资源简介

/ 让教学更有效 高效备课 | 数学学科
考点分布 考查频率 命题趋势
考向1 多边形内角和 ★★★★ 题型结构与分值占比：常以 几何综合题 形式出现，集中在 解答题（占8-12分），少量出现在填空或选择中（2-4分），总分值占比约10%-15%。近年热门题型包括：动态折叠问题（如矩形折叠求线段长）；存在性探究题（如坐标系中特殊四边形的顶点判定）；实际情境应用题（如结合工程、建筑场景设计问题） 难度分层： 基础题（30%）：直接考查性质与判定，如菱形对角线互相垂直、矩形对角线相等。 中档题（50%）：需综合勾股定理、三角函数或全等三角形，例如折叠问题中求角度/边长。 压轴题（20%）：结合动点、函数或圆，要求构造辅助线或分类讨论，如探究旋转过程中四边形的形状变化。 命题趋势：强化综合应用：倾向于与相似三角形、坐标系、最值问题结合，突出逻辑推理和计算能力。创新情境设计：可能引入新定义四边形或跨学科背景（如物理中的力学结构），增强题目开放性。 建议备考时重点突破 动态几何 知识点融合题型，熟练掌握特殊平行四边形的判定链与性质转换关系。
考向2 平行四边形的性质与判定 ★★★★
考向3 矩形的性质与判定 ★★★★
考向4 萎形的性质与判定 ★★★★
考向5 正方形的性质 ★★★★
将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.
一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等
一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称.这个点叫做对称中心．
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2．性质：
（1）对边平行且相等；
（2）对角相等；邻角互补；
（3）对角线互相平分；
（4）中心对称图形.
3．面积：
4．判定：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．
（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
5.由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）四条边相等；
（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形.
1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2．性质：（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
（6）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线
4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
（一）三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
3.三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
4.三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
5.三角形的中位线不同于三角形的中线.
（二）顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
1.顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
2.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
3.顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
4.顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
例1.如果一个正多边形的内角和为1800°，那么这个正多边形的中心角度数是（　　）
A．10 B．12 C．18 D．30
【分析】设这个正多边形的边数为n，列方程求出n，再根据正多边形每条边所对的中心角都相等，列出算式进行计算即可．
【解答】解：设这个正多边形的边数为n，列方程得：
180（n﹣2）＝1800，
n﹣2＝10，
n＝12，
∴这个正多边形的中心角的度数为：360°÷12＝30°，
∴A，B，C选项不符合题意，D选项符合题意，
故选：D．
变式1.若一个多边形的每个内角都是相邻外角的2倍，则这个多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】设多边形的一个外角是x°，则相邻的内角是2x°，根据邻补角的定义得出x+2x＝180，即可求出x，再根据多边形内角和定理即可求出多边形的边数．
【解答】解：设多边形的一个外角是x°，则相邻的内角是2x°，
根据题意得x+2x＝180，
解得x＝60，
所以多边形的每个内角是120°，
设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2）×180°＝120°n，
解得n＝6，
故选：C．
变式2.青铜镜，古称“鉴”或“照子”．图2是从八角形铜镜（图1）底部抽象出的正八边形ABCDEFGH，连接HD，则∠HDE的度数为（　　）
A．60° B．62.5° C．65° D．67.5°
【分析】利用多边形的内角和及正多边形的性质求得∠CDE 的度数，再利用正八边形的对称性即可求得答案．
【解答】解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴，
∴由对称性可知，
故选：D．
变式3.如图是正n边形纸片的一部分，其中只有∠B，∠C和BC边是完整的，直线l与破损的边AB，CD相交．若α+β＝90°，则n的值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】先根据对顶角的性质和已知条件求出∠1+∠2，再根据四边形的内角和是360°和多边形的每个内角相等，求出∠B的度数，从而求出与∠B相邻的外角，最后根据正n边形的外角和是360°，求出n即可．
【解答】解：如图所示：
∵∠1＝β，∠2＝α，
∴∠1+∠2＝α+β＝90°，
∵多边形是正n边形，
∴∠B＝∠C，
∵四边形BCEF的内角和为（4﹣2）×180°＝360°，
∴∠1+∠2+∠B+∠C＝360°，
90°+2∠B＝360°，
2∠B＝270°，
∠B＝135°，
∴与∠B相邻的多边形的一个外角为180°﹣135°＝45°，
∵正n边形的外角和为360°，
∴n＝360°÷45°＝8，
故选：C．
变式4.有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（　　）
A．54° B．74° C．84° D．144°
【分析】根据正多边形的内角，可得∠ABE、∠E、∠CAB，根据四边形的内角和，可得答案．
【解答】解：正五边形的内角是∠ABC108°，
∵AB＝BC，
∴∠CAB＝36°，
正六边形的内角是∠ABE＝∠E120°，
∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB＝360°，
∴∠ADE＝360°﹣120°﹣120°﹣36°＝84°，
