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期末专项培优 分式方程
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 巢湖市期末）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣6 B．m≠2
C．m＞﹣6且m≠2 D．m＞﹣6且m≠﹣4
2．（2024秋 西岗区期末）甲、乙两同学分别去文具店买本．已知硬皮本价格是软皮本价格的1.5倍，乙同学花40元买软皮本比甲同学花72元买硬皮本少买4本．若设软皮本单价是x元，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024秋 裕华区期末）已知关于x的分式方程有增根，则k的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3
4．（2024秋 闽清县期末）已知关于x的方程x的两根分别为m，，则关于x的方程x的根是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024秋 阎良区期末）如果分式方程无解，则a的值为（　　）
A．﹣4 B． C．2 D．﹣2
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 仓山区校级期末）关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围　 　．
7．（2024秋 大足区期末）若整数a使关于x的不等式组有且只有3个整数解，且使关于y的分式方程的解满足y＜7，则所有满足条件的整数a的值之和为　 　．
8．（2024秋 宝山区期末）如果分式的值为1，那么b的值是 　 　．
9．（2024秋 宝山区期末）如果x＝﹣1是关于x的方程的增根，那么a的值为 　 　．
10．（2024秋 綦江区期末）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，根据题意，列方程为　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 藁城区期末）解方程：
（1）；
（2）．
12．（2024秋 邗江区校级期末）已知关于x的分式方程的解是正数，求m的取值范围．
13．（2024秋 垫江县期末）阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：．
解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时，，解得：x，经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程中，设，则原方程可化为：　 　；
（2）若在方程中，设，则原方程可化为：　 　；
（3）模仿上述换元法解方程：．
14．（2024秋 满洲里市期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．
（1）甲队单独施工半个月能完成总工程的 　 　；
（2）乙队单独施工多少个月可以完成这项筑路工程？
15．（2024秋 开福区校级期末）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为4800米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加20%，结果提前20天完成铺设任务．
（1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
（2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过36万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
期末专项培优 分式方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 巢湖市期末）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣6 B．m≠2
C．m＞﹣6且m≠2 D．m＞﹣6且m≠﹣4
【考点】分式方程的解．
【答案】D
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
【解答】解：去分母，得2x+m＝3（x﹣2），
2x+m＝3x﹣6，
解得：x＝m+6，
∵的解为正数，
∴m+6＞0
∴m＞﹣6，
∵x≠2，
∴m≠﹣4，
∴m＞﹣6且m≠﹣4．
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0．
2．（2024秋 西岗区期末）甲、乙两同学分别去文具店买本．已知硬皮本价格是软皮本价格的1.5倍，乙同学花40元买软皮本比甲同学花72元买硬皮本少买4本．若设软皮本单价是x元，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】设软皮本单价是x元，硬皮本价格是软皮本价格的1.5x，甲同学花72元买硬皮本的数量为.乙同学购买软皮本的数量为，根据题意列出方程即可．
【解答】解：软皮本单价是x元，硬皮本价格是软皮本价格的1.5x，由题意可得：
4，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，正确找到等量关系是解题关键．
3．（2024秋 裕华区期末）已知关于x的分式方程有增根，则k的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3
【考点】分式方程的增根．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣2＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出k的值即可．
【解答】解：去分母，得：k﹣3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程，可得：k＝3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
4．（2024秋 闽清县期末）已知关于x的方程x的两根分别为m，，则关于x的方程x的根是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】解分式方程；分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】先将将方程x转化为，再根据已知得x﹣1＝m+2，x﹣1，再由x﹣1＝m+2，解得x＝m+3，由x﹣1，解得x，据此即可得出答案．
【解答】解：将方程x转化为：，
∵方程x的两根分别为m，，
∴x﹣1＝m+2，x﹣1，
由x﹣1＝m+2，解得：x＝m+3，
由x﹣1，解得：x，
∴方程x的根是：x＝m+3，x．
故选：D．
【点评】此题主要考查了解分式方程和分式方程的解，理解分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法与技巧是解决问题的关键．
5．（2024秋 阎良区期末）如果分式方程无解，则a的值为（　　）
A．﹣4 B． C．2 D．﹣2
【考点】分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】关于x的分式方程2无解，即分式方程去掉分母化为整式方程，整式方程的解就是方程的增根，即x＝4，据此即可求解．
【解答】解：去分母得：x＝2（x﹣4）﹣a
解得：x＝a+8
根据题意得：a+8＝4
解得：a＝﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 仓山区校级期末）关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围　m＞2　．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】m＞2．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为正数列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可确定出m的范围．
【解答】解：，
分式方程去分母得：m＝2x+2，
∴，
根据分式方程解为正数，得到，
解得m＞2，
又∵x+1≠0，
∴x≠﹣1，即，
∴m≠0，
∴m＞2．
故答案为：m＞2．
【点评】本题考查解分式方程，正确记忆解本题时注意考虑分式的分母不为0这一条件是解题关键．
7．（2024秋 大足区期末）若整数a使关于x的不等式组有且只有3个整数解，且使关于y的分式方程的解满足y＜7，则所有满足条件的整数a的值之和为　7　．
