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期末专项培优 矩形
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 长春期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2024秋 顺德区期末）如图，点E在矩形ABCD的边AD上．若△EBC是等边三角形，则∠AEB的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
3．（2024秋 中原区期末）如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AD＝8，OA＝5，则AB的长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．11
4．（2024秋 高州市期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P在斜边AB上（不与A、B重合），过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连接EF．随着P点在边AB上位置的改变，则EF长度的最小值．（　　）
A．2.5 B．5 C．2.4 D．3
5．（2024秋 梁溪区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线交CD的延长线于点G，交边AD于点E，若AE＝2.5，则DG的长为（　　）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 仪征市期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD，请添加一个条件 　 　，使四边形ABCD是矩形．
7．（2024秋 江阴市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线交CD的延长线于点G，交边AD于点E，若AE＝2.5，则DG的长为 　 　．
8．（2024秋 句容市期末）矩形ABCD中，点E在BC上，AE⊥ED，F为AE延长线上一点，满足EF＝AE，连结DF交BC于点G，若AB＝2，BE＝1，则GC的长为 　 　．
9．（2024秋 紫金县期末）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，∠ACB＝20°，则∠AOB＝ 　 　°．
10．（2024秋 扬州期末）如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，以AB边的长为半径作弧，交线段AD的延长线于点E，交边CD于点F，若CF＝1，DE＝3，则AD的长为 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 连州市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若BC＝12，CE＝8，求EF的长．
12．（2024秋 西安期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝7cm，点P是边BC上一动点（不与点C重合），点Q是边AD上任意一点．点P从点B出发沿BC向点C以3cm/s的速度运动．求△QPC的面积y（cm2）与点P的运动时间x（s）之间的关系式．
13．（2024秋 府谷县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，交AB于点F，交CD于点E，EF＝AF．求∠OFA的度数．
14．（2024秋 秦都区校级期中）如图，点E是 ABCD对角线AC上的点（不与A，C重合），连接BE，过点E作EF⊥BE交CD于点F．连接BF交AC于点G，BE＝AD，∠FEC＝∠FCE．
（1）求证： ABCD是矩形；
（2）若点E为AC的中点，求∠ABE的度数．
15．（2024秋 茂南区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BE∥AD，AE⊥AD．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）作EF⊥AB于F，若BC＝4，AD＝3，求EF的长．
期末专项培优 矩形
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 长春期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】根据矩形的性质得OA＝OC＝OB＝OD＝2，由此可得BD的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝2，
∴BD＝OB+OD＝4，
即BD的长为4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，理解矩形的对角线相等且互相平分是解决问题的关键．
2．（2024秋 顺德区期末）如图，点E在矩形ABCD的边AD上．若△EBC是等边三角形，则∠AEB的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【考点】矩形的性质；等边三角形的性质．
【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和等边三角形的性质即可解答．
【解答】解：∵△EBC是等边三角形，
∴∠CBE＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE＝60°．
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．（2024秋 中原区期末）如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AD＝8，OA＝5，则AB的长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．11
【考点】矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】A
【分析】由矩形的性质得出AC＝2OA＝BD＝10，∠BAD＝90°，由勾股定理求出AB即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2OA＝10＝BD，∠BAD＝90°，
∵AD＝8，
∴AB6，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出AD是解决问题的关键．
4．（2024秋 高州市期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P在斜边AB上（不与A、B重合），过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连接EF．随着P点在边AB上位置的改变，则EF长度的最小值．（　　）
A．2.5 B．5 C．2.4 D．3
【考点】矩形的判定与性质；垂线段最短．
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】连接PC，过点C作CH⊥AB于点H，先求出AB＝5，证明四边形PECF是矩形，则EF＝PC，当PC的值最小时，EF的值为最小，再根据“垂线段最短”得当点P于点H重合时，PC的值为最小，最小值为线段CH的长，则EF的最小值是线段CH的长，然后根据三角形的面积公式求出线段CH的长即可得出答案．
