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期末专项培优 反比例函数
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 化州市期末）已知反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，则m的取值范围是（　　）
A．m≤2 B．m＞﹣2 C．m＞2 D．m＜2
2．（2024秋 包河区校级期末）下列式子中，y与x是反比例关系的是（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝x2 C． D．
3．（2024秋 包河区校级期末）如图，点A，B在反比例函数的图象上，CA⊥y轴，垂足为D，BC⊥AC．若四边形AOBC的面积为8，，则k的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024秋 成都期末）若kb＜0，则一次函数y＝kx+b与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024秋 电白区期末）如图，点A在双曲线上，AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为2，则k的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 长春校级期末）若点A（3，y1），B（4，y2）在反比例函数的图象上，则y1　 　y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
7．（2024秋 崇明区期末）已知A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）在函数（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是：　 　．（用“＜”连接）
8．（2024秋 电白区期末）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式的解集是 　 　．
9．（2024秋 成都期末）已知反比例函数与正比例函数y＝2x图象的一个交点坐标为（2，4），则另一个交点坐标为　 　．
10．（2024秋 仪征市期末）点A，B为反比例函数y图象上两点，其中点A坐标为（1，2），B点坐标为（﹣2，m），则m＝　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 崇明区期末）如图，在第一象限内，已知反比例函数的图象经过横坐标为4的点M．
（1）求M点的坐标及直线OM的解析式；
（2）反比例函数图象上有一点P，线段OM上有一点Q，PQ∥y轴，且△OPQ的面积为3，求点P坐标；
（3）在第（2）小题的前提下，求点P到直线OM的距离．
12．（2025 石家庄校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝2x+b分别与x轴，y轴交于点A，B（0，1），且直线l经过双曲线的左端点C．
（1）求点A的坐标和m的值．
（2）平移直线l到直线l′的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E，求AE的长．
13．（2024秋 临潼区期末）钢丝退火是指将钢丝加热到一定温度，保温一段时间后缓慢冷却的过程，主要目的是软化钢丝材料，以便切削加工．如图是某钢丝退火过程中钢丝的温度y（℃）与退火时间x（s）之间的函数关系图，整个过程分为加热，保温，冷却三个部分．
（1）已知冷却过程中y与x成反比例函数关系，求出此过程中y与x的函数关系式；
（2）当冷却开始时，工人便可对钢丝材料进行加工，已知钢丝温度在50℃及以上时，加工效果最好，请问工人师傅要想效果最好，应该在多长时间内完成加工操作？
14．（2024秋 增城区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y（x＜0）的图象交于点A（﹣1，6），与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，且△OCB与△OAB的面积比为1：2．
（1）求k和b的值；
（2）将△OBC绕点O逆时针旋转90°，得到ΔOB′C′，判断点C′是否落在函数y（k＜0）的图象上，并说明理由．
15．（2024秋 包河区校级期末）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象相交于A（1，3），B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出：当y1＞y2时，x的取值范围是　 　；
（3）连接BO并延长交反比例函数图象于点C，连接AC，求△ABC的面积．
期末专项培优 反比例函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 化州市期末）已知反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，则m的取值范围是（　　）
A．m≤2 B．m＞﹣2 C．m＞2 D．m＜2
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的图象和性质，由4﹣2m＜0即可解得答案．
【解答】解：∵反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，
∴4﹣2m＜0，
解得m＞2．
故选：C．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质；反比例函数中的比例系数小于0，图象的两个分支在第二、四象限是关键．
