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浙江省2025年中考数学猜题卷01
满分120分 时间120分钟
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图是湖州市某日的天气预报，该天最高气温比最低气温高（　　）
A．7℃ B．﹣70℃ C．3℃ D．﹣3℃
2．人工智能模型的参数量越大，理解能力越强．Deepseek V3﹣0324模型参数可达685000000000个，其中数685000000000用科学记数法表示为（　　）
A．6.85×1011 B．6.85×1010 C．68.5×1011 D．68.5×1010
3．河南省图书馆是河南省最大的综合性图书馆，目前藏书1500多万册，书籍种类较多．该图书馆的一个装饰品是由几个几何体组成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（　　）
A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．长方体
4．下列运算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．（﹣3a）2＝﹣9a2
C．（﹣a）6÷a3＝a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
5．下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两组数据的方差分别是0.09、0.1，则乙组数据更稳定
B．某游戏的中奖率为，做5次这样的游戏一定会有1次中奖
C．检测神舟十六号载人飞船的零部件状况，适合采取抽样调查
D．“x＝4是不等式2（x﹣1）＞3的解”，这是一个必然事件
6．我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发布的数据，2024年5月新能源汽车销量约为95.5万辆，2024年7月新能源汽车销量约为99.1万辆，设新能源汽车销量的月平均增长率为x，则x满足的方程是（　　）
A．95.5（1+2x）＝99.1 B．95.5（1+2x）2＝99.1
C．95.5（1+x）2＝99.1 D．95.5（1+x2）＝99.1
7．一把精美的扇子如图所示，扇子打开后扇形的圆心角为120°，且2OA＝AB＝6，这个环形扇面的面积是（　　）
A．21π B．23π C．24π D．25π
8．反比例函数的图象上有A（x1，m），B（x2，2m），C（x3，3m）三点，（　　）
A．若x1＞0，则x1﹣x2＞x2﹣x3
B．若x1＜0，则x1﹣x2＞x2﹣x3
C．若x1＞0，则|x1﹣x2|＜|x2﹣x3|
D．若x1＜0，则|x1﹣x2|＜|x2﹣x3|
9．如图，在正方形ABCD中，A（﹣1，﹣1），B（﹣3，0）．现将该正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O按逆时针方向旋转90°得到四边形A′B′C′D′，则点A的对应点A′的坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（2，1）
10．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，∠B＝45°，点E为CD上一点，连结AE，把AE绕点E逆时针旋转90°，点A恰好落在BC的中点F处，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．因式分解：a3﹣16a＝　 　 ．
12．一个不透明的袋中装有除颜色外都相同的三种球，红球、黄球、黑球的个数之比为5：3：1，从中任意摸出1个球是黄球的概率为 　 　 ．
13．化简：的结果为 　 　 ．
14．某学校广播站要新招1名广播员，甲、乙两名同学经过选拔进入复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，得分如表：
口语表达 写作能力
甲同学 80 90
乙同学 90 80
该学校规定口语表达按60%、写作能力按40%计入总成绩，根据总成绩从高到低择优录取．通过计算，被录取的同学是　 　 ．
15．在直角坐标系中，设二次函数y＝x2﹣2mx+n（m，n为实数），若点A（m﹣1，k1），点B（m+3，k2）都在函数y的图象上，则k1，k2之间满足的等量关系是 　 　 ．
16．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫作点P的“相伴点”．已知点A1的“相伴点”为A2，点A2的“相伴点”为A3，点A3的“相伴点”为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3， ，An．若点A1的坐标为（2，3），则点A2025的坐标为　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）解不等式组：．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在BD上，且DF＝BE，连接AE，CF，且AE∥CF．
（1）试说明△ABE≌△CDF；
（2）连接AF，CE，试判断AF与CE有怎样的数量关系，并说明理由．
20．（8分）某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题．
课题 探究物理实验装置中的几何测量问题
成员 组长：×××组员：×××，×××，×××
实验工具 测角仪，皮尺，摄像机等
方案一 方案二
测量方案示意图 （已知PC⊥AC） （已知PB⊥AC）
说明 点P为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处由静止开始沿斜面下滑，点A为小车从斜面到达水平面的位置，点C为木块的位置.
