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数与式-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2025·湖南模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故答案为：C．
【分析】（1）利用合并同类项法则计算；
（2）利用单项式乘以多项式法则计算；
（3）利用幂的乘方与积的乘方法则计算；
（4）利用单项式乘以单项式的运算法则计算．
2．（2024八下·成都期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：∵关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，
∴关于原点对称的点的坐标是
故答案为：D ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求解.关于原点对称的两点的横、纵坐标均互为相反数.
3．（2021·黄冈）2021年5月15日07时18分，我国首个火星探测器“天问一号”经过470000000公里旅程成功着陆在火星上，从此，火星上留下中国的脚印，同时也为我国的宇宙探测之路迈出重要一步.将470000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： ，
故答案为：C.
【分析】 根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
4．（2024九下·官渡模拟）观察下列单项式：，…，按此规律，第8个单项式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：∵，，，，，…，
∴第n个式子为，
∴第8个单项式是，
故答案为：C
【分析】根据题意观察单项式得到第n个式子为，再代入即可求解。
5．（2023九下·汉寿期中）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：，
，
，
，
…，
；
∴
，
故选∶C．
【分析】先得到前4个图形中“●”的个数，得出变化规律，然后利用列项求和解题即可．
6．（2024·东兴模拟）对于每个正整数n，设表示的末位数字，例如：（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字）…，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；定义新运算；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：由题意可得，
因为，，
所以，
以此类推，得
，
，
，
，
，
，
，
……
∵，
∴
，
故答案为：D．
【分析】根据题意得到前面几个式子的值，并得到末尾数字的值，然后根据式子得到变化规律，从而求解.
二、填空题
7．（2019·苏州模拟）的立方根是　 　 ．
【答案】2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵=8，
∴的立方根是2；
故答案为：2．
【分析】根据算术平方根的定义先求出，再根据立方根的定义即可得出答案．
8．（2023·呼和浩特模拟）因式分解：=　 　．
【答案】x(x+1)(x-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式= =x(x+1)(x-1)，
故答案为：x(x+1)(x-1)．
【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式即可。
9．（2020·包头）在函数 中，自变量 的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】在函数 中，分母不为0，
则 ，即 ，
故答案为： .
【分析】在函数 中，分母不为0，则x-3≠0，求出x的取值范围即可.
10．（2024·含山模拟）若多项式因式分解后结果是，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
11．（2024八下·武侯期中）若，则代数式的值为　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵
∴
．
故答案为：．
【分析】利用平方差公式因式分解，然后整体代入计算解题．
12．（2024九下·浙江模拟）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……；则的值为　 　．
【答案】4160
【知识点】探索数与式的规律
三、计算题
13．（2025·贵州模拟）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）1
（2），
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；分母有理化
14．（2023八下·莲池期末）先化简代数式，再从，，三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值．
【答案】解：
，
∵，，
∴当时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，并将除式的分子、分母分别利用完全平方公式及平方差公式分解因式，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，将除法转变为乘法，再计算分式乘法约分化简，最后根据分式有意义的条件确定a的值，将符合题意的字母的值代入求解．
15．（2020九上·百色期末）计算：2cos45° tan30°cos30°+sin260°．
【答案】解：原式
= ﹣ +
= ．
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】将特殊角的三角函数值代入后按二次根式的混合运算顺序计算即可.
四、解答题
16．（2024·献县模拟）已知：整式，整式．
（1）化简：；
（2）若是关于x的一个完全平方式，请写出一个满足条件的整式．
【答案】（1）
（2）（答案不唯一）
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；完全平方式
17．（2024·玉田模拟）两个数，，若满足，则称和互为美好数．例如：0和1互为美好数．
（1）4的美好数是____________________；
（2）若的美好数是，求与的平均数．
【答案】（1）
（2）
【知识点】平均数及其计算；求代数式的值-整体代入求值
18．（2024·北戴河模拟）已知多项式．
（1）当时，求的值；
（2）若为整数，试说明多项式能被5整除．
【答案】（1）
（2）多项式能被5整除
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-直接代入求值
19．（2024·肇庆模拟）【发现问题】
由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：
，当且仅当时取到等号．
【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？
【分析问题】例如：已知，求式子的最小值．
解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
【解决问题】
请根据上面材料回答下列问题：
（1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________；
【能力提升】
（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值．
【答案】（1），2；（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；（3）四边形面积的最小值为
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的应用
五、阅读理解题
20．（2024·迎泽模拟）阅读材料，并解决下列问题：
在学习无理数的估算时用了“无限逼近法”，借助计算器可以估算无理数的近似值，我们还可以用下面的方法来探索无理数的近似值．我们知道，面积为2的正方形的边长为，易知．因此可设．如图所示构造边长为的正方形，则它的面积为，
根据图中面积关系，得，
略去，得，解得，∴，
易知，因此可设．如图所示构造边长为的正方形，则它的面积为，
（1）上述的分析过程中，主要运用的数学思想是______．（填序号即可）
．数形结合 ．统计 ．分类讨论 ．转化
（2）把上述内容补充完整，使的近似值更加准确．（结果精确到）
【答案】(1) ；
(2) ．
【知识点】无理数的估值
