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期末专项培优 勾股定理
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 长春校级期末）如图，数轴上点A，B对应的数分别是1，2，以AB为边在数轴上方作正方形ABCD，连接AC，以A为圆心，AC的长为半径画圆弧交数轴于点E（点E在点A的左侧），则点E在数轴上对应的数为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024秋 拱墅区期末）一个直角三角形，若三边的平方和为200，则斜边长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．（2024秋 源城区期末）已知一个直角三角形的两条边长分别为和1，则第三边长为（　　）
A． B．2 C．或2 D．或4
4．（2024秋 建邺区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B． C．4π﹣6 D．
5．（2024秋 滨湖区期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为7，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 长春校级期末）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为6，8，24，则正方形B的面积是 　 　．
7．（2024秋 崇明区期末）已知平面直角坐标系内两点A（3，﹣1）和B（﹣1，2），则AB＝ 　 　．
8．（2024秋 拱墅区期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°．∠BAC的平分线交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AD，交AC于点E，过点D作DF∥AB，交AC于点F．若AB＝4，AE＝6，则DC2＝ 　 　．
9．（2024秋 宿豫区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC于点E，已知CE＝1，，则AE长为 　 　．
10．（2024秋 开福区校级期末）如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则AC边上的高是 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 梁溪区校级期末）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．
（1）若AB＝13，BC＝5，求CD的值；
（2）证明：AC+BC＜AB+CD．
12．（2024秋 路桥区期末）如图，在5×5方格中有一个阴影正方形，设每一方格的边长为1个单位长度．
（1）求阴影正方形的面积；
（2）请估算阴影正方形的边长的值．（精确到0.1）
13．（2024秋 揭西县期末）在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16．点D是BC的中点，点E是线段BD上的动点，过点E作EF⊥BD交AB于点F．连结AE，若∠AEF＝∠B．
（1）求证：AE⊥AC；
（2）求DE的长．
14．（2024秋 余姚市期末）如图，等腰三角形ABC中AB＝AC，CD⊥AB，且CD＝4cm，BD＝3cm．
（1）求AD的长；
（2）求△ABC的面积．
15．（2024秋 莱西市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．在边BC上有一点P，连接AP，且PA＝PB，若AC＝2，CB＝5，求PA的长．
期末专项培优 勾股定理
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 B C C A D
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 长春校级期末）如图，数轴上点A，B对应的数分别是1，2，以AB为边在数轴上方作正方形ABCD，连接AC，以A为圆心，AC的长为半径画圆弧交数轴于点E（点E在点A的左侧），则点E在数轴上对应的数为（　　）
A． B． C． D．
【考点】勾股定理；实数与数轴．
【专题】实数；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，进而可得AE的长，然后再确定E点所对应的数．
【解答】解：∵点A，B对应在数分别是1，2，
∴AB＝1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝AB＝1，
∴AC，
∴AE，
∵点A对应的数是1，
∴E在数轴上对应在数为，
故选：B．
【点评】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．（2024秋 拱墅区期末）一个直角三角形，若三边的平方和为200，则斜边长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】设直角三角形的三边长为 a、b、c，c 为斜边，则由勾股定理得：a2+b2＝c2即可求解．
【解答】解：设直角三角形的三边长为 a、b、c，c 为斜边，则由勾股定理得：a2+b2＝c2．
∵一个直角三角形的三边长的平方和为200，
∴a2+b2+c2＝200，
∴2c2＝200，
∴c2＝100，
∴c ＝10，即斜边长为10．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理，正确进行计算是解题关键．
3．（2024秋 源城区期末）已知一个直角三角形的两条边长分别为和1，则第三边长为（　　）
A． B．2 C．或2 D．或4
【考点】勾股定理．
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】分两种情况，①当和1均为直角边时，②当1为直角边，为斜边时，根据勾股定理分别求出第三条边长即可．
【解答】解：分两种情况：
①当和1均为直角边时，第三条边长2；
②当1为直角边，为斜边时，第三条边长；
综上所述，第三边长为或2，