测量数据 AB＝4米，∠PBC＝40°，∠PAB＝15° AC＝5.9米，∠PCB＝40°，∠PAB＝22°.
请选择其中一种方案计算出摄像机机位P到小车行驶轴线AB的竖直距离．（结果精确到0.1米，参考数据tan40°≈0.84，tan15°≈0.27，tan22°≈0.40）
21．（8分）某校七年级计划开展“庆六一”趣味比赛，活动设置包粽子、缝沙包、做风筝和剪窗花四个项目，每名学生限选一项参与．为调查报名情况，现随机抽取了A，B两个班级，已知这两个班级人数相同，根据报名数据绘制了如下统计图．
（1）求A，B两个班级报名“做风筝”的学生共有多少人？
（2）本次参加比赛的七年级学生共有400人，根据统计信息，请估计七年级报名“做风筝”的人数．
22．（10分）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器体积V（单位：m3变化时，气体密度ρ（单位：kg/m3随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，其图象如图所示．
（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式；
（2）当V＝4m3时，求二氧化碳的密度ρ；
（3）当2≤ρ≤6时，求V的取值范围．
23．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a，b为常数）经过点A（1，0），B（4，3）．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）当6﹣t≤x≤t时，记函数的最大值为M，最小值为N．
①当t＝5时，求N的值．
②当t≥4时，求证：M﹣N≥4．
24．（12分）如图，⊙O是以AB为直径的圆，点C在⊙O上，CD切⊙O于点C，BD⊥CD于点D，连结BC．
（1）求证：∠ABC＝∠CBD．
（2）若．
①求BC的长度．
②如图，点P在半径AO上，连结CP并延长交⊙O于点Q，且，连结QB，求证：QB＝QC．中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省2025年中考数学猜题卷01
满分120分 时间120分钟
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图是湖州市某日的天气预报，该天最高气温比最低气温高（　　）
A．7℃ B．﹣70℃ C．3℃ D．﹣3℃
【分析】根据温差＝最高气温﹣最低气温，列式计算．
【解答】解：根据题意得：5﹣（﹣2）
＝5+2
＝7（℃）．
故选：A．
2．人工智能模型的参数量越大，理解能力越强．Deepseek V3﹣0324模型参数可达685000000000个，其中数685000000000用科学记数法表示为（　　）
A．6.85×1011 B．6.85×1010 C．68.5×1011 D．68.5×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：685000000000＝6.85×1011．
故选：A．
3．河南省图书馆是河南省最大的综合性图书馆，目前藏书1500多万册，书籍种类较多．该图书馆的一个装饰品是由几个几何体组成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（　　）
A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．长方体
【分析】根据题中所给几何体的三视图进行求解即可．
【解答】解：∵主视图、俯视图、左视图都是矩形，
∴这个几何体是长方体．
故选：D．
4．下列运算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．（﹣3a）2＝﹣9a2
C．（﹣a）6÷a3＝a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】利用合并同类项的法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运算性质和同底数幂的除法法则对每个选项进行逐一判断即可．
【解答】解：∵a2 a3＝a5，
∴A选项的运算不正确，不符合题意；
∵（﹣3a）2＝9a2，
∴BA选项的运算不正确，不符合题意；
∵（﹣a）6÷a3＝a6÷a3＝a3，
∴CA选项的运算正确，符合题意；
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴DA选项的运算不正确，不符合题意．
故选：C．
5．下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两组数据的方差分别是0.09、0.1，则乙组数据更稳定
B．某游戏的中奖率为，做5次这样的游戏一定会有1次中奖
C．检测神舟十六号载人飞船的零部件状况，适合采取抽样调查
D．“x＝4是不等式2（x﹣1）＞3的解”，这是一个必然事件
【分析】根据方差的意义，概率的意义，抽样调查与普查，不等式的解与必然事件的定义逐项分析判断
【解答】解：A．甲、乙两组数据的方差分别是0.09、0.1，甲组的方差更小，则甲组数据更稳定，故该选项不正确，不符合题意；
B．某游戏的中奖率为，做5次这样的游戏不一定会有1次中奖，故该选项不正确，不符合题意；
C．检测神舟十六号载人飞船的零部件状况，适合采取全面调查，故该选项不正确，不符合题意；
