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临沧地区中学2025届高三适应性月考卷（二）数学
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关于复数为虚数单位的说法错误的是( )
A. 的共轭复数为 B.
C. 的虚部为 D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，记为等比数列的前项和设命题；命题，则命题是命题的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，，且向量在向量上的投影的数量为，则( )
A. B. C. D.
5.几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为的等腰三角形例如中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的如图，将五角星的五个顶点相连，记正五边形的边长为，正五边形边长为，则的值是( )
A. B. C. D.
6.设函数满足：，都有，且记，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
7.已知函数图象与轴至少有一个公共点，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.在棱长为的正方体中，、为线段上的两个三等分点，动点在内，且，则点的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 数据，，，，，，，，，的第百分位数为
B. 数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点
C. 若随机变量，则函数为偶函数
D. 在列联表中，若每一个数据均变为原来的倍，则变为原来的倍，其中
10.对于函数，下列说法中正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数在上单调递减
C. 函数图象的一条对称轴是直线
D. 函数在上有个零点
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于，两点，则下列命题错误的是( )
A. 在直线上取不同于的点，若，则的面积为
B. 若直线的斜率存在，则斜率范围为
C. 当直线的斜率为时，的面积为
D. 为双曲线右支上任意一点，过作的两条切线，，切点分别为，，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知单调递减的等比数列满足，且是，的等差中项，则数列的通项公式 ．
13.在中，，，是所在平面内一点，且，若存在点，使，则的最大值为
14.九章算术是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体刍甍，其底面为矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行．现有如图所示一刍甍，，侧面和为等边三角形，且与底面所成角相等，则该几何体中异面直线共有 对；若，到底面的距离为，则该刍甍的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，的对边为，，，且．
求
若的面积为
为的中点，求底边上中线长的最小值
求内角的角平分线长的最大值．
16.本小题分
如图，三棱柱中，平面平面，，．
证明：；
若，，直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
某商场推出了购物抽奖活动，活动规则如下：如图，在点处各安装了一盏灯，每次只有一处的灯亮起初始状态是点处的灯亮起，程序运行次数的上限为，然后按下开始按扭，程序开始运行，第次是与相邻点处的其中一盏灯随机亮起，第次是与第次灯亮处相邻点的其中一盏灯随机亮起若在运行过程中，点处的灯再次亮起，则游戏结束，否则运行次后游戏自动结束在程序运行过程中，若点处的灯再次亮起，则顾客获奖已知顾客小明参与了该购物抽奖活动．
求程序运行次小明获奖的概率：
若，求小明获奖的概率；
若，记游戏结束时程序运行的次数为，求的分布列与期望．
18.本小题分
已知动圆经过定点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线已知点与点关于轴对称，过点作斜率为的直线交于点，点与点关于轴对称，过点作斜率为的直线交于点，按照上述方法构造点．
求曲线的方程；
证明为等差数列，并求出的通项公式；
记，求数列的前项和．
19.本小题分
若函数与在区间上满足：存在实数，使得对任意，都有则称为和在上的同步斜率．已知，，．
验证是否为和在上的同步斜率；
若是和在区间上的同步斜率，求实数的取值范围；
证明：当且时，．
答案
1.【答案】
解：，故 A错；
，故 B正确；
的虚部为，故 C正确；
，故 D正确．
故选：．
2.【答案】
解：由题意知，
，
所以，
故选：．
3.【答案】
设的公比为，则，
若，则必有，
当时，当时，，故；
当时，，
若，则，故，
若，则，故，
若，，故，
综上，充分性成立，
若，当时，，故，
当时，，
由于或或时，的正负性相同，故，
所以，则，
综上，必要性成立，
所以命题是命题的充要条件．
故选：．
4.【答案】
由题意得，得，
所以．
故选：
5.【答案】
因为，
，
所以 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
故选：．
6.【答案】
由题意，函数满足，
则，
所以，
令，得，
又，，
所以，
令，，得，
又，所以，
又，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
故，
因此，
则数列的前项为．
故选：．
7.【答案】
当时，若，显然，否则若，就有，矛盾，
所以，，而函数，的值域为，
所以若方程，有解，则的范围为；
当时，若，则，，
设，，则，
当时，，当时，，
所以当时，单调递减，当时，单调递增，
当趋于时，趋于，当趋于时，趋于，而，
从而的值域为，
综上所述，要函数的图象与轴至少有一个公共点，
则实数的取值范围为．
故选C．
8.【答案】
如图，在棱长为的正方体中，，
因为、为线段上的两个三等分点，
所以，
易知，、平面，
所以平面，
又因为平面，则，
同理可证，
因为，，，、平面 ，
则平面，
设点到平面的距离为，则三棱锥的体积，
则，
所以在平面内，
则，
所以，
所以平面内点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
如图，在正三角形中，为中心，圆的半径为，即，
，
所以在直角三角形中，
则，
所以三个虚线弧圆心角弧度数为，
则三个实线弧圆心角弧度数为，
所以点的轨迹长度为．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于，数据按照从小到大的顺序排列为，
因为，所以数据第百分位数是从小到大的第个数，故A错误；
对于，数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，则去除一个异常点后，其中，则，得到新的回归直线必过点，故B正确；
对于，因为随机变量，所以对称轴为，
则函数为偶函数，故C正确；
对于，在列联表中，，
若每一个数据均变为原来的倍，则，则变为原来的倍，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：对于选项，易知函数的定义域为，
因为
，作出函数的图象如下图所示：
所以，函数的最小正周期为，故A错误；
对于选项，当时，，则，
此时，，
因为函数在上单调递增，故函数在上单调递减，故B正确；
对于选项，因为
，
所以，函数的一条对称轴为直线，故C正确；
对于选项，由，解得，
当时，，可得，
解得，所以，函数在上有个零点，故D正确；
故选：．
11.【答案】
【解析】解：对于，因为，所以，

