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2025年九年级数学中考二轮复习
《与旋转相关的几何动态问题探究》解答题专题训练
1．如图1，将两个完全相同的透明直角三角板放置在一起，点C，F重合，点A在的延长线上，点D在的延长线上，与交于点G．，．
(1)的度数是 °；
(2)将图1中的绕点C以每秒的速度按逆时针方向旋转，旋转后停止运动，设旋转时间为t秒．
①当时，判断边与边的位置关系，并说明理由；
②在旋转的过程中，恰有一边与边平行，求t的值．
2．如图，在中，，，，动点从点出发，沿折线向点运动，点在上的速度为每秒1个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度，过点作交折线于点．以点为旋转中心，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．当与重叠部分的图形是三角形时，设三角形的面积为（平方单位），点的运动时间为（秒）．
(1)________；
(2)当时，求的长；
(3)求关于的函数解析式．
3．如图1，在矩形中，，，长度为线段在射线上，点与点重合，如图2，线段从图1所示起始位置出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发，沿方向以速度运动，当点到达时运动结束，运动同时结束．连接，，相交于点．设运动时间为秒，解答下列问题：
(1)当为何值时四边形是平行四边形？
(2)当点在上运动时，求为何值时点在的垂直平分线上？
(3)求的面积与的关系式；
(4)运动过程中，将绕点顺时针旋转90°得到，是否存在某一时刻，使，，三点在同一条直线上？若存在请求出的值，若不存在请说明理由．
4．如图，在中，，，M是边的中点，动点P从点A出发沿折线向终点C运动，点P在边上的速度为，点P在边上的速度为，连结，将绕点M逆时针旋转，点P的对应点为点Q，连接、、．设点P运动的时间为t秒．
(1)________．
(2)点P在边上运动时；
①求点Q到边的距离d（用含t的代数式表示）；
②直接写出的度数：
(3)在点P运动的过程中，直接写出是锐角三角形时t的取值范围．
5．在一副三角尺中，，，
(1)将一副三角尺按如图1所示方式摆放（两条直角边在同一条直线上）
①联结，测得，则的度数是多少？
②将三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺的边与射线重合时停止运动，经历多久使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？
(2)若将这幅三角尺按照如图2所示方式摆放（两条斜边在同一条直线上）．三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角尺以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与射线重合时两块三角尺都停止运动，运动______秒，使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？（只写答案）
6．如图1，在等边中，，点O在边上，且，动点P从点A出发沿射线以的速度运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，设点运动的时间为．．
(1)用含t的代数式表示的长；
(2)如图2，当点D落在边上时，求证：；
(3)当平行于的一边时，直接写出t的值；
(4)作点D关于点O的对称点E，经过 ，点E恰好落在射线上．
7．如图①，边长为的等边三角形，点O在上，且．动点P从点A出发沿射线，以的速度运动．连接，将线段绕点O顺时针旋转得到线段．设点P的运动时间为．
(1)用含t的代数式表示的长；
(2)如图②，当点D落在边上时，求证；
(3)当______时，平行于的一边；
(4)作点D关于点O的对称点E，当_______时，点E恰好落在射线上．
8．如图，在矩形中，连接，将绕点C顺时针旋转得到．点P从点B出发沿方向以的速度匀速运动，同时点Q以同样的速度从点E出发沿方向匀速运动．设点P运动时间为ts，（）
(1)当　　　　s时，．
(2)当时，设四边形的面积为求S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时S最小．
(3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
9．如图，的面积为，，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动，将线段绕点顺时针旋转至，设点的运动时间为（）．
(1) ；
(2)连结，当平分的面积时，求的值；
(3)求点的运动路径长；
(4)点在线段上运动时，在射线上作一点，使，当为锐角时，直接写出的取值范围．
10．如图1和图2，在平行四边形中，，，，点是上一点，且．点从点出发，沿折线运动，到终点停止，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，设点在折线上运动的路径长为．
(1)当点恰好落在边上时，______；当点在边上运动时，长的最小值为______；