D．解：2（x﹣1）＞3，解得：，
∴x＝4是不等式2（x﹣1）＞3的解，这是一个必然事件，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
6．我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发布的数据，2024年5月新能源汽车销量约为95.5万辆，2024年7月新能源汽车销量约为99.1万辆，设新能源汽车销量的月平均增长率为x，则x满足的方程是（　　）
A．95.5（1+2x）＝99.1 B．95.5（1+2x）2＝99.1
C．95.5（1+x）2＝99.1 D．95.5（1+x2）＝99.1
【分析】利用2024年7月新能源汽车的销量＝2024年5月新能源汽车的销量×（1+新能源汽车销量的月平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：95.5（1+x）2＝99.1．
故选：C．
7．一把精美的扇子如图所示，扇子打开后扇形的圆心角为120°，且2OA＝AB＝6，这个环形扇面的面积是（　　）
A．21π B．23π C．24π D．25π
【分析】根据题意，用大扇形的面积减去小扇形的面积即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为2OA＝AB＝6，
所以OA＝3，
所以OB＝9，
则大扇形的面积为：；
小扇形的面积为：，
所以这个环形扇面的面积是27π﹣3π＝24π．
故选：C．
8．反比例函数的图象上有A（x1，m），B（x2，2m），C（x3，3m）三点，（　　）
A．若x1＞0，则x1﹣x2＞x2﹣x3
B．若x1＜0，则x1﹣x2＞x2﹣x3
C．若x1＞0，则|x1﹣x2|＜|x2﹣x3|
D．若x1＜0，则|x1﹣x2|＜|x2﹣x3|
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：分别将点A（x1，m），B（x2，2m），C（x3，3m）坐标代入解析式得：
x1，x2，x3，
∴x1﹣x2，x2﹣x3，
若x1＞0，则0，
∴x1﹣x2＞x2﹣x3＞0，
∴|x1﹣x2|＞|x2﹣x3|，
∴A正确，C错误；
若x1＜0，则0，
∴x1﹣x2＜x2﹣x3＜0，
∴|x1﹣x2|＞|x2﹣x3|，
∴B，D均错误．
故选：A．
9．如图，在正方形ABCD中，A（﹣1，﹣1），B（﹣3，0）．现将该正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O按逆时针方向旋转90°得到四边形A′B′C′D′，则点A的对应点A′的坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（2，1）
【分析】由B（﹣3，0），将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，可得A（﹣1，﹣1）平移后的对应点E（2，﹣1），再将E（2，﹣1）绕原点O按逆时针方向旋转90°即可得A'（1，2）．
【解答】解：如图：
∵B（﹣3，0），
∴将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，即是将正方形ABCD向右平移3个单位，
∴A（﹣1，﹣1）平移后的对应点E（2，﹣1），
∵将所得正方形EOGF绕原点O按逆时针方向旋转90°得到四边形A′B′C′D′，
∴旋转后E（2，﹣1）的对应点A'（1，2）；
故选：B．
10．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，∠B＝45°，点E为CD上一点，连结AE，把AE绕点E逆时针旋转90°，点A恰好落在BC的中点F处，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由平行线分线段成比例可求GF＝FH，BH＝GC，通过证明四边形AHGD是矩形，可得AD＝GH＝2GF，AH＝DG，由旋转的性质可得AE＝EF，∠AEF＝90°＝∠D＝∠EGF，由AAS可证△ADE≌△EGF，可得DE＝GF＝x，AD＝EG＝2x，由勾股定理可求AF的长，即可求解．
【解答】解：过点F作直线FH⊥AB于H，交直线DC于G，
∵AB∥CD，F是BC的中点，FH⊥AB，
∴1，FH⊥CD，
∴GF＝FH，BH＝GC，
∴GH＝2GF＝2HF，
∵∠B＝45°，FH⊥AB，
∴△FHB是等腰直角三角形，
∴BH＝FH，
∵FH⊥CD，∠D＝90°，FH⊥AB，
∴四边形AHGD是矩形，
∴AD＝GH＝2GF，AH＝DG，
∴设GF＝FH＝x＝BH，则AD＝GH＝2x，
∵把AE绕点E逆时针旋转90°，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°＝∠D＝∠EGF，
∴∠AED+∠CEF＝90°＝∠AED+∠DAE，
∴∠DAE＝∠CEF，
∴△ADE≌△EGF（AAS），
∴DE＝GF＝x，AD＝EG＝2x，
∴DG＝3x＝AH，
∴AB＝4x，
∵AEx，
∴AFAEx，
∴，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．因式分解：a3﹣16a＝　a（a+4）（a﹣4）　 ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣16）
＝a（a+4）（a﹣4），