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．
4．（2024秋 建邺区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B． C．4π﹣6 D．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】先根据勾股定理求出AB，然后根据S阴影＝S半圆AC+S半圆BC+S△ABC﹣S半圆AB计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝25，
则阴影部分的面积AC×BCπ×（）2π×（）2π×（）2
3×4π（AC2+BC2﹣AB2）
＝6，
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键．
5．（2024秋 滨湖区期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为7，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
【考点】勾股定理的证明．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据小正方形面积为7得出（m﹣n）2＝7，结合（m+n）2＝21，得出2mn的值，即可得出结果．
【解答】解：∵小正方形面积为7，
∴（m﹣n）2＝7，
又∵（m+n）2＝21，
∴（m+n）2﹣（m﹣n）2＝14，
∴2mn＝7．
又∵大正方形的面积4+（m﹣n）2＝m2+n2，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝21﹣7＝14，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出2nm的值是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 长春校级期末）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为6，8，24，则正方形B的面积是 　10　．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】10．
【分析】根据勾股定理得到SA+SB＝SE，SD﹣SC＝SE，进一步运算即可．
【解答】解：由图可知，SA+SB＝SE，SD﹣SC＝SE，
∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C，正方形A，C，D的面积依次为6，8，24，
∴正方形B的面积+6＝24﹣8，
∴正方形B的面积＝10．
故答案为：10
【点评】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
7．（2024秋 崇明区期末）已知平面直角坐标系内两点A（3，﹣1）和B（﹣1，2），则AB＝ 　5　．
【考点】勾股定理；两点间的距离公式．
【专题】平面直角坐标系；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】5．
【分析】利用两点间的距离公式计算即可．
【解答】解：根据两点间的距离公式可知：AB5，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了勾股定理，两点之间的距离公式，掌握两点之间的距离公式是解题的关键．
8．（2024秋 拱墅区期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°．∠BAC的平分线交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AD，交AC于点E，过点D作DF∥AB，交AC于点F．若AB＝4，AE＝6，则DC2＝ 　72　．
【考点】勾股定理；等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】72．
【分析】（1）过D作DG⊥AC于G，可证△ABD≌△AGD（HL），AB＝AG＝4，EG＝2，再通过△ADG∽△DGE，可得BD＝DG＝2，再根据△ABC∽△DGC可得ACDC，再利用勾股定理求解即可．
【解答】解：过D作DG⊥AC于G，
∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠1＝∠2，DB＝DG，
又∵AD＝AD，
∴△ABD≌△AGD（HL），
∴AB＝AG＝4，
∴EG＝AE﹣AG＝2，
∵DG⊥ACN，
∴∠2+∠ADG＝90°，
∴△ADG∽△DGE，
∴，即，
∴DG＝2，BD＝DG＝2，
∵∠ABC＝∠DGC＝90°，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DGC，
∴，即，
∴ACDC，
∴42，
解得DC＝6或﹣2（舍去），
∴DC2＝72．
故答案为：72．
【点评】本题考查勾股定理，正确进行计算是解题关键．
9．（2024秋 宿豫区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC于点E，已知CE＝1，，则AE长为 　2　．
【考点】勾股定理；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】2．
【分析】由勾股定理求出DE＝2，再由角平分线的定义和平行线的性质证明∠ADE＝∠EAD，然后由等腰三角形的判定得出AE＝DE＝2即可．
【解答】解：在Rt△CDE中，∠C＝90°，CE＝1，，
由勾股定理得：DE2，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAD，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD，
∴∠ADE＝∠EAD，
∴AE＝DE＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的判定、平行线的性质以及角平分线的定义等知识，熟练掌握勾股定理，证明AE＝DE是解题的关键．
10．（2024秋 开福区校级期末）如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则AC边上的高是 　　．
【考点】勾股定理．