故选：C．
例1.如图，将两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起，转动其中一张，使重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（　　）
A．AB＝CD B．AD∥BC C．AB＝BC D．∠ABC＝∠ADC
【分析】根据题意证得四边形ABCD是平行四边形，再逐项判断即可．
【解答】解：∵将两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，
∴A、B、D一定成立，不符合题意；
∴AB不一定等于BC，与两张纸片的宽度有关，
故C不一定成立，符合题意；
故选：C．
变式1.如图，将△ABC沿着AB的方向平移得到△A'B'C'，其中A'C'与BC交于D，连接CC′，则下列结论一定成立的是（　　）
A．A′B＝CC′ B．∠A＝∠B' C．B′C′＝2BD D．∠B'＝∠BCC'
【分析】由将△ABC沿着AB的方向平移得到△A'B'C'，知BC＝B'C'，BC∥B'C'，可得四边形BCC'B'是平行四边形，故∠B'＝∠BCC'，可判断选项D正确．
【解答】解：∵将△ABC沿着AB的方向平移得到△A'B'C'，
∴BC＝B'C'，BC∥B'C'，
∴四边形BCC'B'是平行四边形，
∴∠B'＝∠BCC'，
故选：D．
变式2.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC⊥CD，若对角线AC的长为6，BD的长为10，则边CD的长为（　　）
A．8 B．6 C．5 D．4
【分析】由平行四边形的性质推出OCAC＝3，ODBD＝5，由勾股定理求出CD＝4．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OCAC，ODBD，
∵AC＝6，BD＝10，
∴OC＝3，OD＝5，
∵AC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∴CD4．
故选：D．
例2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，交AD于点F，交BC于点E．若AB＝3，AC＝4，AD＝5，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．1.5 B．3 C．6 D．4
【分析】先利用勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，再利用AAS定理证出△COE≌△AOF，根据全等三角 形的性质可得S△COE＝S△AOF，从而可得阴影部 分的面积等于S△BOC，然后根据平行四边形的性质求解即可得．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AD＝5，
∴BC＝AD＝5，AD∥BC，OC＝OA，，
∵AB＝3，AC＝4，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，
∴ AC＝6，
∴，
又∵AD∥BC，
∴∠OCE＝∠OAF，∠OEC＝∠OFA，
在△COE和△AOF中，
，
∴△COE≌△AOF（AAS），
∴S△COE＝S△AOF，
则图中阴影部分的面积是＝S△BOE+S△AOF＝S△BOE+S△COE＝S△BOC＝3，
故选：B．
变式1.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作直线EF分别交AD，BC于点E，F．若AB＝6，AC＝8，AD＝10，则图中的阴影部分面积为（　　）
A．6 B．8 C． D．12
【分析】先证明△AEO≌△CFO，可得出S阴影＝S△AEO+S△BOF＝S△CFO+S△BOF＝S△BOC设然后根据三角形中线的性质可得出根据勾股定理的逆定理可得出∠BAC＝90°，即可求解．
【解答】解：∵在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，
∴△AEO≌△CFO，
∴S△AEO＝S△CFO，
∴S阴影＝S△AEO+S△BOF＝S△CFO+S△BOF＝S△BOC，
∵AO＝CO，
∴，
∵AB＝6，AC＝8，AD＝BC＝10，
∴AB2+AC2＝100＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴，
故选：D．
变式2.如图，P为 ABCD的对角线BD上一点，过点P作AB，BC的平行线，分别交AD，BC，AB，CD于E，F，G，H四点，连结AP，FH．若△APE的面积为2.5，则△PFH的面积为（　　）
A．5 B．2.5 C．2.4 D．1.25
【分析】由平行四边形的性质得CD∥AB，AD∥BC，因为EF∥AB，GH∥BC，所以EF∥CD，GH∥AD，则四边形PFCH、四边形PGDE、四边形PEAG、四边形PGBF都是平行四边形，可证明△PFB≌△BGP，则S△PFB＝S△BGP，同理S△PHD＝S△DEP，S△CDB＝S△ABD，由S PFCH+S△PFB+SPHD＝S PEAG+S△BGP+S△DEP，得S PFCH＝S PEAG，则S△PFH＝S△APE＝2.5，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC，
∵EF∥AB，GH∥BC，
∴EF∥CD，GH∥AD，
∴四边形PFCH、四边形PGDE、四边形PEAG、四边形PGBF都是平行四边形，
∵PG＝BF，BG＝PF，PB＝BP，
∴△PFB≌△BGP（SSS），
∴S△PFB＝S△BGP，
同理S△PHD＝S△DEP，S△CDB＝S△ABD，
∴S PFCH+S△PFB+SPHD＝S PEAG+S△BGP+S△DEP，
∴S PFCH＝S PEAG，
∴S PFCHS PEAG，
∵S△PFH＝S△CHPS PFCH，S△APE＝S△PAGS PEAG，
∴S△PFH＝S△APE＝2.5，
故选：B．
例3.如图， ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，BE＝DF，连接AF，EC．
（1）求证：△AFD≌△CEB；
（2）连接AC，若AC＝BC，点E为AB的中点，∠B＝60°，BC＝6，求AF的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD＝CB，∠D＝∠B，而DF＝BE，即可根据“SAS”证明△AFD≌△CEB；
（2）连接AC，由AC＝BC，∠B＝60°，证明△ABC是等边三角形，则AB＝BC＝6，而点E为AB的中点，所以CE⊥AB，BE＝AE＝3，则CE3，由全等三角形的性质得AF＝CE＝3．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，∠D＝∠B，
在△AFD和△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB（SAS）．
（2）解：连接AC，
∵AC＝BC，∠B＝60°，BC＝6，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝6，
∵点E为AB的中点，
∴CE⊥AB，BE＝AEAB＝3，
∴∠BEC＝90°，
∴CE3，
由（1）得△AFD≌△CEB，
∴AF＝CE＝3，
∴AF的长是3．