故答案为：a（a+4）（a﹣4）
12．一个不透明的袋中装有除颜色外都相同的三种球，红球、黄球、黑球的个数之比为5：3：1，从中任意摸出1个球是黄球的概率为 　　 ．
【分析】用黄球所占的份数除以所有份数的和即可求得是红球的概率．
【解答】解：∵红球、黄球、黑球的个数之比为5：3：1，
∴从布袋里任意摸出一个球是黄球的概率是．
故答案为：．
13．化简：的结果为 　﹣3　 ．
【分析】按分式加减运算法则，得到，再化为最简形式，即可得到结果．
【解答】解：
＝﹣3．
故答案为：﹣3．
14．某学校广播站要新招1名广播员，甲、乙两名同学经过选拔进入复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，得分如表：
口语表达 写作能力
甲同学 80 90
乙同学 90 80
该学校规定口语表达按60%、写作能力按40%计入总成绩，根据总成绩从高到低择优录取．通过计算，被录取的同学是　乙同学　 ．
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可得出答案．
【解答】解：甲的总成绩为80×60%+90×40%﹣56+27＝84（分），
乙的总成绩为90×60%+80×40%＝63+24＝86（分），
∵84＜86，
∴乙同学将被录取．
故答案为：乙同学．
15．在直角坐标系中，设二次函数y＝x2﹣2mx+n（m，n为实数），若点A（m﹣1，k1），点B（m+3，k2）都在函数y的图象上，则k1，k2之间满足的等量关系是 　k2＝k1+8　 ．
【分析】点A（m﹣1，k1），点B（m+3，k2）都在函数y的图象上，求得k1、k2即可求得等量关系．
【解答】解：由题意得k1＝（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）+n＝﹣m2+n+1，k2＝（m+3）2﹣2m（m+3）+n＝﹣m2+n+9，
∴k1﹣k2＝﹣m2+n+1﹣（﹣m2+n+9）＝﹣8，
∴k2＝k1+8；
故答案为：k2＝k1+8．
16．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫作点P的“相伴点”．已知点A1的“相伴点”为A2，点A2的“相伴点”为A3，点A3的“相伴点”为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3， ，An．若点A1的坐标为（2，3），则点A2025的坐标为　（2，3）　 ．
【分析】根据题意，依次求出点A2，A3，A4，…，的坐标，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为点A1的坐标为（2，3），
则﹣3+1＝﹣2，2+1＝3，
所以点A2的坐标为（﹣2，3）．
同理可得，点A3的坐标为（﹣2，﹣1），点A4的坐标为（2，﹣1），点A5的坐标为（2，3），…，
由此可见，从点A1开始，这列点的坐标按（2，3），（﹣2，3），（﹣2，﹣1），（2，﹣1）循环．
又因为2025÷4＝506余1，
所以点A2025的坐标为（2，3）．
故答案为：（2，3）．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：．
【分析】先根据有理数的乘方、绝对值、零指数幂和算术平方根的运算法则计算，再加减运算即可．
【解答】解：
＝（﹣4+1）
＝﹣3+0
＝﹣3．
18．（8分）解不等式组：．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤﹣1．
∴原不等式组的解集是：﹣2＜x≤﹣1．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在BD上，且DF＝BE，连接AE，CF，且AE∥CF．
（1）试说明△ABE≌△CDF；
（2）连接AF，CE，试判断AF与CE有怎样的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEB＝∠CFD．∠ABE＝∠CDF．再根据ASA即可证明结论；
（2）由△ABE≌△CDF，得出AB＝CD．从而推出DE＝BF．再证明△ABF≌△CDE（SAS）．即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF．
∵AE∥CF，
∴∠AEB＝∠CFD．
在△ABE 和△CDF 中，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；
（2）解：AF＝CE，理由如下：
∵△ABE≌△CDF，
∴AB＝CD．
∵DF＝BE，
∴DF﹣EF＝BE﹣EF，
即DE＝BF．
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS）．
∴AF＝CE．
20．（8分）某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题．
课题 探究物理实验装置中的几何测量问题
成员 组长：×××组员：×××，×××，×××
实验工具 测角仪，皮尺，摄像机等
方案一 方案二
测量方案示意图 （已知PC⊥AC） （已知PB⊥AC）
说明 点P为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处由静止开始沿斜面下滑，点A为小车从斜面到达水平面的位置，点C为木块的位置.