(2)①当时，点到的距离为______（用含的式子表示）；②当时，求点到的距离（用含的式子表示）；
(3)当射线恰好经过点时，如图3，求此时的长；
(4)连接，当恰好将线段分为的两部分时，请直接写出的值．
11．在等边中，，点在边上，且，动点从点出发沿射线以每秒的速度运动，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，当点落在延长线上时，点停止运动．设点运动的时间为秒．
(1)用含的代数式表示、两点间的距离；
(2)当与的一边平行时，求的值；
(3)当与的一边垂直时，求的值；
(4)在整个运动过程中，扫过的面积为________．
12．如图，直线//，点，，在上，点，在上，连接，交于点，和的角平分线交于点，直线分别交直线，于，两点．
(1)如果，，求的度数；
(2)请猜想和之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，当，时，将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，同时将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，当正好旋转一周时两者同时停止运动．设运动时间为（单位：秒），直接写出当，分别与的其中一条边平行时，运动时间的值．
13．【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，，，．
【操作探究】如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接（如图2）．
(1)当时，求的长度；
(2)如图3，当时，求的度数；
(3)取的中点O，点P是平面内某个定点，连接，在运动过程中的长是个定值，点P的位置是______，这个定值为______，运动开始后______．
14．四边形中，，，，，．点由出发，沿向终点运动，连接，将线段绕点P顺时针旋转得到，设点运动的路程为．
(1)当点位于图位置，且时，求的度数；
(2)在点随点运动的过程中，
若点恰好落在边上，如图，求的值；
连接，若，如图，求的值．
(3)连接，直接写出的最小值．
15．已知：点D为等边内的一个动点，将绕点A逆时针旋转得到．
(1)如图1，连接、．求证：；
(2)如图2，连接，若B、D、E三点共线，求的度数；
(3)如图3，点D在的高上运动，连接，若，则的最小值为________．
(4)如图4，若，，，求的度数．
《2025年九年级数学中考二轮复习《与旋转相关的几何动态问题探究》解答题专题训练》参考答案
1．(1)30
(2)①，理由见解答；②t的值是3或12或15
【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余和三角形外角的性质即可解答；
（2）①如图2，根据三角形的内角和定理可得，即可得结论；
②分三种情况：i）如图2，，ii）如图3，，iii）如图4，，延长交于点G，根据平行线的性质即可解答．
【详解】（1）解：如图1，∵，．
∴，
∵，
∴，
故答案为：30；
（2）①当时，边与边的位置关系是：，理由如下：
如图2，当时，，
∵，
∴，
∴；
②分三种情况：
i）如图2，由①可得，
∴，
此时；
ii）如图3，，
∴，
∴，
∴；
iii）如图4，，延长交于点G，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上，t的值是3或12或15．
【点睛】此题是三角形的综合题，考查了平行线的性质，旋转的性质，三角形内角和，三角形外角的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
2．(1)1
(2)2
(3)．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得，再求得结果即可；
（2）证明，可得；
（3）当时，如图，记，的交点为，求解，可得函数解析式；当时，如图，求解，可得函数解析式；如图，当，重合时，延长交的延长线于，当时，求解，可得函数解析式．
【详解】（1）解：在中，，
，
故答案为：1；
（2）解：如图1，
当时，，
，，
，
；
（3）解：当时，如图2，记，的交点为，
，，，
，
，
，
，
，
而，
；
当时，如图3，
由（1）可得：当时，，
当时，，
同理可得：为等腰直角三角形，
，
；
如图4，当，重合时，延长交的延长线于，
，，
，，，
，
同理可得：，，都为等腰直角三角形，
，，
，
此时，
当时，
由题意可得：，而，，
，，
同理可得：，
，
；
综上所述，关于的函数解析式为．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，列二次函数解析式，旋转的性质，轴对称图形的性质，勾股定理的应用，熟练的利用等腰直角三角形的性质进行解题是解本题的关键．
3．(1)
(2)
(3)当时，；当时，
(4)不存在某一时刻，使、、三点在同一条直线上
【分析】（1）根据平行四边形的性质，列方程求解即可；
（2）当点M在的垂直平分线上时，，过Q点作于H点，则四边形为矩形，利用勾股定理，列方程求解即可；
（3）分两种情况讨论：①当时，点M在上；②当时，点M在上，利用相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式，即可解答；