变式1.如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，点E为CD中点，连接OE．
（1）求证：；
（2）若∠BAC＝90°，，AB＝2，求OE的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出OB＝OD，可推出OE是三角形DBC的中位线，即可得出结论；
（2）根据，AB＝2，推出BC的长，再结合（1）的结论即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
又∵点E是CD的中点，
∴OE是三角形DBC的中位线，
∴；
（2）解：∵∠BAC＝90°，，AB＝2，
∴，
∴BC，
∴OE．
变式2.如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，E，F分别为OB，OD的中点，连接AE，CF．求证：AE＝CF．
【分析】由平行四边形的性质推出OA＝OC，OB＝OD，由线段的中点定义得到OE＝OF，即可证明△AOE≌△COF（SAS），推出AE＝CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵E，F分别为OB，OD的中点，
∴OEOB，OFOD，
∴OE＝OF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．
例4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．
求证：四边形ABED是平行四边形．
【分析】由等腰三角形的性质得∠DEC＝∠C，再证∠B＝∠DEC，则AB∥DE，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
变式1.如图，点A、B、C、D在一条直线上，AE∥DF且AE＝DF，AB＝CD．求证：
（1）△AEB≌△DFC；
（2）四边形BECF是平行四边形．
【分析】（1）利用SAS证明三角形全等即可；
（2）证明EB＝CF，EB∥CF即可．
【解答】证明：（1）∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
在△AEB和△DFC中，
，
∴△AEB≌△DFC（SAS）；
（2）∵△AEB≌△DFC，
∴EB＝CF．∠ABE＝∠DCF，
∴∠EBC＝∠FCB，
∴EB∥CF，
∴四边形BECF是平行四边形．
变式2.如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AE平分∠BAD交BC于点F，交DC延长线于点E，AB＝BF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）作FG∥AB交AD于G，连接BG交AE于点O．若AB＝4，AD＝6，AE＝9，求BG的长．
【分析】（1）由AE平分∠BAD得∠BAF＝∠DAE，由AB＝BF得∠BAF＝∠BFA，则∠DAE＝∠BFA，所以AD∥BC，而AB∥CD，则四边形ABCD是平行四边形；
（2）由∠E＝∠BAF＝∠DAE，得ED＝AD＝6，由CD＝AB＝4，FC∥AD，得，则AFAE＝6，由FG∥AB，AG∥BF，且AB＝BF，证明四边形ABFG是菱形，则AF⊥BG，OA＝OFAF＝3，OB＝OG，求得OB，则BG＝2OB＝2．
【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAD交BC于点F，交DC延长线于点E，
∴∠BAF＝∠DAE，
∵AB＝BF，
∴∠BAF＝∠BFA，
∴∠DAE＝∠BFA，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）解：∵∠E＝∠BAF＝∠DAE，
∴ED＝AD＝6，
∵CD＝AB＝4，
∵FC∥AD，AE＝9，
∴，
∴AFAE9＝6，
∵FG∥AB，AG∥BF，
∴四边形ABFG是平行四边形，
∵AB＝BF，
∴四边形ABFG是菱形，
∴AF⊥BG，OA＝OFAF＝3，OB＝OG，
∴∠AOB＝90°，
∴OB，
∴BG＝2OB＝2，
∴BG的长是2．
例5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝16cm，∠ABC的平分线交AD于点F，点E是BC的中点，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以每秒2cm的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（　　）
A．2s B．5s C．2s或 D．5s或
【分析】由平行四边形ABCD，BF是∠ABC的平分线，可得∠AFB＝∠CBF＝∠ABF，则AF＝AB＝6，由题意得，点P运动到F时间为6÷1＝6s，点Q运动到E时间为8÷2＝4s，当0≤t＜4时，AP＝t，CQ＝2t，则PF＝6﹣t，QE＝8﹣2t，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，PF＝QE，即6﹣t＝8﹣2t，计算求解即可；当4≤t＜6时，AP＝t，CQ＝2t，则PF＝6﹣t，QE＝2t﹣8，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，PF＝QE，即6﹣t＝2t﹣8，计算求解即可．
【解答】解：∵平行四边形ABCD，BF是∠ABC的平分线，
∴∠AFB＝∠CBF＝∠ABF，
∴AF＝AB＝6，
∵点E是BC的中点，
∴，
∴点P运动到F时间为6÷1＝6s，点Q运动到E时间为8÷2＝4s，
当0≤t＜4时，AP＝t，CQ＝2t，则PF＝6﹣t，QE＝8﹣2t，
当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，PF＝QE，
∴6﹣t＝8﹣2t，
解得，t＝2，
当4≤t＜6时，AP＝t，CQ＝2t，则PF＝6﹣t，QE＝2t﹣8，
当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，PF＝QE，
∴6﹣t＝2t﹣8，
解得，，
综上所述，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为2s或，
故选：C．
变式1.在四边形ABCD中，AD＝6cm，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 　s或4s　 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】分两种情形，由平行四边形的判定列出方程，即可解决问题．
【解答】解：分两种情况：
①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝4﹣2t，
解得：t；
②当F在线段CM上，即2≤t≤5，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t﹣4，
解得：t＝4，
综上所述，ts或4s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：s或4s．
变式2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为 　2或3.5　 ．