2．（2024秋 包河区校级期末）下列式子中，y与x是反比例关系的是（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝x2 C． D．
【考点】反比例函数的定义．
【专题】反比例函数及其应用；模型思想．
【答案】C
【分析】根据反比例关系的定义“y与x的积是一个常数，则y与x是反比例关系”，进行判断即可．
【解答】解：A、y＝2x+1中y与x不是反比例关系，不符合题意；
B、y＝x2中y与x不是反比例关系，不符合题意；
C、y中y与x是反比例关系，符合题意；
D、y中y与x不是反比例关系，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了反比例关系的判断，正确理解反比例关系是解题的关键．
3．（2024秋 包河区校级期末）如图，点A，B在反比例函数的图象上，CA⊥y轴，垂足为D，BC⊥AC．若四边形AOBC的面积为8，，则k的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】设A（a，），则AD＝a，OD，根据S梯形OBCD＝S△AOD+S四边形AOBC代入数据计算即可．
【解答】解：设A（a，），则AD＝a，OD，
∵，
∴AC＝2a，CD＝3a，
∵CA⊥y轴，BC⊥AC，
∴BC∥y轴，
∴B（3a，），
∴BC，
∵S梯形OBCD＝S△AOD+S四边形AOBC，四边形AOBC的面积为8，
∴（）×3ak+8，
解得k＝4．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．
4．（2024秋 成都期末）若kb＜0，则一次函数y＝kx+b与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象与反比例函数的图象特征逐项判断即可得．
【解答】解：A、由一次函数的图象可知k＞0，b＞0，由反比例函数的图象可知k＞0，两者一致，但不满足kb＜0，故此项错误，不符题意；
B、由一次函数的图象可知k＜0，b＜0，由反比例函数的图象可知k＞0，两者不一致，且不满足kb＜0，故此项错误，不符题意；
C、由一次函数的图象可知k＜0，b＞0，由反比例函数的图象可知k＜0，两者一致，且满足kb＜0，则此项正确，符合题意；
D、由一次函数的图象可知k＞0，b＜0，由反比例函数的图象可知k＜0，两者不一致，则此项错误，不符题意；
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象和反比例函数的图象特征是解题关键．
5．（2024秋 电白区期末）如图，点A在双曲线上，AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为2，则k的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据反比例函数中k的几何意义得到，再结合图象即可求解．
【解答】解：由条件可知，
解得：k＝±4，
∵k＜0，
∴k＝﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的几何意义，反比例函数点的性质，解题的关键是掌握反比例函数的几何意义．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 长春校级期末）若点A（3，y1），B（4，y2）在反比例函数的图象上，则y1　＞　y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据解析式可知反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，再由0＜3＜4即可得到y1＞y2．
【解答】解：由k＝1＞0可知：反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，
∵点A（3，y1），B（4，y2）在反比例函数的图象上，且0＜3＜4，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，熟练掌握反比例函数增减性是关键．
7．（2024秋 崇明区期末）已知A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）在函数（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是：　y2＜y1＜y3．　．（用“＜”连接）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】y2＜y1＜y3．
【分析】先根据反比例函数中k＞0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝中k＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵﹣3＜﹣1＜0，
∴点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）位于第三象限，
∴y2＜y1＜0，
∵3＞0，
∴点C（3，y3）位于第一象限，
∴y3＞0，
∴y2＜y1＜y3．
故答案为：y2＜y1＜y3．
【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
8．（2024秋 电白区期末）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式的解集是 　﹣3＜x＜0或x＞2　．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】﹣3＜x＜0或x＞2．
【分析】先求得m的值，然后观察函数图象即可求解．