（4）根据相似三角形的判定与性质，得到当三点在同一条直线上时，四边形为矩形，利用旋转的性质列方程求解即可．
【详解】（1）解：当四边形是平行四边形时，，
即，
解得，
∴当时，四边形是平行四边形；
（2）解：当点M在的垂直平分线上时，，
如图，过Q点作于H点，
则四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
得（不合题意，舍去），，
∴当时，点M在的垂直平分线上；
（3）解：①当时，点M在上，如图，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
连接，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
②当时，点M在上，如图，
由①得，
又∵，
∴，
∴，
综上，当时，；当时，；
（4）解：不存在，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当三点在同一条直线上时，四边形为矩形，如图，
∴，
由旋转得，
∴，
∴，
∵，
∴不合题意，
∴不存在某一时刻t,使三点在同一条直线上．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
4．(1)
(2)①当时，距离，当时，距离；②当时，，当时，；
(3)或，
【分析】（1）根据勾股定理可得答案；
（2）①如图，过作于，过作于，证明，可得，，可得，可得，在直线上运动，当为的中点时，可得，当时，当时，如图，过作于，过作于，再进一步解答即可；
②由①得：当时，；当时，可得，可得；
（3）如图，当时，由（2）得：，，，当时，求解，可得当时，为锐角三角形；当时，如图，为钝角三角形；不符合题意；当时，如图，为钝角三角形；不符合题意；当时，此时，为锐角三角形；符合题意；从而可得答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：①如图，过作于，过作于，结合旋转：
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，而，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴在直线上运动，
当为的中点时，，则，
当时，
∵，即，
∴；
当时，如图，过作于，过作于，
同理可得：，，，，
∴；
②由①得：当时，
；
当时，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：如图，当时，
由（2）得：，，，
当时，
∴，即，
∴当时，为锐角三角形；
当时，如图，
结合（2）可得：为钝角三角形；不符合题意；
当三点共线时，如图，
∵，，，，
∴，
∴，
此时，
当时，如图，
为钝角三角形；不符合题意；
当时，
此时，为锐角三角形；符合题意；
综上：当时或当时，为锐角三角形；
【点睛】本题考查的全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的除法运算，本题的难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键．
5．(1)①；②10秒或15秒
(2)6或9或42或45
【分析】（1）①先由平角的意义求出，再对由三角形内角和定理即可求解；
②分两种情况讨论：当和，作出图形，根据旋转的性质以及平行线的性质进行角度和差计算求出旋转角即可；
（2）设旋转时间为秒，由题意得，，，然后分四种情况讨论，当当时，得到；当时，得到；当时，得到；当时，得到，分别建立起关于时间的方程求解即可．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∴；
②当时，
则，
∴，
∴（秒）；
当时，
∵，
∴，
∵旋转，
∴
∵
∴，
∴
∴（秒），
综上所述：当10秒或15秒时，其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行；
（2）解：设旋转时间为秒，由题意得，，，
当时，
则，
∵，
∴
解得：；
当时，
∴，
∵
∴，
解得：；
当时，
则，
∵，
∴，
解得：；
当时，
则，
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
解得：，
综上所述：运动时间为6或9或42或45秒，使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，角的和差计算，以及一元一次方程的应用，难度较大，注意分类讨论思想的应用，
6．(1)
(2)见解析
(3)的值为4或6
(4)10
【分析】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质及动点问题等，解题的关键是分类讨论思想的应用．
（1），当时，，当时，；
（2）由线段绕点顺时针旋转得到线段，得，，可得，而是等边三角形，有，故，即得，由可证；
（3）当时，是等边三角形，可得，；当时，可得，重合，，故；
（4）由线段绕点顺时针旋转得到线段，得，，又关于点的对称点，有，故，再证，，即可得，，可得，，从而．