【分析】由AD∥BC，则PD＝QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，
①当Q运动到E和C之间时，则得：9﹣3t＝5﹣t，解方程即可，
②当Q运动到E和B之间时，则得：3t﹣9＝5﹣t，解方程即可．
【解答】解：∵E是BC的中点，
∴BE＝CEBC＝9，
∵AD∥BC，
∴PD＝QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，
①当Q运动到E和C之间时，
则得：9﹣3t＝5﹣t，
解得：t＝2，
②当Q运动到E和B之间时，
则得：3t﹣9＝5﹣t，
解得：t＝3.5；
∴当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：2或3.5．
例1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）
A．OA⊥OB B．∠BAC＝∠ACB C．OA＝OB D．AD＝AB
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，∠ADC＝90°，AD＝BC，AD∥BC，OA，OB，
∴OA⊥OB，∠BAC＝∠ACB不一定成立，OA＝OB，一定成立，AB＝AD一定不成立，
故选：C．
变式1.如图．∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE⊥BD；②∠ADB＝30°；③DFAF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．其中，判断正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【分析】由矩形得EB＝ED＝EA，∠BAD为直角，再由等腰三角形的三线合一性质可判断①的正误；根据矩形的性质可得∠ADB＝22.5°，便可判断②的正误；连接BF，由线段的垂直平分线得BF＝DF，证明△AOF≌△ABD，得AF＝AB，进而便可判断③的正误；由直角三角形斜边上的中线定理得AG＝OG，进而求得∠AGE＝45°，由矩形性质得ED＝EA，进而得∠EAD＝22.5°，再得∠EAG＝90°，便可判断④的正误．
【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴EB＝ED，
∵BO＝DO，
∴OE⊥BD 故①正确；
②∵∠BOD＝45°，BO＝DO，
∴∠ABD（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠ADB＝90°﹣67.5°＝22.5°，故②错误；
③∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OAD＝∠BAD＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵OB＝OD，BE＝DE，
∴OE⊥BD，
∴∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠BOE＝∠BDA，
∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°，
∴∠ADO＝45°，
∴AO＝AD，
∴△AOF≌△ADB（ASA），
∴OF＝BD，
∴AF＝AB，
连接BF，如图1，
∴BFAF，
∵BE＝DE，OE⊥BD，
∴DF＝BF，
∴DFAF，故③错误；
④根据题意作出图形，如图2，
∵G是OF的中点，∠OAF＝90°，
∴AG＝OG，
∴∠AOG＝∠OAG，
∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD，
∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°，
∴∠FAG＝67.5°，∠ADB＝∠AOF＝22.5°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°，
∴∠EAG＝90°，
∵∠AGE＝∠AOG+∠OAG＝45°，
∴∠AEG＝45°，
∴AE＝AG，
∴△AEG为等腰直角三角形，故④正确；
∴判断正确的是①④．
故选：D．
变式2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，，点E是边AD的中点，点N在边BC上，且，连结EN交AC于点H，连结DH，若OH，则DH＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据矩形的性质，设NC＝x，得BC＝AD＝4x，所以AE＝DE＝CD＝2x，根据勾股定理得AC＝2x，然后证明△CNH∽△AEH，对应边成比例求出x＝3，得AE＝DE＝CD＝2x＝6，延长DH交BC于点G，证明△GNH∽△DEH，对应边成比例，再证明△CDG是等腰直角三角形，进而可以解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，OA＝OC，
∵，点E是边AD的中点，
∴AE＝DE＝CD，
∵，
设NC＝x，
∴BC＝AD＝4x，
∴AE＝DE＝CD＝2x，
∴AC2x，
∴OA＝OCACx，
∴AH＝OA+OHx，CH＝OC﹣OHx，
∵AD∥BC，
∴△CNH∽△AEH，
∴，
∴AH＝2CH，
∴x2（x），
∴x＝3，
∴AE＝DE＝CD＝2x＝6，
如图，延长DH交BC于点G，
∵AD∥BC，
∴△GNH∽△DEH，
∴，
∴GNDE＝x＝3，
∴CG＝CN+GN＝6，
∴CG＝CD＝6，
∴△CDG是等腰直角三角形，
∴DGCD＝6，
∵，
∴，
∴DHDG＝4，
故选：A．
例2.如图，在矩形ABCD和矩形ECGF中，点B、C、G在一条直线上，且点C是BG的中点，点E在CD上，连接AG，点E恰好在AG上，求证：AE＝GE．
【解答】证明：∵四边形ABCD和四边形ECGF是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝90°＝∠ECG，
∵点B、C、G在一条直线上，且点C是BG的中点，
∴CG＝BC＝AD，
又∵点E恰好在AG上，
∴∠AED＝∠CEG，
在△AED和△GEC中，
，
∴△AED≌△GEC（AAS），
∴AE＝GE．
变式1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）连接OE，如果AB＝1，∠ACD＝60°，求OE的长．
【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质求解即可；
（2）过点O作OF⊥AD于点F，根据矩形的性质，得到F为AD的中点，由（1）知四边形BCED是平行四边形，则，由三角形中位线定理可得，再利用勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，∠ADC＝90°，BC∥DE，
∵CE∥BD，
∴四边形BCED是平行四边形．
（2）解：过点O作OF⊥AD于点F，则F为AD的中点．
∵四边形ABCD是矩形，AB＝1，∠ACD＝60°，
∴AB＝CD＝1，，
∴AD＝2，
由（1）知四边形BCED是平行四边形，
∴，
∵OB＝OD，OF⊥AD，
∴，．
在Rt△OEF中，．
变式2.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，E为OB的中点，连接AE，过点O作OF∥CD，交AE延长线于点F，AF交BC于点G，连接BF．