【解答】解：由题意可得﹣2m＝2×3，解得m＝﹣3
∴B（﹣3，﹣2），
观察图象可得，当﹣3＜x＜0或x＞2时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，
∴不等式的解集为﹣3＜x＜0或x＞2，
故答案为：﹣3＜x＜0或x＞2．
【点评】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质．
9．（2024秋 成都期末）已知反比例函数与正比例函数y＝2x图象的一个交点坐标为（2，4），则另一个交点坐标为　（﹣2，﹣4）　．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（﹣2，﹣4）．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点坐标为（2，4），
∴另一个交点的坐标是（﹣2，﹣4）．
故答案为：（﹣2，﹣4）．
【点评】本题考查正比例和反比例函数图象的中心对称性，根据已知得出反比例函数与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称是解题关键．
10．（2024秋 仪征市期末）点A，B为反比例函数y图象上两点，其中点A坐标为（1，2），B点坐标为（﹣2，m），则m＝　﹣1　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据待定系数法求得反比例函数的解析式，把B点坐标为（﹣2，m）代入即可得到结论．
【解答】解：把点A坐标为（1，2）代入y中得，2，
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y，
把B点坐标为（﹣2，m）代入y得，m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 崇明区期末）如图，在第一象限内，已知反比例函数的图象经过横坐标为4的点M．
（1）求M点的坐标及直线OM的解析式；
（2）反比例函数图象上有一点P，线段OM上有一点Q，PQ∥y轴，且△OPQ的面积为3，求点P坐标；
（3）在第（2）小题的前提下，求点P到直线OM的距离．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）M（4，2），直线OM的解析式为：；
（2）P（2，4）；
（3）．
【分析】（1）把x＝4代入，得y＝2，即可求得M点的坐标，把M（4，2）代入y＝kx，即可求得直线OM的解析式；
（2）设P（a，），则Q（a，），，即可求得a的值，即可得到P点坐标；
（3）求出Q点的坐标，求得OQ的长度，根据，即可求得点P到直线OM的距离．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过横坐标为4的点M，
把x＝4代入得：y＝2，
∴M（4，2），
设直线OM的解析式为y＝kx（k≠0），
把M（4，2）代入y＝kx得：4k＝2，，
∴直线OM的解析式为：，
（2）∵反比例函数图象上有一点P，点Q在上，且PQ∥y轴，
∴设P（a，），则Q（a，），
∵在第一象限，
∴PQ，
∴，
即：，
解得：a＝2或a＝﹣2（舍去）
∴P（2，4），
（3）∵a＝2，
∴Q（2，1），
∴OQ
设点P到直线OM的距离为h，
∴，
∴h，
∴点P到直线OM的距离为．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
12．（2025 石家庄校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝2x+b分别与x轴，y轴交于点A，B（0，1），且直线l经过双曲线的左端点C．
（1）求点A的坐标和m的值．
（2）平移直线l到直线l′的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E，求AE的长．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1），m＝3；（2）3．
【分析】（1）将B（0，1）代入y＝2x+b，可得直线l的解析式为：y＝2x+1，进而可得，再根据直线l经过双曲线的左端点C，可得C（1，3），问题随之得解；
（2）结合（1）的结果得反比例函数解析式为：，即可得D（3，1），根据平移直线y＝2x+1到直线l′，设直线l′的解析式为：y＝2x+t，代入D（3，1），可得设直线l′的解析式为：y＝2x﹣5，即可得，问题随之得解．
【解答】解：（1）∵B（0，1）在直线y＝2x+b的图象上，
∴1＝0+b，即b＝1，
∴直线l的解析式为：y＝2x+1，
当y＝0时，y＝2x+1＝0，
解得：，
∴，
∵直线l经过双曲线的左端点C，
∴当x＝1时，y＝2x+1＝3，
∴C（1，3），
∴，即m＝3；
（2）∵m＝3，
∴反比例函数解析式为：，
当x＝3时，，
∴D（3，1），
∵平移直线y＝2x+1到直线l′，
∴设直线l′的解析式为：y＝2x+t，
∵直线l′经过D（3，1），
∴当x＝3时，y＝2×3+t＝1，
∴t＝﹣5，
∴设直线l′的解析式为：y＝2x﹣5，
∴当y＝0时，2 x﹣5＝0，
解得：，
∴，
∵，
∴．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数平移法则是关键．
13．（2024秋 临潼区期末）钢丝退火是指将钢丝加热到一定温度，保温一段时间后缓慢冷却的过程，主要目的是软化钢丝材料，以便切削加工．如图是某钢丝退火过程中钢丝的温度y（℃）与退火时间x（s）之间的函数关系图，整个过程分为加热，保温，冷却三个部分．
（1）已知冷却过程中y与x成反比例函数关系，求出此过程中y与x的函数关系式；