测量数据 AB＝4米，∠PBC＝40°，∠PAB＝15° AC＝5.9米，∠PCB＝40°，∠PAB＝22°.
请选择其中一种方案计算出摄像机机位P到小车行驶轴线AB的竖直距离．（结果精确到0.1米，参考数据tan40°≈0.84，tan15°≈0.27，tan22°≈0.40）
【分析】先设BC＝x（米），则AC＝（x+4）米，在Rt△PAC和Rt△PBC中，分别将PC表示出来，即0.27（x+4）＝0.84x，求解计算即可．
【解答】解：选择方案一：设BC＝x（米），则AC＝（x+4）米，
在Rt△PAC中，PC＝AC tan15°≈0.27（x+4），
在Rt△PBC中，PC＝BC tan40°≈0.84x，
∴0.27（x+4）＝0.84x，
解得：x，
∴PC0.84≈1.6（米），
答：摄像机机位P到小车行驶轴线AB的竖直距离约为1.6米．
21．（8分）某校七年级计划开展“庆六一”趣味比赛，活动设置包粽子、缝沙包、做风筝和剪窗花四个项目，每名学生限选一项参与．为调查报名情况，现随机抽取了A，B两个班级，已知这两个班级人数相同，根据报名数据绘制了如下统计图．
（1）求A，B两个班级报名“做风筝”的学生共有多少人？
（2）本次参加比赛的七年级学生共有400人，根据统计信息，请估计七年级报名“做风筝”的人数．
【分析】（1）用总人数乘以B班报名“做风筝”的学生人数所占的百分比求出B班报名“做风筝”的学生人数，然后加上A班报名“做风筝”的学生人数即可求解；
（2）用400乘以样本中“做风筝”的人数所占的百分百求解即可．
【解答】解：（1）B班报名“做风筝”的学生人数为（14+8+18+10）×32%＝16（人）
共有16+18＝34（人）；
（2）2×（14+8+18+10）＝100人，
估计七年级报名“做风筝”的人数为（人）．
22．（10分）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器体积V（单位：m3变化时，气体密度ρ（单位：kg/m3随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，其图象如图所示．
（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式；
（2）当V＝4m3时，求二氧化碳的密度ρ；
（3）当2≤ρ≤6时，求V的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法求解；
（2）把V＝4m3代入（1）中的解析式求解；
（3）把ρ＝2和6代入解析式即可求出V的取值范围．
【解答】解：（1）设p，
由题意得：k＝pV＝5×2＝10，
∴密度ρ关于体积V的函数表达式为：p；
（2）当V＝4m3时，p2.5（kg/m3）；
（3）由图象知，当ρ＝2kg/m3时，V＝5m3．
把ρ＝6代入p得6，
∴Vm3．
∴V≤5．
23．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a，b为常数）经过点A（1，0），B（4，3）．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）当6﹣t≤x≤t时，记函数的最大值为M，最小值为N．
①当t＝5时，求N的值．
②当t≥4时，求证：M﹣N≥4．
【分析】（1）依据题意，把A（1，0）和B（4，3）代入y＝ax2+bx+3，从而，可得，进而可以判断得解；
（2）①依据题意，当t＝5时，1≤x≤5，又由（1）得：y＝x2﹣4x+3，可得抛物线的对称轴为直线x＝2，故可判断得解；
②依据题意可得，抛物线开口向上，抛物线的对称轴是直线x＝2，且抛物线上点离对称轴越近函数值越小，又当t≥4时，可得6﹣t≤2≤t，结合t﹣2﹣[2﹣（t﹣6）]＝2t﹣6＞0，则t﹣2＞2﹣（t﹣6），从而当x＝t时，M＝t2﹣4t+3，N＝﹣1．故可得M﹣N＝t2﹣4t+4＝（t﹣2）2≥0，从而当t≥2时，M﹣N随t的增大而增大，进而当t≥4时，M﹣N≥4，即可判断得解．