【解答】解：连接PC，过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理得：AB5，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠ACB＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF＝PC，
∴当PC的值最小时，EF的值为最小，
∵点P在斜边AB上（不与A、B重合），
∴根据“垂线段最短”得：当点P于点H重合时，PC的值为最小，最小值为线段CH的长，
∴EF的最小值是线段CH的长，
∵S△ABCAB CHAC BC，
∴CH2.4，
∴EF长度的最小值为2.4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了矩形的判定与性质，垂线段的性质，熟练掌握矩形的判定与性质，理解垂线段最短是解决问题的关键．
5．（2024秋 梁溪区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线交CD的延长线于点G，交边AD于点E，若AE＝2.5，则DG的长为（　　）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】设直线OG交BC于点F，由矩形的性质得OA＝OC，AD∥BC，CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠BCD＝∠ADC＝∠ADG＝90°，而AE＝2.5，则DE＝1.5，可证明△AOE≌△COF，得AE＝CF＝2.5，则S四边形CDEF＝4，由S△CFG＝41.5DG2.5（2+DG），求得DG＝3，于是得到问题的答案．
【解答】解：设直线OG交BC于点F，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，AE＝2.5，对角线AC、BC交于点O，
∴OA＝OC，AD∥BC，CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠BCD＝∠ADC＝∠ADG＝90°，
∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC，DE＝AD﹣AE＝4﹣2.5＝1.5，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF＝2.5，
∴S四边形CDEF（1.5+2.5）×2＝4，
∵S△CFG＝41.5DG2.5（2+DG），
∴DG＝3，
故选：D．
【点评】此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明△AOE≌△COF是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 仪征市期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD，请添加一个条件 　AB＝CD（答案不唯一）　，使四边形ABCD是矩形．
【考点】矩形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】AB＝CD（答案不唯一）．
【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：添加一个条件为：AB＝CD，使四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵AB＝CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．
【点评】本题考查矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键，属于中考常考题型．
7．（2024秋 江阴市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线交CD的延长线于点G，交边AD于点E，若AE＝2.5，则DG的长为 　3　．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】3．
【分析】根据矩形的性质得CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，OA＝OC，AD∥BC，进而得DE＝1.5，证明△AOE和△COF全等得AE＝CF＝2.5，设DG＝a，则CG＝2+a，证明△GDE和△GCF相似，然后根据相似三角形的性质求出a＝3，进而可得DG的长．
【解答】解：设直线OG交BC于点F，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
∵AE＝2.5，
∴DE＝AD﹣AE＝1.5，
∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OA＝OC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF＝2.5，
设DG＝a，则CG＝CD+DG＝2+a，
∵AD∥BC，
∴△GDE∽△GCF，
∴，
∴，
解得：a＝3，
∴DG＝a＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
8．（2024秋 句容市期末）矩形ABCD中，点E在BC上，AE⊥ED，F为AE延长线上一点，满足EF＝AE，连结DF交BC于点G，若AB＝2，BE＝1，则GC的长为 　　．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】利用一线三直角得到△ABE∽△ECD，继而算出EC＝4．再利用边角边证明出△AED≌△FED（SAS），得到DG＝EG，最后利用勾股定理求出CG长即可．
【解答】解：∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°＝∠B＝∠C，
∴∠AEB+∠DEC＝∠AEB+∠BAE，
∴∠BAE＝∠DEC，
∴△ABE∽△ECD，
∴，
∴．
∴EC＝4．
∵AE＝EF，∠AED＝∠DEF＝90°，DE＝DE，
∴△AED≌△FED（SAS），
∴∠ADE＝∠FDE，∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∴∠DEC＝∠FDE，
∴DG＝EG，
∵在Rt△CDG中，DG2＝DC2+GC2，
∴（4﹣GC）2＝4+GC2，
∴GC．
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键．
9．（2024秋 紫金县期末）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，∠ACB＝20°，则∠AOB＝ 　40　°．
【考点】矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】40．
【分析】先根据矩形的对角线相等且互相平分证明OB＝OC，从而根据已知角求出∠OBC的度数，然后根据三角形内角和定理求出∠BOC，最后根据邻补角的定义求出∠AOB即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴AO＝OC＝OB＝OD，
∵∠ACB＝20°，
∴∠OBC＝∠ACB＝20°，
∵∠OBC+∠ACB+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠ACB＝180°﹣20°﹣20°＝140°，
∵∠BOC+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣140°＝40°，
故答案为：40．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，解题关键是熟练掌握矩形性质、三角形内角和定理和邻补角的定义．