（2）当冷却开始时，工人便可对钢丝材料进行加工，已知钢丝温度在50℃及以上时，加工效果最好，请问工人师傅要想效果最好，应该在多长时间内完成加工操作？
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）；
（2）工人师傅要想效果最好，应该在3分钟的时间内完成操作．
【分析】（1）设此过程中y与x的函数关系式为y，将点（15，60）代入，解方程即可得到结论；
（2）将y＝50代入，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）设此过程中y与x的函数关系式为y，
将点（15，60）代入，
解得k＝900．
∴此过程中y与x函数关系式为；
（2）将y＝50代入，
解得 x＝18，
18﹣15＝3，
答：工人师傅要想效果最好，应该在3分钟的时间内完成操作．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
14．（2024秋 增城区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y（x＜0）的图象交于点A（﹣1，6），与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，且△OCB与△OAB的面积比为1：2．
（1）求k和b的值；
（2）将△OBC绕点O逆时针旋转90°，得到ΔOB′C′，判断点C′是否落在函数y（k＜0）的图象上，并说明理由．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）﹣6，5；
（2）点C′是落在函数y的图象上．理由见解答．
【分析】（1）将A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b可求出b的值；将A（﹣1，6）代入y可求出k的值；
（2）由一次函数的解析式求出B点坐标为（5，0）．根据△OCB与△OAB的面积比为1：2，得出C为AB中点，利用中点坐标公式求出C点坐标为（2，3）．过点C作CD⊥x轴，垂足为D，过点C'作C'E⊥x轴，垂足为E．根据AAS证明△C′OE≌△OCD，得出OE＝CD＝3，C′E＝OD＝2，又C′在第二象限，得出C′（﹣3，2），进而判断点C′是落在函数y的图象上．
【解答】解：（1）将A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b，
得，6＝1+b，
∴b＝5，
将A（﹣1，6）代入y，
得，6，
解得，k＝﹣6，
故所求k和b的值分别为﹣6，5；
（2）点C′是落在函数y的图象上．理由如下：
∵y＝﹣x+5，
∴y＝0时，﹣x+5＝0，解得x＝5，
∴B（5，0）．
∵△OCB与△OAB的面积比为1：2，
∴C为AB中点，
∵A（﹣1，6），B（5，0），
∴C（2，3）．
如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，过点C'作C'E⊥x轴，垂足为E．
∵将△OBC绕点O逆时针旋转90°，得到ΔOB′C′，
∴OC'＝OC，OB′＝OB＝5，∠COC′＝90°．
∴∠C′OE＝∠OCD＝90°﹣∠COD．
在△C′OE与△OCD中，
，
∴△C′OE≌△OCD（AAS），
∴OE＝CD＝3，C′E＝OD＝2，
∵C′在第二象限，
∴C′（﹣3，2），
∴点C′是落在函数y的图象上．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，线段中点坐标公式，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，都是基础知识，需熟练掌握．
15．（2024秋 包河区校级期末）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象相交于A（1，3），B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出：当y1＞y2时，x的取值范围是　﹣3＜x＜0或x＞1　；
（3）连接BO并延长交反比例函数图象于点C，连接AC，求△ABC的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力．
【答案】（1）一次函数的解析式为y1＝x+2；反比例函数的解析式为；
（2）﹣3＜x＜0或x＞1；
（3）8．
【分析】（1）先将点A坐标代入反比例函数解析式，求出m，再求出点B坐标，最后用待定系数法求出一次函数解析式即可．
（2）利用数形结合的数学思想即可解决问题．
（3）连接AO，根据反比例函数与正比例函数的对称性，将△ABC的面积转化为△AOB面积的2倍即可解决问题．
【解答】解：（1）把点A（1，3）代入，得m＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为，
把点B（n，﹣1）代入，得 n＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣3，﹣1）．
把A（1，3），B（﹣3，﹣1）代入y1＝kx+b，得，
解得，
∴一次函数的解析式为y1＝x+2；
（2）观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围是﹣3＜x＜0或x＞1．
故答案为：﹣3＜x＜0或x＞1．
（3）如图，连接AO，设直线AB与x轴的交点为M．
由直线AB的解析式可得M（﹣2，0），
∴，
根据中心对称图形的性质可知，点B和点C关于原点O成中心对称，
∴BO＝CO，
∴S△ABC＝2S△AOB＝8．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键．
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