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2024-2025 学年山东省淄博四中高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若(3 + 4 ) = 5 ，则 =( )
A. 4 35 5 B.
3 4 C. 4 + 3 D. 3 45 5 5 5 5 + 5
2.如图，一个水平放置的三棱柱形容器中盛有水，则有水部分呈现的几何体是( )
A.四棱台
B.四棱锥
C.四棱柱
D.三棱柱
3.已知角 的终边过点 (3,2) 2 ，则2 2 3 2 =( )
A. 2 B. 2 C. 52 D. 3
4.如图，在平行四边形 中， 是 的中点， 与 交于点 ，
设 = ， = ，则 =( )
A. 2 + 1 3 3
B. 23
1
3
C. 13 +
2
3 D.
1 2 3 3

5.下列说法正确的是( )
A.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥
B.直角三角形绕一条边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥
C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥
D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
6.灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地
面 处测得塔在南偏东 30°的方向上，向正南方向行走 15 2后到达 处，测得塔在南偏东 75°的方向上，
处测得塔尖 的仰角为 60°，则可得龙洲塔高度为( )
A. 15 2 B. 152 ( 6 + 2)
C. 15 3 D. 152 ( 6 2)
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7.函数 ( ) = 3 ( > 0)的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是( )
A.函数 ( ) 7 的图象关于点( 12 , 0)中心对称
B. 2 函数 ( )的单调增区间为[ 3 , 6 ]( ∈ )
C.函数 ( ) 5 的图象可由 = 2 的图象向左平移 6个单位长度得到
D.函数 ( ) = ( )( > 0)在(0, ) 2 7 13上有 个零点，则实数 的取值范围为( 24 , 24 ]
2 2 2
8.△ 中， 、 + 、 分别是内角 、 、 的对边，若 △ = 且( + ) 4 | | | = 0，则△ |
的形状是( )
A. 有一个角是6的等腰三角形 B.等边三角形
C.三边均不相等的直角三角形 D.等腰直角三角形
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式的值为 1 的是( )
A. 20°+ 25° 5 20 25 1 B. 4 12 sin 12
C. 72° 18° 108° 18° D. 2 222.5° 1
10.已知△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则下列命题中，正确的命题是( )
A.若 = ，则△ 为等腰三角形
B.若 > ，则 > ；反之，若 > ，则 >
C. = 3， = 60°， = ，要使此三角形的解有两个，则 的取值范围为(3,2 3)
D. = 2 3，角 的平分线 交 边于 ，且 = 3，则 + 的最小值为 12
11.如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的
侧棱长均为 10 ，则下列选项中正确的是( )
A.该几何体的高为 10 2
B.该几何体的表面积为 100 3 + 200 2 2
C. 2000 2该几何体的体积为 3
3
D.一只小蚂蚁从点 爬行到点 ，所经过的最短路程为 150 + 50 6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 ， 的夹角为 60°，| | = 2，| | = 1，则| + 2 | = ．
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13.如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图 ′ ′ ′ ′是
边长为 2 的菱形，且 ′ ′ = 2，则原平面图形的面积为______．
14.在△ 3中， △ = 2 = 3， = 2 ，△ 的外接
圆为圆 ， 为圆 上的点，则 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 1 = 1 + ， 22 = ( 6 + 7) 2 ( ∈ , 为虚数单位)．
(1)若 = 1 + 2为纯虚数，求实数 的值；
(2) = 若 11+ 在复平面内所对应的点位于第四象限，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知向量 = ( 4,2)， = (1, 4)．
(1)若( 3 ) ⊥ ( + )，求 的值；
(2)若 = (3 2, )，向量 + 与 的夹角为锐角，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面
大小相同，圆柱的底面半径为 6 ，高为 20 ，圆锥母线为 10 ．
(1)计算该模型的体积．
(2)现需使用油漆对 500 个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米 30 元，总费用是多少？
18.(本小题 17 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 = 2 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 3，△ 的面积为 3 3，求△ 的周长．
(3)若△ 为锐角三角形，求 2 + 的取值范围．
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19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 3 cos2 + 12．
(1)若 为锐角， ( 2 ) =
6
3 ，求 的值；
(2)在△ 中，若 ( ) = 1， = 13， 是 的中点，且 = 3，求△ 的面积；
(3) 若关于 的不等式 (2 3 ) + ( ) + 2 ≥ 0 在( 12 , 2 ]上恒成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 3
13.8
14.[ 23 , 2]
15.解：(1)由复数 1 = 1 + ， 22 = ( 6 + 7) 2 ，
得 = 1 + 2 = 1 + + ( 2 6 + 7) 2 = ( 2 6 + 8) + ( 2) ，
2
∵复数 为纯虚数，∴ 6 + 8 = 0，解得 = 4；
2 ≠ 0
(2)由 1 = 1 + ，
= 1 = 1+ = (1+ )(1 ) 1+ 1得 1+ 1+ (1+ )(1 ) = 2 + 2 ，
+1 > 0
∵ = 11+ 在复平面内所对应的点位于第四象限，∴
2
1 ，解得 1 < < 1．
2 < 0
∴实数 的取值范围为( 1,1)．
16.解：(1)若( 3 ) ⊥ ( + )，则( 3 ) ( + ) = 0，
∴ 2+ (1 3 ) 3 2 = 0，
∵ = ( 4,2)， = (1, 4)，
∴ 2 = 20， 2 = 17， = 4 8 = 12，
∴ 20 12(1 3 ) 3 × 17 = 0，
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∴ = 98；
(2)向量 + 与 的夹角为锐角，则( + ) > 0，
∵ = ( 4,2)， = (1, 4)，
∴ + = ( 3, 2)，又 = (3 2, )，
∴ 3(3 2) + 2 > 0 ∴ < 6， 7，
又当 + 与 的夹角为 0°不符题意，
∴ 3 ≠ 2(3 2) 4，∴ ≠ 9，
则 的取值范围为( ∞, 4 ) ∪ ( 4 , 69 9 7 ).
17.解：(1)设圆锥的高为 ，已知圆锥母线为 10 ，
则 = 102 62 = 8( )，
∴ 1模型的体积 = 20 × 62 3 × 6
2 × 8 = 624 ( 3)；
(2)圆柱的侧面积为 2 20 = 240 ，圆柱的上底面的面积为 36 ，
圆锥侧面积为 锥侧 = × 6 × 10 = 60 ．
∴ 2总 = 240 + 36 + 60 = 336 ，
又油漆费用为每平方米 30 元，且有模型 500 个，
∴ 336 ×500×30总费用为 104 = 504 (元)．
18.解：(1)由 = 2 ，根据正弦定理得 = 2 ，
在△ 中， ∈ (0, )， > 0，所以 = 2 ，