10．（2024秋 扬州期末）如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，以AB边的长为半径作弧，交线段AD的延长线于点E，交边CD于点F，若CF＝1，DE＝3，则AD的长为 　1　．
【考点】矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由勾股定理可求AB的长，即可求解．
【解答】解：如图，连接AF，
由题意可得：AE＝AF＝AB，
在Rt△ADF中，AF2＝DF2+AD2，
∴AB2＝（AB﹣1）2+（AB﹣3）2，
∴AB4或AB＝4（舍去），
∴AE4，
∴AD＝AE﹣DE1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 连州市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若BC＝12，CE＝8，求EF的长．
【考点】矩形的判定与性质；三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）4.8．
【分析】（1）证明∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°，再由矩形的判定即可得出结论；
（2）由矩形的性质得AE＝CD＝6，∠AEC＝90°，再由勾股定理求出AC＝10，然后由三角形面积求出EF的长即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵CE∥AD，
∴∠ECD＝∠ADB＝90°，
∵AE⊥AD，
∴∠EAD＝90°，
∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）解：∵AB＝AC，D是BC的中点，BC＝12，
∴BD＝CDBC＝6，
由（1）可知：四边形ADCE是矩形，
∴AE＝CD＝6，∠AEC＝90°，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：AC10，
∵EF⊥AC，
∴S△AECAC EFAE CE，
∴EF4.8，
即EF的长为4.8．
【点评】此题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
12．（2024秋 西安期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝7cm，点P是边BC上一动点（不与点C重合），点Q是边AD上任意一点．点P从点B出发沿BC向点C以3cm/s的速度运动．求△QPC的面积y（cm2）与点P的运动时间x（s）之间的关系式．
【考点】矩形的性质；三角形的面积．
【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】yx．
【分析】根据yAB PC，用含x的代数式表示出△QPC的底边PC的长即可得到答案．
【解答】解：由题意，BP＝3x cm，
∴PC＝BC﹣BP＝（7﹣3x）cm，
∴yAB PC5×（7﹣3x）＝（x）cm2，
故△QPC的面积y（cm2）与点P的运动时间x（s）之间的关系式为：yx．
【点评】本题考查矩形的性质，三角形的面积，动点问题、求自变量与因变量的关系式，掌握用含x的代数式表示出△QPC的底边PC的长是解答的关键．
13．（2024秋 府谷县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，交AB于点F，交CD于点E，EF＝AF．求∠OFA的度数．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】∠OFA的度数是60°．
【分析】连接AE，由矩形的性质得CD∥AB，OC＝OA，则∠OCE＝∠OAF，而∠COE＝∠AOF，即可根据“ASA”证明△OCE≌△OAF，得OE＝OF，因为EF经过点O，且EF⊥AC，所以AC垂直平分EF，则AE＝AF，而EF＝AF，可证明△AEF是等边三角形，则∠OFA的度数是60°．
【解答】解：连接AE，
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，
∴CD∥AB，OC＝OA，
∴∠OCE＝∠OAF，
在△OCE和△OAF中，
，
∴△OCE≌△OAF（ASA），
∴OE＝OF，
∵EF经过点O，且EF⊥AC，
∴AC垂直平分EF，
∴AE＝AF，
∵EF＝AF，
∴AE＝EF＝AF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠OFA的度数是60°．
【点评】此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
14．（2024秋 秦都区校级期中）如图，点E是 ABCD对角线AC上的点（不与A，C重合），连接BE，过点E作EF⊥BE交CD于点F．连接BF交AC于点G，BE＝AD，∠FEC＝∠FCE．
（1）求证： ABCD是矩形；
（2）若点E为AC的中点，求∠ABE的度数．
【考点】矩形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）30°．
【分析】（1）先由平行四边形的性质得到AD＝BC，则BE＝BC，由等边对等角得到∠ECB＝∠CEB，则可证明∠FEB＝∠BCD＝90°，进而可证明平行四边形ABCD是矩形；
（2）由矩形的性质得到，则可证明△BCE是等边三角形，得到∠CBE＝60°，则∠ABE＝30°．
【解答】（1）证明：点E是 ABCD对角线AC上的点，BE＝AD，
∴AD＝BC＝BE，
∴∠ECB＝∠CEB，
∵∠FEC＝∠FCE，
∴∠FEC+∠CEB＝∠FCE+∠BCE，
∴∠BEF＝∠BCF，
∵EF⊥BE交CD于点F，
∴∠FEB＝∠BCD＝90°，
∴ ABCD是矩形；
（2）解：∵ ABCD是矩形，点E为AC的中点，
∴，
∴BE＝CE＝BC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠CBE＝60°，
∴∠ABE＝30°．
【点评】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键．
15．（2024秋 茂南区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BE∥AD，AE⊥AD．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）作EF⊥AB于F，若BC＝4，AD＝3，求EF的长．
【考点】矩形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得∠ADB＝90°，再根据平行线的性质得∠DBE＝90°，然后根据AE⊥AD，可得∠DAE＝90°，即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得AB，然后根据矩形的性质得BE＝AD＝3，AE＝BD＝2，最后根据三角形的面积相等得出答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∠ADB＝90°，
∵BE∥AD，AE⊥AD，
∴∠DBE＝90°，∠DAE＝90°，
∴四边形ADBE是矩形；
（2）解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝4，AD＝3，
∴．
在直角三角形ABD中，由勾股定理得：．
∵四边形ADBE是矩形，
∴BE＝AD＝3，AE＝BD＝2．
∵，
∴．
【点评】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．
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