【详解】（1）解：由已知得，，
当时，，
当时，；
；
（2）证明：线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
；
（3）解：当时，如图：
，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
当时，如图：
，
，
，重合，
，
，
综上所述，的值为4或6；
（4）解：如图：
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
关于点的对称点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：10．
7．(1)
(2)见解析
(3)的值为或
(4)1
【分析】（1），当时，，当时，；
（2）由线段绕点顺时针旋转得到线段，得，，可得，而是等边三角形，有，故，即得，由可证；
（3）当时，是等边三角形，可得，；当时，可得，重合，，故；
（4）由线段绕点顺时针旋转得到线段，得，，又关于点的对称点，有，故，再证，得到，求出，进而求解即可．
【详解】（1）解：由已知得，，
当时，，
当时，；
；
（2）证明：线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
；
（3）解：当时，如图：
，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
当时，如图：
，
，
，重合，
，
，
综上所述，的值为或；
（4）解：如图：
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
关于点的对称点，
，
，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，点E恰好落在射线上．
故答案为：1．
【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质及动点问题等，解题的关键是分类讨论思想的应用．
8．(1)
(2)，当时，
(3)存在，
【分析】1) 求出， 由旋转可知，，由，得到，证明，得到，即可求出答案；
（2）延长交于点M，利用矩形的性质、勾股定理和相似三角形的判定和性质即可求出S与t之间的函数关系式，再根据二次函数的性质即可求出最小值；
（3）由平行线分线段成比例定理列出比例式即可求出答案．
【详解】（1）解：延长交于点Q，
在矩形中，，
∴，
∵
∴，
由旋转可知，，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
故答案为：
（2）延长交于点M，
由题意知：
在中，，
即

开口向上，对称轴为直线
当时，；
（3）
即
解得
当时，．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、二次函数的最值、勾股定理、解直角三角形、旋转的性质、矩形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．
9．(1)
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）过点作交于点，过点作交于点，根据三角形的面积公式求出，根据等腰直角三角形的判定和性质得出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据勾股定理求出，，结合锐角三角函数的定义即可求解；
（2）连接，与交于点，根据题意可得是的中线，得出，根据题意得出，，求出，，根据相似三角形的判定和性质列出方程，解方程求出的值，即可；
（3）将线段绕点顺时针旋转至，连接；在上取一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，连接；过点作，与线段的延长线交于点，连接；过点作交于点，根据勾股定理求出，根据等腰直角三角形的判定和性质得出，，根据矩形的判定和性质得出，，求出，根据勾股定理求出；分两种情况：①点在上，结合相似三角形的判定和性质得出：当点在上运动时，点的运动轨迹是线段，②点在上，结合相似三角形的判定和性质得出：当点在上运动时，点的运动轨迹是线段，即可求解；
（4）过点作交于点，连接，先求出，，结合、是直角三角形，推得当点在线段（不包含端点）上和点在线段的延长线（不包含点）上时，为锐角，分别列出不等式，求出的取值范围即可．
【详解】（1）解：过点作交于点，过点作交于点，如图：
∵，，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
故答案为：．
（2）解：连接，与交于点，如图：
∵平分的面积，
即是的中线，
∴，
∵动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动，将线段绕点顺时针旋转至，点的运动时间为，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
即当时，平分的面积．
（3）解：将线段绕点顺时针旋转至，连接；在上取一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，连接；过点作，与线段的延长线交于点，连接；过点作交于点，如图：
