数f(x)＝a·b，求f(x)的最小值；
(3)是否存在实数k，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
第六章平面向量及其应用
综合测试
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．D
起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，－＝；，是一对相反向量，它们的和应该为零向量，＋＝0；0·＝0.
2．A
如图，＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝＋＝(＋)＝.
3．C
在△ABC中，b＝，c＝，cos B＝，
由余弦定理有b2＝a2＋c2－2accos B，
即7＝a2＋3－3a，
解得a＝4或a＝－1(舍去)．
故a的值为4.
4．C
　c＝(3＋t,4)，cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，
即＝，解得t＝5.
故选C．
5．B
　a与a＋2b方向相同，则存在实数λ(λ>0)使a＝λ(a＋2b)，即b＝a.
∵a＝(1,1)，∴|a|2＝2，
∴a·b＝a2·＝，∵λ>0，∴a·b>－1.
6．A
如图，设水柱高AB＝h m.
依题意有∠ADB＝45°，∠BDC＝90°－30°＝60°，∠ACB＝30°，且AB⊥BD，AB⊥BC．
由图可知，BD＝AB＝h，BC＝＝h，CD＝100，
又∵∠BDC＝60°，在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos 60°，
即(h2)＝h2＋1002－100h，
解得h＝50.
7．A
　由b2－bc－2c2＝0，整理得b2－c2＝c2＋bc，即b－c＝c，b＝2c.
由cos A＝＝＝，
得c2＝4，c＝2，b＝4.
又sin A＝，∴S＝bcsin A＝×4×2×＝.故选A．
8．D
由平行四边形法则得＋＝2，
故(＋)·＝2·，又||＝2－||，且，反向，设||＝t(0≤t≤2)，则(＋)·＝2·＝－2t(2－t)＝2(t2－2t)＝2[(t－1)2－1]．
∵0≤t≤2，
∴当t＝1时，(＋)·取得最小值－2，故选D．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．AD
　设b＝λa＝(λ，－2λ)，由|b|＝4|a|，得＝4，解得λ＝±4，故选AD．
10．BC
　如图，四边形OACB为平行四边形，设＝a，＝b，则＝a＋b，因为a＋b平分a与b的夹角，即是∠AOB的角平分线，所以∠BOC＝∠AOC，所以四边形OACB为菱形，所以|a|＝|b|；又因为a·(a＋b)＝|a||a＋b|cos∠AOC，b·(a＋b)＝|b||a＋b|cos∠BOC，所以a·(a＋b)＝b·(a＋b)，综上可得B、C正确．
11．AD
由三角形的边长能构成三角形，则有1又a则cos B＝<0或cos C＝<0，
所以4＋c2－9<0或4＋9－c2<0，解得1所以选项A、D满足．
故选AD．
12．AC
＝(cos α，sin α)，＝(cos β，－sin β)，所以||＝＝1，||＝＝1，故||＝||，A正确； 由题意得：·＝1×cos(α＋β)＋0×sin(α＋β)＝cos(α＋β)，·＝cos α·cos β＋sin α·(－sin β)＝cos(α＋β)，C正确； 故选AC．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13． _0__； _3__.
　∵a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，
∴a＋b＝(4,0)，∴(a＋b)·c＝4×0＋0×1＝0，
∴a·b＝2×2＋1×(－1)＝3.
14． 2　.
　由题意，S△ABC＝acsin B＝ac＝，
所以ac＝4，a2＋c2＝12，
所以b2＝a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8，解得b＝2(负值舍去)．
故答案为2.
15． 　.
　在△ABC中，＝，即＝，解得cos B＝.
16． 2＋　.
　设AB＝k，则AC＝k.再设BD＝x，则DC＝2x.
在△ABD中，由余弦定理，得
k2＝x2＋2－2·x·×＝x2＋2＋2x.①
在△ADC中，由余弦定理，得
2k2＝4x2＋2－2×2x·×＝4x2＋2－4x，
即k2＝2x2＋1－2x.　②
由①②得x2－4x－1＝0，解得x＝2＋(负值舍去)．
故BD＝2＋.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
(1)＝(3,5)，＝(－1,1)，
求两条对角线的长即求|＋|与|－|的大小．由＋＝(2,6)，得|＋|＝2，
由－＝(4,4)，得|－|＝4.
(2)＝(－2，－1)，
∵(－t)·＝·－t2，
易求·＝－11，2＝5，
∴由(－t)·＝0得t＝－.
18．
(1)若＝，则＝＋，故x＝y＝.
(2)若＝3，
则＝＋.
·＝·(－)
＝－2－·＋
＝－×42－×4×2×cos 60°＋×22＝－3.
19．
　(1)若选①，∵m＝，n＝，
且m·n＝－，
∴m·n＝－cos2＋sin2＝－，
∴cos A＝，∵A∈，∴A＝.
若选②，∵(2b－c)cos A＝acos C，
∴2bcos A＝acos C＋ccos A＝a·＋c·，
∴2bcos A＝b，∴cos A＝，
∵A∈，∴A＝.
若选③，f(x)＝cos x－＝cos2x＋cos xsin x－＝×＋×－＝＝sin ，
∵f(A)＝，∴sin ＝.
∵A∈，∴A＝.
(2)∵＝4，∴l＝4sin＋4sin B＋2，
∴l＝4sin ＋2.
∵△ABC为锐角三角形且A＝，∴B∈，
∴B＋∈，∴l∈(6＋2，6]．
20．
(1)由题意，在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，
AB＝2－2，BC＝4，
根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝(2－2)2＋42＋(2－2)×4＝24，
所以AC＝2.
(2)根据正弦定理得，sin∠BAC＝＝，
所以∠CAB＝45°.
21．
如图，B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设A(0,2)，C(2,0)，则D(1,0)，＝(2，－2)．
设＝λ，
则＝＋＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)．
又＝(－1,2)，⊥，
∴·＝0，
∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，
∴λ＝.
∴＝，＝－＝.
又＝(1,0)，∴cos ∠ADB＝＝，
cos ∠FDC＝＝，
又∠ADB，∠FDC∈(0，π)，
∴∠ADB＝∠FDC．
22．
(1)∵b＋c＝(sin x－1，－1)，又a∥(b＋c)，
∴－(2＋sin x)＝sin x－1，即sin x＝－.
又x∈，
∴x＝－.
(2)∵a＝(2＋sin x,1)，b＝(2，－2)，
∴f(x)＝a·b＝2(2＋sin x)－2＝2sin x＋2.
又x∈R，
∴当sin x＝－1时，f(x)有最小值，且最小值为0.
(3)∵a＋d＝(3＋sin x,1＋k)，b＋c＝(sin x－1，－1)，
若(a＋d)⊥(b＋c)，则(a＋d)·(b＋c)＝0，
即(3＋sin x)(sin x－1)－(1＋k)＝0，
∴k＝sin 2x＋2sin x－4＝(sin x＋1)2－5.
由sin x∈[－1,1]，
∴－5≤(sin x＋1)2－5≤－1，得k∈[－5，－1]．
∴存在k∈[－5，－1]，使得(a＋d)⊥(b＋c)．

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