即，所以是直角三角形，则，
又因为，所以，
解得的面积为，故A正确；
对于，因为，直线的斜率存在且不为，设的方程为：，
联立方程得：，
因为直线交的右支于，两点，故
解得：，
所以斜率的范围为或，故B错误；
对于，因为直线的斜率为，故直线的方程为，
设，，
由可知，联立方程得：，
故，，
，故C正确；
对于，设，，则，
因为
，
令，则，
设，则，
因为对称轴为
故，则，
所以，故的最小值在时取得，最小值为，故D错误．

故选BD．
12.【答案】形式不唯一
设等比数列的公比为，依题意：有，
又，将代入得，
，
，解得或
又为递减数列，
，，
．
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：因为，，
所以由平面向量基本定理可知，，三点共线，
若存在点，使，
则表示到直线的距离，
以为坐标原点，所在直线为轴，建立坐标系，
则，，，
因为，
所以点的轨迹方程为，
则到直线的距离的最大值为，
即的最大值为．
故答案为：．
14.【答案】

【解析】解：由异面直线的判定定理易知：
与成异面直线，
与成异面直线，
与成异面直线，
与成异面直线，
成异面直线，成异面直线，
共对；
在刍甍中，过作底面的垂线，垂足为，
则，取的中点．
因为为等边三角形，且，则，
，所以．
分别取，的中点，，
则刍甍被分为四棱锥和三棱柱．
又因为，
，
又因为
所以，
所以该刍甍的体积为．
故答案为：；．
15.【答案】解：由正弦定理，得，
即，
故，所以．
所以；
由知，
因为的面积为，所以，解得，
由于，
所以
，
当且仅当时，等号取得到，
所以，
所以长的最小值为．
因为为角的角平分线，所以 ，
由于，
所以，
所以．
又，所以，
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，
故，
所以内角的角平分线长的最大值．
16.【答案】解：作于点，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，．
连接，，取中点，
因为，
所以，，，平面，
所以平面，平面，所以．
又，，所以为的中点，所以平面为矩形，所以，
又，，平面．
所以平面，在平面内，所以．
由可得与平面所成的角为，
故，则，则．
以所在直线为轴．所在直线为轴，过作垂直于于点，亦得平面，则以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
则
则，
设平面的法向量为，
则，则，
设平面与平面的夹角为，
则．
故平面与平面夹角的余弦值为．
17.【答案】解：程序运行次小明获奖的情况有这两种，
其概率 ；
当时，小明获奖的情况如下：程序运行次，小明获奖；程序运行次，小明获奖，
程序运行次，小明获奖的情况有这五种，
其概率，
故当时，小明获奖的概率 ，
当时，的所有可能取值为 ，
由可知，由可知，
当时，包含，这四种情况，
其概率，
，
故的分布列为：
故．
18.【答案】解：因为动圆经过定点，且与直线相切，
即动圆圆心到点的距离与到直线的距离相等．
又点不在直线上，
由抛物线的定义可知动圆圆心是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以动圆圆心的轨迹为，
即的方程为．
由题可知，
可设直线的方程为．
将方程为与方程联立得，
所以，
即，
所以是首项为，公差为的等差数列．
故．
由题可知，
故，
则．
当为偶数时，
令，
则
．
当为奇数时，
．
故．
19.【答案】解：是和在上的同步斜率，
证明如下：由题意知，只需证时，，
令，则，所以时，，在上单调递增，
又因为，所以时，，即在上恒成立．
令，则恒成立，
所以在上单调递减，
又因为，所以，即，所以时，，即是和在上的同步斜率；
解：由题意知恒成立，
令，则在区间上恒成立，
，
当即时，在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，，符合条件
当，即时，时，，在区间上单调递减，
所以存在，使，不符合条件．
综上，的取值范围为；
证明：令，由知在区间上恒成立，
当且时，，令，得，
所以
．
即当且时，．

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