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山东省菏泽市鄄城县第一中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量，，若，则n的值为（ ）．
A． B．4 C． D．
2．若，则等于（ ）．
A．2 B． C． D．5
3．在中，若，则的形状一定是（ ）．
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
4．在复平面内，若是虚数单位，复数与关于虚轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知的外接圆圆心为，且， ，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，下边长方体中由上边的平面图形围成的是
A． B．
C． D．
7．若（，，），且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．的内角的对边分别为，且，若边的中线等于3，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（ ）
A． B．
C． D．
10．下列命题中，正确的有（ ）
A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
11．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．是钝角三角形
C．的最大内角是最小内角的倍
D．若，则外接圆半径为
三、填空题
12．如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点.则的最小值为

13．的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则 ．
14．如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ．
四、解答题
15．已知向量，，，且.
(1)求实数m的值；
(2)求；
(3)求向量与的夹角.
16．已知、、分别为三个内角、、的对边，.
(1)求；
(2)若，的面积为，求、.
17．已知，复数．
(1)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；
(2)若z满足，，求的值．
18．如图，是边长为的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记.
(1)若，求的长；
(2)用表示的长度；
(3)求的面积的取值范围.
19．在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量.作：，当不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为当共线时，规定．
(1)分别根据下列已知条件求；
①；
②；
(2)若向量，求证：；
(3)记，且满足，求的最大值.
山东省菏泽市鄄城县第一中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D C A D A C BD BC
题号 11
答案 ACD
1．A
【详解】因为，则，，得到，解得：，．
故选：A.
2．C
【详解】因为，
所以，
故选：C.
3．D
【详解】因为，所以角A为钝角，所以为钝角三角形．
故选：D.
4．C
【详解】∵，
由复数与对应的点关于虚轴对称，
∴．
故选：C.
5．A
【详解】
因为，所以是的中点，
因为的外接圆圆心为，所以为圆的直径，
又，则，即，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：A.
6．D
【详解】解：D折成的长方体有两组对面是黑色的，一组对面是白色的．
故选：D．
7．A
【详解】因为，
所以，
所以，解得，.因为，所以，
解得或.
故选：A.
8．C
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以．
取的中点，延长至点，使得是中点，
连接，则四边形是平行四边形，
在三角形中，，
，，，
由余弦定理得，解得，
所以三角形的面积为，
故选：C.
9．BD
【详解】如图所示，在直观图中，过作于，
.
又，
所以利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图：
那么有，故选项B正确；
又因为，故选项A C错误；
而，故选项D正确.
故选：BD.
10．BC
【详解】
如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误；
棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥，
故B正确；由平行六面体的概念和性质可知：
平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故C正确；
根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点。
有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体，
不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错误.
故选：BC.
11．ACD
【详解】对A，因为在中，
所以 ，解得，
所以根据正弦定理知，故A正确；
对B，易知角C为最大角，则，
，所以角C为锐角，故是锐角三角形，故B错误；
易角A为最小角，则，
所以，即，
又，所以，所以 ，故C正确；
设外接圆的半径为R，则由正弦定理得 ，解得，故D正确；
故选：ACD.
12．
【详解】

解：将侧面沿展开，使得侧面与侧面在同一平面内，
如图，连接交于，则的最小值为此时的，
，
的最小值为.
故答案为：.
13．
【详解】由余弦定理可得，
解得，
所以，
故答案为：.
14．
【详解】解：在正方形中，建立如图所示坐标系，
由正方形边长为3且，
可得，
设，，则，
则，
故，
故当时，取得最小值为．
故答案为：．
15．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知，
又，可得，
解得
（2）由（1）可知，
可得，
因此；
（3）易知，
又，可得.
所以向量与的夹角.
16．(1)
(2)
【详解】（1）根据正弦定理，
变为，即，
也即，
所以．
整理，得，即，所以，
所以，则．
（2）由，，得．
由余弦定理，得，
则，所以．则．
17．(1)；
(2).
【详解】（1）复数在复平面内对应的点为，
由z在复平面内对应的点位于第四象限，得，解得，
所以的取值范围是.
（2）依题意，，
又，则，解得，
，
所以.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由，且是边长为的正三角形，
则，且，
所以在中，由余弦定理得，
所以.
（2）由，则，则，
在中，由正弦定理有，
得，
（3）由三角形的面积公式得
，
又，且，则，所以，
所以，则，
故的取值范围为.
19．(1)5；0
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）因为，，且，
所以；
又，，所以；
（2）因为向量，且向量，
则，
所以，
同理，
所以；
（3）设为锐角时，由，得或，
当为锐角，为锐角时，
当时，取到最大值；
当为钝角时，由，得，
当为钝角，，
，
当，即时，取得最大值，
所以取得最大值.

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