【专题】网格型；等腰三角形与直角三角形．
【答案】．
【分析】取格点D，连接BD交AC于格点E，则BE即为AC边上的高，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，取格点D，连接BD交AC于格点E，则BE即为AC边上的高，
∴BE，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，正确作出AC边上的高是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 梁溪区校级期末）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．
（1）若AB＝13，BC＝5，求CD的值；
（2）证明：AC+BC＜AB+CD．
【考点】勾股定理；三角形三边关系．
【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）；
（2）证明见解析过程．
【分析】（1）利用勾股定理及面积法即可解决问题．
（2）将不等式两边的式子分别平方，再结合勾股定理及面积法即可进行证明．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5，
∴AC12，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC，
∴CD；
（2）证明：∵（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC BC，（AB+CD）2＝AB2+CD2+2AB CD，且AC2+BC2＝AB2，
∴（AC+BC）2﹣（AB+CD）2＝（AB2+2AC BC）﹣（AB2+CD2+2AB CD）＝2AC BC﹣CD2﹣2AB CD．
又∵，
∴2AC BC﹣CD2﹣2AB CD＝﹣CD2＜0，
∴（AC+BC）2＜（AB+CD）2，
∴AC+BC＜AB+CD．
【点评】本题主要考查了勾股定理及三角形三边的关系，熟知勾股定理及三角形三边的关系是解题的关键．
12．（2024秋 路桥区期末）如图，在5×5方格中有一个阴影正方形，设每一方格的边长为1个单位长度．
（1）求阴影正方形的面积；
（2）请估算阴影正方形的边长的值．（精确到0.1）
【考点】勾股定理；近似数和有效数字．
【专题】实数；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（1）13；
（2）3.6．
【分析】（1）由勾股定理求出阴影正方形的边长，即可解决问题；
（2）根据近似数的要求进行估算即可．
【解答】解：（1）由勾股定理得：阴影正方形的边长，
∴阴影正方形的面积＝（）2＝13；
（2）由（1）可知，阴影正方形的边长3.6．
【点评】本题主要考查了勾股定理以及近似数，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13．（2024秋 揭西县期末）在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16．点D是BC的中点，点E是线段BD上的动点，过点E作EF⊥BD交AB于点F．连结AE，若∠AEF＝∠B．
（1）求证：AE⊥AC；
（2）求DE的长．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，证明∠EAC＝90°，根据垂直的定义即可得证；
（2）根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵EF⊥BD，
∴∠AEF+∠AED＝90°，
∵∠AEF＝∠B，∠B＝∠C，
∴∠C+∠AED＝90°，
∴∠EAC＝90°，
∴AE⊥AC；
（2）解：∵∠EAC＝90°，
∴AE2+AC2＝CE2，
∵CE＝CD+DE＝DE+8，
∴AE2＝CE2﹣AC2＝（DE+8）2﹣102，
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴BD＝DC16＝8，BC＝16，AD⊥BC，
∴AD6，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝62+DE2，
∴（DE+8）2﹣102＝62+DE2，
解得：DE＝4.5．
【点评】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
14．（2024秋 余姚市期末）如图，等腰三角形ABC中AB＝AC，CD⊥AB，且CD＝4cm，BD＝3cm．
（1）求AD的长；
（2）求△ABC的面积．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】（1）cm；
（2）cm2．
【分析】（1）设AD＝x cm，AB＝AC＝（x+3）cm，在Rt△ADC中，由勾股定理列出方程，解方程即可；
（2）根据三角形的面积公式列式计算即可．
【解答】解：（1）设AD＝x cm，则AB＝AC＝（x+3）cm，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
在Rt△ACD中，根据题意得：x2+42＝（x+3）2，
解得：x，
答：AD的长为cm；
（2）由（1）可知，AB＝AC3（cm），
∵CD⊥AB，
∴S△ABCAB CD4（cm2），
答：△ABC的面积为cm2．
【点评】此题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
15．（2024秋 莱西市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．在边BC上有一点P，连接AP，且PA＝PB，若AC＝2，CB＝5，求PA的长．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】设PA＝x＝PB，则CP＝5﹣x，在Rt△APC中，利用勾股定理列式计算即可求解．
【解答】解：设PA＝x＝PB，可得：CP＝5﹣x，
∵根据勾股定理可得：AC2+CP2＝PA2，
∴22+（5﹣x）2＝x2，
，
∴PA的长为．
【点评】本题主要考查了勾股定理，正确进行计算是解题关键．
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