【解答】（1）解：由题意，把A（1，0）和B（4，3）代入y＝ax2+bx+3，
∴．
∴．
∴函数表达式为y＝x2﹣4x+3．
（2）①解：当t＝5时，1≤x≤5，
由（1）得：y＝x2﹣4x+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2．
∴当x＝2时，函数的最小值N＝﹣1．
②证明：由题意可得，抛物线开口向上，抛物线的对称轴是直线x＝2，且抛物线上点离对称轴越近函数值越小．
∵当t≥4时，
∴6﹣t≤2≤t，
又∵t﹣2﹣[2﹣（t﹣6）]＝2t﹣6＞0，
∴t﹣2＞2﹣（t﹣6），
∴当x＝t时，M＝t2﹣4t+3，N＝﹣1．
∴M﹣N＝t2﹣4t+4＝（t﹣2）2≥0．
∴当t≥2时，M﹣N随t的增大而增大，
∴当t≥4时，M﹣N≥4．
24．（12分）如图，⊙O是以AB为直径的圆，点C在⊙O上，CD切⊙O于点C，BD⊥CD于点D，连结BC．
（1）求证：∠ABC＝∠CBD．
（2）若．
①求BC的长度．
②如图，点P在半径AO上，连结CP并延长交⊙O于点Q，且，连结QB，求证：QB＝QC．
【分析】（1）连接CO，由切线性质得CO⊥CD，结合BD⊥CD证CO∥BD，得∠OCB＝∠CBD，再利用CO＝BO推出∠ABC＝∠OCB，从而证得∠ABC＝∠CBD．．
（2）①连接AC，利用两角相等证明△ABC与△CBD相似，再根据相似三角形对应边成比例求出BC长度．②法一，：作CM⊥AB、QN⊥AB，由相似三角形得线段比例关系，结合三角函数推出CA∥QH，根据AC⊥CB及QH过圆心证QH垂直平分CB，得QB＝QC．法二：在PB上取点构造相似三角形，推出CA∥QH，根据边的比例关系确定Q与O重合，再由AC⊥CB及QH过圆心证QH垂直平分CB，得QB＝QC．
【解答】（1）证明：⊙O是以AB为直径的圆，点C在⊙O上，CD切⊙O于点C，BD⊥CD于点D，如图1，连接CO．
∵CD切⊙O于点C，
∴CO⊥CD，
∵BD⊥CD，
∴CO∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD．
∵CO＝BO，
∴∠ABC＝∠OCB＝∠CBD．
（2）解：①连接AC．如图2，
∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∠ABC＝∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴，
∵AB＝10，，
∴BC＝8．
②法一：连接CA，延长QO交BC于H，作CM⊥AB交AB于M，QN⊥AB交AB于N，如图3，
∵CM⊥AB，QN⊥AB，
∴∠CMA＝∠QNO＝90°．
又∵∠CPM＝∠QPN，
∴△CPM∽△QPN，
∴，
设CM＝6x，则QN＝5x，
∵AB＝10，BC＝8，⊙O是以AB为直径的圆，
∴∠ACB＝90°，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：，
∴，
∴∠CAM＝∠QON，
∴CA∥QH．
∵AC⊥CB，QH过圆心O，
∴QH⊥CB且QH平分CB，
∴QB＝QC；
法二：连接CA，在PB上取一点G，使得，连接QG并延长交BC于H，
∵，∠CPA＝∠QPG，
∴△CPA∽△QPG，
∴∠CAP＝∠QGP，
∴CA∥QH．
∵AB＝10，BC＝8，⊙O是以AB为直径的圆，
∴∠ACB＝90°，
∴，
∵，
∴QG＝5＝QO，
∴Q点与O点重合，
∵AC⊥CB，QH过圆心O，
∴QH⊥CB且QH平分CB，
∴QB＝QC．

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