（1）求证：四边形OABF是平行四边形；
（2）若OA＝AB＝6，求FG的长．
【分析】（1）根据矩形的性质证明△ABE≌△FOE（ASA），得AB＝OF，进而可以证明四边形OABF是平行四边形；
（2）结合（1）证明四边形OABF是菱形，得OB⊥AF，AE＝EF，再证明△AOB是等边三角形，利用等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∵OF∥CD，
∴OF∥AB，
∴∠ABE＝∠FOE，
∵E是OB的中点，
∴OE＝BE，
在△ABE和△FOE中，
，
∴△ABE≌△FOE（ASA），
∴AB＝OF，
∵OF∥AB，
∴四边形OABF是平行四边形；
（2）解：∵四边形OABF是平行四边形，OA＝AB，∴四边形OABF是菱形，∴OB⊥AF，AE＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝AB＝6，
∴△AOB是等边三角形，
∴OE＝BE＝3，∠ABO＝60°，
∴AEBE＝3，∴EF＝3，
∵∠ABC＝90°，∠ABO＝60°，
∴∠EBG＝30°，
∴EGBE，
∴FG＝EF﹣EG＝2．
例3.如图，在 ABCD中，对角线AC⊥BC，延长BC至点E，使得CE＝BC，连接DE．求证：四边形ACED是矩形．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，可证明四边形ACED是平行四边形，由AC⊥BC得到∠ACE＝90°，即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，延长BC至点E，使得CE＝BC，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴AD＝CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵对角线AC⊥BC，
∴∠ACE＝90°，
∴四边形ACED是矩形．
变式1.如图，在 ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝DB，求证：四边形DFBE是矩形．
【分析】（1）首先根据角平分线性质与平行线性质证明∠ABD＝∠CDB，再根据平行四边形性质证出CD＝AB，∠A＝∠C，可利用ASA定理判定△ABE≌△CDF；
（2）根据全等得出AE＝CF，根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD＝BC，推出DE∥BF，DE＝BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB＝90°，根据矩形的判定推出即可．
【解答】证明：（1）∵∠ABD的平分线BE交AD于点E，
∴∠ABE∠ABD，
∵∠CDB的平分线DF交BC于点F，
∴∠CDF∠CDB，
∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴∠CDF＝∠ABE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，∠A＝∠C，
即，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴DE∥BF，DE＝BF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵AB＝DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB＝90°．
∴平行四边形DFBE是矩形．
变式2.如图，在 ABCD中，点E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：AD＝CF；
（2）连接AC，DF，若 　①或③　 ，求证四边形ACFD是矩形．请从“①CD＝AF；②CD⊥AF；③∠DAC＝∠ACF”这三组条件中选一组作为已知条件，填在横线上（只填序号），并证明．
【分析】（1）由AAS可证△ADE≌△FCE，可得AD＝CF；
（2）首先证明四边形ADFC是平行四边形，由矩形的判定依次判断可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠CFA，∠ADC＝∠FCD，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AD＝CF；
（2）解：∵AD＝CF，AD∥CF，
∴四边形ADFC是平行四边形，
若CD＝AF时，则平行四边形ADFC是矩形，
若∠DAC＝∠ACF时，∵AD∥CF，
∴∠DAC+∠ACF＝180°，
∴∠DAC＝∠ACF＝90°，
∴平行四边形ADFC是矩形，
故答案为：①或③．
例1.菱形ABCD的边长为2，∠B＝60°，则它的面积是（　　）
A． B． C． D．
【分析】连接AC，作AF⊥BC于点F，由菱形的性质得AB＝BC＝2，而∠B＝60°，则△ABC是等边三角形，所以BF＝CFBC＝1，求得AF，则S菱形ABCD＝2，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接AC，作AF⊥BC于点F，则∠AFB＝90°，
∵四边形ABCD是边长为2的菱形，
∴AB＝BC＝2，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BF＝CFBC＝1，
∴AF，
∴S菱形ABCD＝BC AF＝2，
故选：C．
变式1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC＝24，BD＝10，点M、Q分别是AB、AO的中点，连接MQ，过点M作MP⊥OB于点P，连接QP，则PQ的长为（　　）
A．6.5 B．10 C．12 D．5
【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，AC⊥BD，AOAC＝12，DOBD＝5，BOBD＝5，求出AB13，由M是AB的中点得到AM＝BM，由MP⊥OB得到MP∥AO，得出BP＝OP，得到PQ是△OAB的中位线，继而得到PQAB＝6.5，即可得到答案．
【解答】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC＝24，BD＝10，
∴AC⊥BD，AC⊥BD，AOAC＝12，DOBD＝5，BOBD＝5，
在直角三角形AOB中，由勾股定理得：AB13，
∵M是AB的中点，
∴AM＝BM，
∵MP⊥OB，
∴MP∥AO，
∴1，
∴BP＝OP，
∴点P是OB的中点，
∵Q是AO的中点，
∴PQ是△OAB的中位线，
∴PQAB＝6.5，
故选：A．
变式2.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝66°，对角线AC，BD交于点O，E为CD的中点，连接OE，则∠AOE的度数为（　　）
A．114° B．120° C．123° D．147°
【分析】由菱形的性质求得∠DBC＝33°，∠AOD＝90°，根据三角形中位线定理得到OE∥BC，求得∠DOE＝33°，据此求解即可．
【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝66°，
∴，∠AOD＝90°，O为BD的中点，