【考点】分式方程的解；一元一次不等式的整数解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】7．
【分析】分别解不等式组和分式方程，确定a的取值范围，进而求解即可．
【解答】解：，
解不等式①得，x≥﹣1；
解不等式②得，；
∴关于x的不等式组的解集为；
∵关于x的不等式组有且只有3个整数解，即﹣1，0，1，
∴，
解得﹣2＜a≤4，
分式方程的解是y＝6﹣a（y≠3），
∵y＜7，即6﹣a＜7，
解得a＞﹣1，且a≠3．
综上，﹣1＜a≤4（a为整数），且a≠3，
∴a＝0，1，2，4，
∴0+1+2+4＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查分式方程、一元一次不等式组等，熟练掌握以上知识点是关键．
8．（2024秋 宝山区期末）如果分式的值为1，那么b的值是 　0　．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】0．
【分析】让所给代数式的值为1，列式求解即可．
【解答】解：由题意得：1，
方程两边都乘a﹣b得：a﹣2b＝a﹣b，
解得：b＝0，
经检验，b＝0是原分式方程的解，
故答案为：0．
【点评】本题考查了分式是值，解分式方程；掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．
9．（2024秋 宝山区期末）如果x＝﹣1是关于x的方程的增根，那么a的值为 　﹣2　．
【考点】分式方程的增根．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，将x＝﹣1代入整式方程计算即可求出a的值．
【解答】解：分式方程去分母得：x+1+2x＝a，即3x+1＝a，
∵x＝﹣1是关于x的方程的增根，
∴把x＝﹣1代入3x+1＝a得到﹣3+1＝a，即a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
10．（2024秋 綦江区期末）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，根据题意，列方程为　　．
【考点】由实际问题抽象出分式方程；数学常识．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，即可列出相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，可列出相应的方程：
，
故答案为：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 藁城区期末）解方程：
（1）；
（2）．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】（1）无解；
（2）x．
【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：（1）原方程去分母得：2（2x+1）＝4，
整理得：2x+1＝2，
解得：x，
当x时，（2x+1）（2x﹣1）＝0，
则x是分式方程的增根，
故原方程无解；
（2）原方程去分母得：4x+2x+6＝7，
解得：x，
检验：当x时，2x+6≠0，
故原方程的解为x．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
12．（2024秋 邗江区校级期末）已知关于x的分式方程的解是正数，求m的取值范围．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】m＜4且m≠3．
【分析】先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
【解答】解：方程两边同时乘以x﹣1得，1﹣m﹣（x﹣1）＝﹣2，
解得x＝4﹣m．
∵x为正数，
∴4﹣m＞0，解得m＜4，
∵x≠1，
∴4﹣m≠1，即m≠3，
∴m的取值范围是m＜4且m≠3．
【点评】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．
13．（2024秋 垫江县期末）阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：．
解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时，，解得：x，经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程中，设，则原方程可化为：　　；
（2）若在方程中，设，则原方程可化为：　　；
（3）模仿上述换元法解方程：．
【考点】换元法解分式方程．
【专题】阅读型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）和（2）将所设的y代入原方程即可；
（3）利用换元法解分式方程，设，将原方程化为，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
【解答】解：（1）将代入原方程，则原方程化为；
（2）将代入方程，则原方程可化为；
（3）原方程化为：，
设，则原方程化为：，
方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0
解得：y＝±1，
经检验：y＝±1都是方程的解．
当y＝1时，，该方程无解；
当y＝﹣1时，，解得：；
经检验：是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．
【点评】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度．
14．（2024秋 满洲里市期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．
（1）甲队单独施工半个月能完成总工程的 　　；
（2）乙队单独施工多少个月可以完成这项筑路工程？
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）1个月．
【分析】（1）根据甲队单独施工1个月完成总工程的即可得到答案；
（2）设乙队单独施工1个月能完成总工程量的，由题意可列出方程解答即可．
【解答】解：（1），
所以甲队单独施工半个月能完成总工程．
故答案为：；
（2）设乙队单独施工1个月能完成总工程量的，由题意可得：
，
解得x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，
∴乙队单独施工1个月可以完成这项筑路工程．
【点评】本题主要考查了分数除法的实际应用，理解题意列出分式方程是关键．
15．（2024秋 开福区校级期末）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为4800米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加20%，结果提前20天完成铺设任务．
（1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
（2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过36万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】（1）原计划与实际每天铺设管道各为40米，48米；
（2）该公司原计划最多应安排10名工人施工．
【分析】（1）设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道（1+20%）x＝1.2x，根据原计划的时间＝实际的时间+20，列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）设该公司原计划应安排y名工人施工，根据工作时间＝工作总量÷工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过36万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可．
【解答】解：（1）设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道（1+20%）x＝1.2x米，
∴，
∴x＝40，
经检验x＝40是分式方程的解，
∴1.2x＝48，
则原计划与实际每天铺设管道各为40米，48米，
答：原计划与实际每天铺设管道各为40米，48米；
（2）设该公司原计划应安排y名工人施工，4800÷40＝120（天），
∴300×120y≤360000，
∴y≤10，
则该公司原计划最多应安排10名工人施工．
【点评】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键．
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