1 / 1数与式-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2025·湖南模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·成都期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．（2021·黄冈）2021年5月15日07时18分，我国首个火星探测器“天问一号”经过470000000公里旅程成功着陆在火星上，从此，火星上留下中国的脚印，同时也为我国的宇宙探测之路迈出重要一步.将470000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九下·官渡模拟）观察下列单项式：，…，按此规律，第8个单项式是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023九下·汉寿期中）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·东兴模拟）对于每个正整数n，设表示的末位数字，例如：（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字）…，则的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2019·苏州模拟）的立方根是　 　 ．
8．（2023·呼和浩特模拟）因式分解：=　 　．
9．（2020·包头）在函数 中，自变量 的取值范围是　 　．
10．（2024·含山模拟）若多项式因式分解后结果是，则的值是　 　．
11．（2024八下·武侯期中）若，则代数式的值为　 　．
12．（2024九下·浙江模拟）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……；则的值为　 　．
三、计算题
13．（2025·贵州模拟）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
14．（2023八下·莲池期末）先化简代数式，再从，，三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值．
15．（2020九上·百色期末）计算：2cos45° tan30°cos30°+sin260°．
四、解答题
16．（2024·献县模拟）已知：整式，整式．
（1）化简：；
（2）若是关于x的一个完全平方式，请写出一个满足条件的整式．
17．（2024·玉田模拟）两个数，，若满足，则称和互为美好数．例如：0和1互为美好数．
（1）4的美好数是____________________；
（2）若的美好数是，求与的平均数．
18．（2024·北戴河模拟）已知多项式．
（1）当时，求的值；
（2）若为整数，试说明多项式能被5整除．
19．（2024·肇庆模拟）【发现问题】
由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：
，当且仅当时取到等号．
【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？
【分析问题】例如：已知，求式子的最小值．
解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
【解决问题】
请根据上面材料回答下列问题：
（1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________；
【能力提升】
（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值．
五、阅读理解题
20．（2024·迎泽模拟）阅读材料，并解决下列问题：
在学习无理数的估算时用了“无限逼近法”，借助计算器可以估算无理数的近似值，我们还可以用下面的方法来探索无理数的近似值．我们知道，面积为2的正方形的边长为，易知．因此可设．如图所示构造边长为的正方形，则它的面积为，
根据图中面积关系，得，
略去，得，解得，∴，
易知，因此可设．如图所示构造边长为的正方形，则它的面积为，
（1）上述的分析过程中，主要运用的数学思想是______．（填序号即可）
．数形结合 ．统计 ．分类讨论 ．转化
（2）把上述内容补充完整，使的近似值更加准确．（结果精确到）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故答案为：C．
【分析】（1）利用合并同类项法则计算；
（2）利用单项式乘以多项式法则计算；
（3）利用幂的乘方与积的乘方法则计算；
（4）利用单项式乘以单项式的运算法则计算．
2．【答案】D
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：∵关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，
∴关于原点对称的点的坐标是
故答案为：D ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求解.关于原点对称的两点的横、纵坐标均互为相反数.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： ，
故答案为：C.
【分析】 根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
4．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：∵，，，，，…，
∴第n个式子为，
∴第8个单项式是，
故答案为：C
【分析】根据题意观察单项式得到第n个式子为，再代入即可求解。
5．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：，
，
，
，
…，
；
∴
，
故选∶C．
【分析】先得到前4个图形中“●”的个数，得出变化规律，然后利用列项求和解题即可．
6．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；定义新运算；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：由题意可得，
因为，，
所以，
以此类推，得
，
，
，
，
，
，
，
……
∵，
∴
，
故答案为：D．
【分析】根据题意得到前面几个式子的值，并得到末尾数字的值，然后根据式子得到变化规律，从而求解.
7．【答案】2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵=8，
∴的立方根是2；
故答案为：2．
【分析】根据算术平方根的定义先求出，再根据立方根的定义即可得出答案．
8．【答案】x(x+1)(x-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式= =x(x+1)(x-1)，
故答案为：x(x+1)(x-1)．
【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式即可。
9．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】在函数 中，分母不为0，
则 ，即 ，
故答案为： .
【分析】在函数 中，分母不为0，则x-3≠0，求出x的取值范围即可.
10．【答案】
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵
∴
．
故答案为：．
【分析】利用平方差公式因式分解，然后整体代入计算解题．
12．【答案】4160
【知识点】探索数与式的规律
13．【答案】（1）1
（2），
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；分母有理化
14．【答案】解：
，
∵，，
∴当时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，并将除式的分子、分母分别利用完全平方公式及平方差公式分解因式，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，将除法转变为乘法，再计算分式乘法约分化简，最后根据分式有意义的条件确定a的值，将符合题意的字母的值代入求解．
15．【答案】解：原式
= ﹣ +
= ．
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】将特殊角的三角函数值代入后按二次根式的混合运算顺序计算即可.
16．【答案】（1）
（2）（答案不唯一）
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；完全平方式
17．【答案】（1）
（2）
【知识点】平均数及其计算；求代数式的值-整体代入求值
18．【答案】（1）
（2）多项式能被5整除
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-直接代入求值
19．【答案】（1），2；（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；（3）四边形面积的最小值为
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的应用
20．【答案】(1) ；
(2) ．
【知识点】无理数的估值
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