结合 为三角形的内角，可知 + 2 = ，解得 = 3；
(2) △ 1的面积为 = 2 = 3 3，
结合 = 3， = 3 3 32 ，可得 4 = 3 3，解得 = 4．
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = 9 + 16 2 × 3 × 4 × 12 = 13，可得 = 13．
所以△ 的周长 + + = 7 + 13；
(3) 2 2 由 = 3得 + = 3，所以 = 3 ，
可得 2 + = 2 + cos( 2 3 ) = 2
1
2 +
3
2 =
3
2 +
3
2 = 3sin( +
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3 )．
2
根据△ 为锐角三角形，可得 0 < < 2 , 0 < 3 < 2，即6 < <

2，
< + < 5 1由2 3 6，可得2 < sin( +

3 ) < 1，
3
所以 2 < 3sin( + 3 ) < 3，即 2 + (
3
的取值范围是 2 , 3)．
19.解：(1)因为 ( ) = 3 cos2 + 12 =
3 1
2 2 2 2 ，
即 ( ) = sin(2 6 )，
6
所以 ( 2 ) = sin( 6 ) = 3 ，
3因为 为锐角，所以 26 < 6 < 3，所以 cos( 6 ) = 1 sin ( 6 ) = 3 ，
所以 = cos[( ) + 6 6 ] = cos(
)cos 6 6 sin(
3 3 6 1 3 6
6 )sin 6 = 3 × 2 3 × 2 = 6 ，
(2)在△ 中， ( ) = sin(2 6 ) = 1，因为 0 < < ，所以

6 < 2

6 <
11
6 ，
所以 2 6 =

2，即 = 3，
因为 是△ 1的中线，所以 = 2 (
+ )，
所以
2 2 2
= 14 (
+ + 2 )，
因为 = 3，
所以
2
+
2
+ 2 = 36①，
又因为 = 13，
2
所以 = ( )2 =
2
+
2
2 = 13②，
① ②，得 4 = 23，即 = 234，
而 = | | | | cos 233 = 4，
所以| | | | = 232，
1
所以△ 的面积 = 2 sin
23 3
3 = 8 ．
(3)不等式 (2 3 ) + ( ) + 2 ≥ 0
5
，即 sin(4 6 ) + (2

6 ) + 2 ≥ 0，
5
因为 ∈ ( 12 , 2 ]，所以 2 6 ∈ (0, 6 ]，所以 0 < sin(2 6 ) ≤ 1，
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sin(4 5 )+2
所以不等式等价于 ≥ 6sin(2 ，6)
令 = 2 5 6，则 4 6 = 2
2 +2
2，所以不等式等价于 ≥ ，
2
因为 (0,1] 1+2 1 2， = + 2 ≥ 2 2，当且仅当 = 2 ∈ (0,1]
11
，即 = 12或 24 时，取“=”，
所以 ≥ 2 2，
故 的范围为{ | ≥ 2 2}.
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