∵E为CD的中点，
∴OE是△DBC的中位线，
∴OE∥BC，
∴∠DOE＝∠DBC＝33°，
∴∠AOE＝90°+33°＝123°，
故选：C．
例2.如图，在 ABCD中，AC，BD为两条对角线．添加下列一个条件，仍不能判定 ABCD是菱形，这个条件是（　　）
A．AC⊥BD B．AB⊥BC C．AB＝BC D．∠BAC＝∠DAC
【分析】根据菱形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，故不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥BC，
∴ ABCD是矩形，故符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴ ABCD是菱形，故不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴ ABCD是菱形，故不符合题意；
故选：B．
变式1.已知，如图：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是边BC延长线上一点，联结AE，交BD于点F，交CD于点G．
（1）求证：AF2＝FG FE；
（2）联结CF，如果∠DAE＝∠FCD，求证：四边形ABCD是菱形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）如图，根据平行四边形的性质得到AB∥CD，求得∠DAE＝∠E，得到∠E＝∠FCD，求得CF2＝FG FE，由（1）知，AF2＝FG FE，得到AF＝CF，根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD，根据菱形的判定定理得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABF∽△GDF，
∴，
∵AD∥BE，
∴△EBF∽△ADF，
∴，
∴，
∴AF2＝FG FE；
（2）如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DAE＝∠E，
∵∠DAE＝∠FCD，
∴∠E＝∠FCD，
∵∠CFG＝∠EFC，
∴△CFG∽△EFC，
∴，
∴CF2＝FG FE，
由（1）知，AF2＝FG FE，
∴CF2＝AF2，
∴AF＝CF，
∵AO＝CO，
∴AC⊥BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
变式2.如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求线段DP的长．
【分析】（1）根据平行四边形和角平分线的性质可得AB＝BE，AB＝AF，AF＝BE，从而证明四边形ABEF是菱形；
（2）由菱形的性质得出AE⊥BF，得到∠ABF＝30°，∠BAP＝∠FAP＝60°从而得出AB＝AE＝8，AP＝4，过点P作PM⊥AD于M，得到PM＝2，AM＝2，从而得到DM＝10，由勾股定理求出PD、PB的长，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE＝∠AEB．
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE．
∴∠BAE＝∠AEB．
∴AB＝BE．
同理：AB＝AF．
∴AF＝BE．
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：∵四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABF＝30°，∠BAP＝∠FAP＝60°，△ABE为等边三角形，
∴AB＝AE＝8，
∵AB＝8，
∴AP＝4，
过点P作PM⊥AD于M，如图所示：
∴PM＝2，AM＝2，
∵AD＝12，
∴DM＝10，
∴PD4．
例1.如图，正方形ABCD的周长是16，点E是AB的中点，以BE为边在AB右侧作等边△BEF，连接DF，则tan∠CDF的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】过点F作GH∥AD，交AB于点G，交CD于点H，通过证明四边形ADHG是矩形，得到∠FGE＝∠FHD＝90°，GH＝AD＝4，DH＝AG，再利用等边三角形的性质和三角函数的知识得到，，最后在Rt△HDF中利用正切的定义即可求解．
【解答】解：正方形ABCD的周长是16，点E是AB的中点，如图，过点F作GH∥AD，交AB于点G，交CD于点H，
∴AB＝AD＝16÷4＝4，AB∥CD，∠A＝90°，
∴，
∵GH∥AD，AB∥CD，∠A＝90°，
∴四边形ADHG是矩形，
∴∠FGE＝∠FHD＝90°，GH＝AD＝4，DH＝AG，
∵△BEF是等边三角形，
∴EF＝BE＝2，∠GEF＝60°，
∴，，
∴，，
∴，AG＝AE+EG＝2+1＝3，
∴DH＝AG＝3，
在Rt△HDF中，，
∴．
故选：C．
变式1.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点B的坐标为，则顶点C的坐标为（　　）
A． B．（﹣4，﹣4）
C． D．
【分析】连接AC交OB于点D，根据正方形性质及顶点B（，0）得OD＝CDOB，再根据点C在第四象限即可得出点C的坐标．
【解答】解：连接AC交OB于点D，如图所示：
∵点B的坐标为（，0），
∴OB，
∵四边形OABC是正方形，
∴OD＝BD＝AD＝CD，AC＝OB，
∴OB＝AC＝4，
∴OD＝CDOB，
∵点C在第四象限，
∴点C的坐标为．
故选：C．
变式2.如图，正方形ABCD中，分别取AD和CD边的中点E，F，连接BE，AF相交于点G，连接CG，若∠AEB＝α，则∠BCG的度数一定为（　　）
A．α B．2α C．90°﹣α D．180°﹣2α
【分析】延长AF交BC的延长线于H，先证明△ABE和△DAF全等得∠ABE＝∠1，进而得∠BGA＝∠BGH＝90°，再证明△ADF和△HCF全等得AD＝CH，由此可得CG＝BC＝CH，由此即可得出答案．
【解答】解：延长AF交BC的延长线于H，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，AD∥BC，
∴∠D＝∠FCH＝90°，∠EBC＝∠AEB＝α（两直线平行，内错角相等），
∵点E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝DE＝DF＝CF，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠1，
∵∠1+∠2＝∠BAD＝90°，
∴∠ABE+∠2＝90°（等量代换），
∴∠BGA＝90°，
∴∠BGH＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠H（两直线平行，内错角相等），
在△ADF和△HCF中，
，
∴△ADF≌△HCF（AAS），
∴AD＝CH＝BC，
即点C是Rt△BGH斜边上的中点，
∴CG＝CB，
∴∠CGB＝∠GBC＝α（等边对等角），
∴∠BCG＝180°﹣∠CGB﹣∠GBC＝180°﹣2α．
故选：D．
变式3.边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且BE＝CF，AE与BF相交于点G，当CG长最小时，BE的长是（　　）
