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11.3 一元一次不等式组 专题练--由不等式组解集的情况求参数
2024--2025学年初中数学人教版七年级下册（新教材）
一、解答题
1．对于任意实数m，n定义一种新运算，等式的右边是通常的加减法和乘法运算，例如：．请根据上述定义解决问题：若，且解集中恰有两个整数解，求a的取值范围．
2．规定，例如，．
(1)________；
(2)解不等式组；
(3)若关于x的不等式组恰好有三个整数解，则a的取值范围为______．
3．当时，若关于的不等式组的解集为，则称为该不等式组的“解集长度”，如不等式组的解集为，则其“解集长度”为．
(1)不等式组的“解集长度”是_______；
(2)已知关于的不等式组的“解集长度”为0，求应该满足的条件，以及此时不等式组的解集；
(3)已知关于的不等式组的解集长度小于9，求的取值范围．
4．已知不等式组 的整数解为4， 3， 2，求整数a的最小值
5．关于x的两个不等式①与②，若不等式①的解都是不等式②的解，求a的取值范围．
6．定义新运算为：对于任意实数a、b都有，等式右边都是通常的加法、减法、乘法运算，比如．
(1)若，求的取值范围．
(2)若不等式组恰有三个整数解，求实数的取值范围．
7．定义：我们把不等式组解集中的整数叫做这个不等式组的“核”，把解集中整数的个数称为该不等式组的“核数”．例如，不等式组的解集中存在0，1，2，3这4个“核”，这个不等式组的“核数”为4．
(1)下列不等式组中，“核数”为2的有________（只填序号）
① ② ③
(2)不等式组的“核数”为a，不等式组的“核数”为b．
①若，求整数k的值．
②若关于m，y，z的三元一次方程组的解是正数，直接写出整数k的值．
8．老师在黑板上写下题目：解一元一次不等式组其中需要同学们在“□”中填写数字．
(1)小颖填入数字后得到该不等式组的解集为，求出小颖填写的数字；
(2)小明说：“当该一元一次不等式组无解时，在‘□’中填入的数字的取值范围大于．”请判断小明的说法是否正确，并说明理由．
9．已知关于的不等式组的解集是，求，的值．
10．已知关于的不等式组恰有两个整数解，求的取值范围．
11．已知关于x的不等式组．
(1)若该不等式组有且只有4个整数解，求满足条件的整数a的值；
(2)若该不等式组有解，且它的解集中的任何一个x值均不在的范围内，求a的取值范围．
12．已知关于的不等式组的所有解都是正数；
(1)求的取值范围；
(2)化简：；
(3)在（1）的条件下，所有的整数解中只有一个整数解是关于的不等式的解，求的取值范围．
参考答案
1．
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，准确理解题意正确计算是本题的解题关键．
根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据题意求出a的取值范围．
【详解】解：根据题意得：，
，
，
解集中恰有两个整数解，小于3的连续两个整数是1，2，
，
，
a的范围为．
2．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解的定义，正确得出不等式组是解题关键．
（1）根据、以及的定义即可得；
（2）根据的定义可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得；
（3）先根据的定义可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组可得，再根据不等式组恰好有三个整数解可得，由此即可得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为．
（3）解：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵这个不等式组有解，
这个不等式组的解集为，
又∵关于的不等式组恰好有三个整数解，
，
解得：，
∴的取值范围为．
故答案为：．
3．(1)
(2)，
(3)
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
（1）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再根据“解集长度”的定义求解即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再根据“解集长度”为0得到关于m的方程，解方程即可得到答案；
（3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再根据“解集长度”为小于9得到关于m的不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】（1）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
∴原不等式组的“解集长度”是；
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
∵关于的不等式组的“解集长度”为0，
∴，
解得，
∴原不等式组的解集为，即原不等式组的解集为；
（3）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
∵关于的不等式组的解集长度小于9，
∴，
解得．
4．33