在中，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，；
分两种情况：
①点在上，
当点与点重合时，点与点重合，
在与中，
，，，
∴，
∵点在上，线段绕点顺时针旋转至，线段绕点顺时针旋转至，
∴点在上，
即当点在上运动时，点的运动轨迹是线段，
故当点在上运动时，点的运动路径长为；
②点在上，
当点与点重合时，点与点重合，
在与中，
，，，
即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即当点在上运动时，点的运动轨迹是线段，
故当点在上运动时，点的运动路径长为；
综上，点的运动路径长为．
（4）解：过点作交于点，连接，如图：
由（1）可得，，
∴，
由（2）可得，
∴，，
∵是直角三角形，
∴当点在线段（不包含端点）上时，为锐角，
即，
∴，
解得：；
∵是直角三角形，
∴为锐角，
当点在线段的延长线（不包含点）上时，如图：
对于，，
即为锐角，
即，
∴，
解得：，
当点与点重合时，运动停止，此时，
即当时，点在线段的延长线（不包含点）上，此时为锐角；
综上，当或时，为锐角．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，矩形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
10．(1)4；；
(2)①；②；
(3)；
(4)或．
【分析】（1）过点D作于点，解直角三角形可得 ，由旋转得：，而，故当点在上时，，此时；②当时，最小，即最小，解直角三角形即可求解；
（2）①当时，，而，则点到的距离为；②当时，如图：过点分别作的垂线，垂足分别为，则，由题意得，此时，解直角三角形得到，，则，可证明，则；
（3）过点作交延长线于点，显然，那么，而，则，得到，，设，而，求出，最后再由勾股定理求解．
（4）分类讨论：当及，构造辅助线，利用平行线分线段成比例定理，矩形的性质，全等三角形的性质解决问题．
【详解】（1）解：①过点D作于点，
∴，
∴设，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
由旋转得：，
∵四边形是平行四边形，
∴
∴当点在上时，，
∴；
②∵，
∴当时，最小，即最小，如图：
∵，
∴，
∴，
∴最小值为，
故答案为：4，；
（2）解：①当时，，而
∴点到的距离为；
②当时，如图：过点分别作的垂线，垂足分别为，则，
由题意得，此时，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点到的距离为，
故答案为：，；
（3）解：过点作交延长线于点，
则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，而，
∴，
∴，
而，
∴，
由上得：，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
解得：，
∴，
∴由勾股定理得：；
（4）解：记与交于点O，构造如图辅助线（均是水平线，铅垂线）
①当时，由平行线分线段成比例定理得：，由上知，
∴，
∴，
设，则，，，
∵，
∴，
∴
∴，
而，
∴ ，
∵， ，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴；
②当时，构造如图辅助线（均是水平线，铅垂线）
同理可得： ，
解得：，
∴，
∴．
综上所述：或．
【点睛】本题是以平行四边形为背景的动点压轴题，化动为静，注意分类讨论的思想，解题关键在于熟练掌握全等三角形的构造，锐角三角函数的应用，勾股定理，平行四边形的性质，旋转的性质等知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．
11．(1)
(2)秒或9秒
(3)秒或15秒
(4)．
【分析】本题主要考查线段的和差，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识：
（1）根据线段的和差可得结论；
（2）分和两种情况讨论求解即可；
（3）分和两种情况讨论求解即可；
（4）根据题意得扫过的图形是，求出和即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，，
∴；
（2）解：当时，如图1，
∵是等边三角形，
∴
∵，
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴
∴（秒）；
当时，如图2，
则
而
∴
∴三点在一条直线上，
又点在上运动，
∴点与点重合，
∴
∴（秒）；
综上，当秒或9秒时，与的一边平行；
（3）解：当时，如图3，
∵
∴
∵
∴
∴
∴，
∴（秒）；
当时，如图4，
∵
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴（秒），
综上，当秒或15秒时，与的一边垂直；
（4）解：如图，在旋转的过程中，扫过的图形是，
当点与点重合时，点在上，此时，，
∴
∴
又
∴
∵
∴
∴
∴
过点作于点，
∵
∴
∵
∴
∴
由勾股定理得，
∴；
过点作于点，则
又,
∴，
∴
由勾股定理得，
∴
∴
∴
即在旋转的过程中，扫过的图形的面积为．
故答案为：.