A．2 B． C． D．
【分析】根据SAS证明△ABE≌△BCF得∠AGB＝90°，取AB的中点G，连接HG，CG，首先证明G点的运动轨迹为以AB为直径，AB中点为圆心的圆，当C，G，H共线时，CG的值最小．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠ABF+∠CBF＝90°，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∴∠AGB＝90°，
取AB的中点H，连接GH，CG．
∵A、B为定点，
∴G点的运动轨迹为以AB为直径，AB中点H为圆心的圆，当C，G，H共线时，CG的值最小，
∵AB＝BC＝4，
∴BH＝GH2，
由勾股定理得，CH2，
∴CG＝CH﹣GH＝22，
∵GH＝BH，
∴∠HGB＝∠HBG，
∵CD∥AB，
∴∠CFG＝∠HBG，
∵∠CGF＝∠HBG，
∴∠CFG＝∠CGF，
∴CF＝CG＝22，
∵BE＝CF，
∴BE＝22．
故选：C．
例2.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC与BD互相平分于点O．要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是 　AB＝BC（答案不唯一）　 （只填一个答案即可）．
【分析】由平行四边形的判定可证四边形ABCD是平行四边形，由∠ABC＝90°，可证平行是四边形ABCD是矩形，由有一对邻边相等的矩形是正方形可得结论．
【解答】解：添加AB＝BC，理由如下：
∵AC与BD互相平分于点O，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行是四边形ABCD是矩形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：AB＝BC（答案不唯一）．
变式1.如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，求证：四边形OGCF是正方形．
【分析】根据有三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形OGCF是矩形，根据角平分线的性质，可得OH与OF，OH与OG的关系，根据邻边相等的矩形是正方形，可得答案．
【解答】证明：如图，作OH⊥AB与H点，
∵OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，
∴∠OGC＝∠OFC＝90°．
∵∠C＝90°，
∴四边形OGCF是矩形．
∵AD平分∠BAC，
∴OH＝OF．
∵BE平分∠ABC，
∴OH＝OG，
∴OF＝OG，
∴四边形OGCF是正方形．
变式2.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：线段CE、CG、BC之间的数量关系？并说明理由．
【分析】（1）过点E作EM⊥BC于M点，作EN⊥CD于N点，得到EN＝EM，然后判断∠DEN＝∠FEM，得到△DEM≌△FEM，推出DE＝EF，即可证明；
（2）根据正方形的性质，利用SAS证明△ADE≌△CDG，推出CG＝AE，根据勾股定理，在Rt△ABC中，，则．
【解答】（1）证明：如图所示，过点E作EM⊥BC于M点，作EN⊥CD于N点，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∴EM＝EN，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEF＝90°，
∴∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形．
（2）解：，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG．
在Rt△ABC中，，
∴．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 高效备课 | 数学学科
考点分布 考查频率 命题趋势
考向1 多边形内角和 ★★★★ 题型结构与分值占比：常以 几何综合题 形式出现，集中在 解答题（占8-12分），少量出现在填空或选择中（2-4分），总分值占比约10%-15%。近年热门题型包括：动态折叠问题（如矩形折叠求线段长）；存在性探究题（如坐标系中特殊四边形的顶点判定）；实际情境应用题（如结合工程、建筑场景设计问题） 难度分层： 基础题（30%）：直接考查性质与判定，如菱形对角线互相垂直、矩形对角线相等。 中档题（50%）：需综合勾股定理、三角函数或全等三角形，例如折叠问题中求角度/边长。 压轴题（20%）：结合动点、函数或圆，要求构造辅助线或分类讨论，如探究旋转过程中四边形的形状变化。 命题趋势：强化综合应用：倾向于与相似三角形、坐标系、最值问题结合，突出逻辑推理和计算能力。创新情境设计：可能引入新定义四边形或跨学科背景（如物理中的力学结构），增强题目开放性。 建议备考时重点突破 动态几何 知识点融合题型，熟练掌握特殊平行四边形的判定链与性质转换关系。
考向2 平行四边形的性质与判定 ★★★★
考向3 矩形的性质与判定 ★★★★
考向4 萎形的性质与判定 ★★★★
考向5 正方形的性质 ★★★★
将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.
一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等
一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称.这个点叫做对称中心．
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2．性质：
（1）对边平行且相等；
（2）对角相等；邻角互补；
（3）对角线互相平分；
（4）中心对称图形.
3．面积：
4．判定：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．
（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
5.由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）四条边相等；
（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形.
1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2．性质：（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
（6）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线
4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
（一）三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
3.三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
4.三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
5.三角形的中位线不同于三角形的中线.