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组得到不等式组的解集，再根据不等式组的整数解的情况建立关于a的不等式组，解之即可得到答案．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的整数解为4， 3， 2，
∴，
解得且，
∴，
∴整数a的最小值为33．
5．
【分析】此题考查了解一元一次不等式，根据不等式①的解都是②的解，求出的范围即可．根据题意分别求出不等式的解集，进而得到关于的不等式是解题的关键．
【详解】解：由①得：，
由②得：，
由不等式①的解都是②的解，得到，
解得：．
6．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元一次不等式、一元一次不等式组，熟练掌握不等式和不等式组的解法是解题关键．
（1）根据新运算的定义可得，从而可得，解不等式即可得；
（2）根据新运算的定义可得不等式组，分别解两个不等式，再根据不等式组恰有三个整数解可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得．
【详解】（1）解：由题意得：，
∵，
∴，
解得：．
（2）解：由题意得：，
，
∴不等式组可转化为，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵这个不等式组恰有三个整数解，
∴，
解得．
7．(1)①
(2)①整数的值为；②整数的值为2
【分析】本题考查了新定义，一元一次不等式组的应用，理解题意，得到正确的不等式组是解题的关键．
（1）根据“核数”的定义即可解答；
（2）①得到不等式组的“核数”为，再根据即可解答；
②解三元一次方程组得到，，再根据三元一次方程组的解是正数，即可解答．
【详解】（1）解：的解集中存在0，1这2个“核”，这个不等式组的“核数”为2；
的解集中存在无数个“核”，这个不等式组的“核数”为无限；
的解集中存在2这1个“核”，这个不等式组的“核数”为1；
故答案为：①；
（2）解：①，
不等式组的解集中有3个“核”，这个不等式组的“核数”为3；
故，
，
不等式组的“核数”为3，即不等式组的整数解有3个，
，
解得，
则整数的值为；
②根据题意可得，
①+③得，，
解得，
把代入③得，，
得，
把，代入②可得，即，
由，得，
关于m，y，z的三元一次方程组的解是正数，
则，
，
，
即，
是不等式组的“核数”，为整数，
，
不等式组的整数解有6个，
，
解得，
则整数的值为2．
8．(1)小颖填写的数字为6．
(2)小明的说法错误，理由见解析
【详解】解：（1）设小颖填写的数字为a，
则
解不等式①，得．
解不等式②，得．
∵该不等式组的解集为，
∴，解得，
∴小颖填写的数字为6．
（2）小明的说法错误，理由如下：
设在“□”中填入的数字为m，
由（1）可得，不等式组的解集为
∵该一元一次不等式组无解，
∴，解得，
∴当该一元一次不等式组无解时，在“□”中填入的数字的取值范围小于等于，故小明的说法错误．
9．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题关键．解两个不等式得出且，根据不等式组的解集为得，解之可得答案．
【详解】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为：，
则，
所以．
10．
【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有两个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
则不等式组的解集是．
不等式组只有两个整数解，是0和1．
根据题意，得，
解得．
11．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
（1）表示出不等式组的解集，根据不等式组有且只有4个整数解，确定出a的范围即可；
（2）根据不等式组有解表示出解集，由解集中的任何一个x值均不在的范围内，确定出a的范围即可．
【详解】（1）解：解不等式组，得
，
因为该不等式组有且只有4个整数解，
所以，
所以，整数解为，
所以，
解得，
所以满足条件的整数a的值为；
（2）解：因为该不等式组有解，
所以，
所以．
因为解集中的任何一个x值均不在的范围内，
所以，
解得，
所以a的取值范围为．
12．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，化简绝对值，无理数的估算，不等式组的整数解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）先解不等式组，可知，结合不等式的所有解都是正数，可知，从而解得的范围；
（2）由（1）的范围，可知，，然后化简绝对值即可；
（3）由（1）的范围，可知可以是5，6，解不等式可知，所有的整数解中只有一个整数解是关于的不等式的解，那么，从而解得答案．
【详解】（1）解：，
解①得， ，
解②得，，
，
关于的不等式组的所有解都是正数，
，
；
（2）解：，
，，
；
（3）解： ，
，，
，
，
可以是5，6，
，
所有的整数解中只有一个整数解是关于的不等式的解，
，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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