12．(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）过点作直线根据平行线的性质得出，结合角平分线的定义得出，进而根据，即可求解；
（2）猜想：，过点作，设，，进而分别表示出，即可求解；
（3）根据垂直的定义，，得出，根据，得出，由（2）可得，则，进而分5种情况讨论，分别画出图形，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作直线，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：猜想：，理由如下，
过点作，如图所示，
∵，
∴，
∵和的角平分线交于点，
∴，，
设，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
由（2）可得，
∴，
∴；
∵将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，同时将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，
∴；
①当时，如图所示，
∴，
∴，
解得：；
②如图所示，当时，延长交于点，
∵
，
，
∵，
∴，
∴，
解得：；
③如图所示，当在上，则，
∴，
解得：，
此时，
∴，
而，
∴，
∴，
④当时，
∴，
∴，
解得：；
⑤当时，
∴，
∴，
解得：；
综上所述，．
【点睛】本题考查了垂直的定义，平行线的性质与判定，角平分线的定义，旋转的性质；熟练掌握以上知识是解题的关键．
13．(1)2
(2)；
(3)的中点；1；
【分析】（1）根据题意可得，从而得到当时，点共线，点A，D，C共线，可证得是等边三角形，即可求解；
（2）过点A作于点H，根据等腰三角形的性质可得，，从而得到，进而得到，，即可求解；
（3）根据等腰三角形的性质可得，从而得到点O的运动轨迹为以为直径的圆，进而得到点P的位置是的中点，这个定值为，再由，可得点D在为直径的圆上，然后圆周角定理，即可求解．
【详解】（1）解：如图，
∵，，
∴，
∴当时，点共线，点A，D，C共线，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
故答案为：2;
（2）解：如图，过点A作于点H，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵点O是的中点，，
∴，即，
∴点O的运动轨迹为以为直径的圆，如图，
∵运动过程中的长是个定值，
∴点P的位置是的中点，且这个定值为，
∵，
∴点D在为直径的圆上，
∴，
故答案为：的中点；1，．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，图形的旋转，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，第（3）问得到点O的运动轨迹为以为直径的圆是解题的关键．
14．(1)；
(2)的值为；；
(3)的最小值为．
【分析】（）过点作于点，作于点，证明四边形，然后由勾股定理和矩形的性质得出，则，由旋转的性质得由此得，然后根据可得出答案；
（）当点恰好落在边上时，过点作于点先证明和全等得，则，由此可得的值；
过点作于点，过点作于点，过点作于点，先证明和全等，则，，再证明和相似，利用相似三角形的性质求出，证明是等腰直角三角形，由勾股定理求出，则，然后在中，根据正切函数的定义可得的值；
（）当在的上方时，才有最小值，过点作于点，过点作于点，交的延长线于点，设，证明和全等得，，则，，证明四边形是矩形得，，进而得，在中，由勾股定理得 ，据此得当时，为最小，最小值为，继而可得出的最小值．
【详解】（1）解：过点作于点，如图所示：
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
由旋转的性质得，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：当点恰好落在边上时，过点作于点，如图所示：
∴，
∴，
由旋转的性质得：，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（）可知，，
∴，
∴，
∴点运动的路程，即的值为；
过点作于点，过点作于点，过点作于点如图所示，
∴，
∴，
由旋转的性质得：，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
由（）可知：，四边形是矩形，
∴，，
∵此时点运动的路程，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
在中，，，
∵
∴是等腰直角三角形, 即，由勾股定理得，
∴，
∴，
在中，，
（3）解：当在的上方时，才有最小值，过点作于点，过点作于点，交的延长线于点，如图所示：
设，
由（）可知：，
同上理可证明：，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴当时，为最小，最小值为，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、二次函数的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
15．(1)见解析
(2)
(3)2
(4)
【分析】（1）根据题意得，再证明，即可得结论；
（2）由（1）知，可得，，即可求出；
（3）连接，证得，从而得出点E的运动轨迹，当垂直于该直线时，最小进而求得最小值．
（4）将绕点A逆时针旋转到，连接，由得得到是等边三角形，由，得到，即可求出；
本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵绕点A逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
即，
在和中，
∴，
∴；
（2）由（1）知
∴，
∵
∴是等边三角形，
∴，
∵B、D、E三点共线，
∴，
∴，
∴
∵
∴；
（3）解：连接，
由（1）知，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴点E在过点C且与垂直的直线上运动，
∴当垂直于该直线时，最小图中点，

∵，
∴，
∴的最小值为2，
故答案为：2；
（4）解：将绕点A逆时针旋转到，连接．
∴
∴
∵
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

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