（二）顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
1.顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
2.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
3.顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
4.顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
例1.如果一个正多边形的内角和为1800°，那么这个正多边形的中心角度数是（　　）
A．10 B．12 C．18 D．30
变式1.若一个多边形的每个内角都是相邻外角的2倍，则这个多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
变式2.青铜镜，古称“鉴”或“照子”．图2是从八角形铜镜（图1）底部抽象出的正八边形ABCDEFGH，连接HD，则∠HDE的度数为（　　）
A．60° B．62.5° C．65° D．67.5°
变式3.如图是正n边形纸片的一部分，其中只有∠B，∠C和BC边是完整的，直线l与破损的边AB，CD相交．若α+β＝90°，则n的值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
变式4.有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（　　）
A．54° B．74° C．84° D．144°
例1.如图，将两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起，转动其中一张，使重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（　　）
A．AB＝CD B．AD∥BC C．AB＝BC D．∠ABC＝∠ADC
变式1.如图，将△ABC沿着AB的方向平移得到△A'B'C'，其中A'C'与BC交于D，连接CC′，则下列结论一定成立的是（　　）
A．A′B＝CC′ B．∠A＝∠B' C．B′C′＝2BD D．∠B'＝∠BCC'
变式2.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC⊥CD，若对角线AC的长为6，BD的长为10，则边CD的长为（　　）
A．8 B．6 C．5 D．4
例2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，交AD于点F，交BC于点E．若AB＝3，AC＝4，AD＝5，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．1.5 B．3 C．6 D．4
变式1.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作直线EF分别交AD，BC于点E，F．若AB＝6，AC＝8，AD＝10，则图中的阴影部分面积为（　　）
A．6 B．8 C． D．12
变式2.如图，P为 ABCD的对角线BD上一点，过点P作AB，BC的平行线，分别交AD，BC，AB，CD于E，F，G，H四点，连结AP，FH．若△APE的面积为2.5，则△PFH的面积为（　　）
A．5 B．2.5 C．2.4 D．1.25
例3.如图， ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，BE＝DF，连接AF，EC．
（1）求证：△AFD≌△CEB；
（2）连接AC，若AC＝BC，点E为AB的中点，∠B＝60°，BC＝6，求AF的长．
变式1.如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，点E为CD中点，连接OE．
（1）求证：；
（2）若∠BAC＝90°，，AB＝2，求OE的长．
变式2.如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，E，F分别为OB，OD的中点，连接AE，CF．求证：AE＝CF．
例4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．
求证：四边形ABED是平行四边形．
变式1.如图，点A、B、C、D在一条直线上，AE∥DF且AE＝DF，AB＝CD．求证：
（1）△AEB≌△DFC；
（2）四边形BECF是平行四边形．
变式2.如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AE平分∠BAD交BC于点F，交DC延长线于点E，AB＝BF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）作FG∥AB交AD于G，连接BG交AE于点O．若AB＝4，AD＝6，AE＝9，求BG的长．
例5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝16cm，∠ABC的平分线交AD于点F，点E是BC的中点，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以每秒2cm的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（　　）
A．2s B．5s C．2s或 D．5s或
变式1.在四边形ABCD中，AD＝6cm，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 　 　 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
变式2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为 　 　 ．
例1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）
A．OA⊥OB B．∠BAC＝∠ACB C．OA＝OB D．AD＝AB
变式1.如图．∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE⊥BD；②∠ADB＝30°；③DFAF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．其中，判断正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
变式2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，，点E是边AD的中点，点N在边BC上，且，连结EN交AC于点H，连结DH，若OH，则DH＝（　　）
A． B． C． D．
例2.如图，在矩形ABCD和矩形ECGF中，点B、C、G在一条直线上，且点C是BG的中点，点E在CD上，连接AG，点E恰好在AG上，求证：AE＝GE．
变式1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）连接OE，如果AB＝1，∠ACD＝60°，求OE的长．
变式2.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，E为OB的中点，连接AE，过点O作OF∥CD，交AE延长线于点F，AF交BC于点G，连接BF．
（1）求证：四边形OABF是平行四边形；
（2）若OA＝AB＝6，求FG的长．
例3.如图，在 ABCD中，对角线AC⊥BC，延长BC至点E，使得CE＝BC，连接DE．求证：四边形ACED是矩形．
变式1.如图，在 ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝DB，求证：四边形DFBE是矩形．
变式2.如图，在 ABCD中，点E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：AD＝CF；
（2）连接AC，DF，若 　 　 ，求证四边形ACFD是矩形．请从“①CD＝AF；②CD⊥AF；③∠DAC＝∠ACF”这三组条件中选一组作为已知条件，填在横线上（只填序号），并证明．
例1.菱形ABCD的边长为2，∠B＝60°，则它的面积是（　　）
A． B． C． D．
变式1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC＝24，BD＝10，点M、Q分别是AB、AO的中点，连接MQ，过点M作MP⊥OB于点P，连接QP，则PQ的长为（　　）
A．6.5 B．10 C．12 D．5
变式2.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝66°，对角线AC，BD交于点O，E为CD的中点，连接OE，则∠AOE的度数为（　　）
A．114° B．120° C．123° D．147°
例2.如图，在 ABCD中，AC，BD为两条对角线．添加下列一个条件，仍不能判定 ABCD是菱形，这个条件是（　　）
A．AC⊥BD B．AB⊥BC C．AB＝BC D．∠BAC＝∠DAC
变式1.已知，如图：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是边BC延长线上一点，联结AE，交BD于点F，交CD于点G．
（1）求证：AF2＝FG FE；
（2）联结CF，如果∠DAE＝∠FCD，求证：四边形ABCD是菱形．
变式2.如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求线段DP的长．
例1.如图，正方形ABCD的周长是16，点E是AB的中点，以BE为边在AB右侧作等边△BEF，连接DF，则tan∠CDF的值为（　　）
A． B． C． D．
变式1.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点B的坐标为，则顶点C的坐标为（　　）
A． B．（﹣4，﹣4）
C． D．
变式2.如图，正方形ABCD中，分别取AD和CD边的中点E，F，连接BE，AF相交于点G，连接CG，若∠AEB＝α，则∠BCG的度数一定为（　　）
A．α B．2α C．90°﹣α D．180°﹣2α
变式3.边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且BE＝CF，AE与BF相交于点G，当CG长最小时，BE的长是（　　）
A．2 B． C． D．
例2.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC与BD互相平分于点O．要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是 　 　 （只填一个答案即可）．
变式1.如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，求证：四边形OGCF是正方形．
变式2.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：线段CE、CG、BC之间的数量关系？并说明理由．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