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期末专项培优 勾股定理的逆定理
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 锦江区校级期末）下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．32，42，52 C．，， D．
2．（2024秋 伊川县期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔在笔筒内部的长度l的取值范围是（　　）
A．12cm≤l≤15cm B．9cm≤l≤12cm
C．10cm≤l≤15cm D．10cm≤l≤12cm
3．（2024秋 阜宁县期末）满足下列条件的△ABC（a、b、c为三边），不是直角三角形的是（　　）
A．∠B＝50°，∠C＝40° B．a2＝c2﹣b2
C．a2＝5，b2＝12，c2＝13 D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
4．（2024秋 钢城区期末）在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A，B是格点，如果点P也是图中的格点，且使得△ABP是以AB为腰的等腰直角三角形，则点P的个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．（2024秋 化州市期末）如图，△ABC在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（　　）
A．BC＝5 B．△ABC的面积为5
C．∠A＝90° D．点A到BC的距离为
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 伊川县期末）如图所示，有一根高为16m的电线杆BC在A处断裂，电线杆顶部C落在地面离电线杆底部B点8m远的地方，则电线杆的断裂处A离地面的距离为　 　米．
7．（2024秋 茂名期末）如图，有两棵树，一棵高10m，一棵高4m，两树之间相距8m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 　 　m．
8．（2024秋 邗江区校级期末）如图1，荡秋千是小朋友非常喜爱的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（水平距离BC＝6m） 时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝CE＝3m，若秋千的绳索始终拉得很直，则绳索AD＝ 　 　m．
9．（2024秋 綦江区期末）如图所示：要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走40米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走40米到D处，在D处转90°沿DE方向再走21米，到达E处，使A，C与E在同一直线上，那么测得A，B的距离为 　 　米．
10．（2024秋 中卫期末）如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为AB＝1.3米，小狗的高CD＝0.3米，小狗与小方的距离AC＝2.4米．（绳子一直是直的）牵狗绳BD的长 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 长春校级期末）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAD时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm，求顶部边缘B处到底部边缘A处的距离．
12．（2024秋 伊川县期末）“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”意思是：﹣根竹子，原高一丈，一﹣阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）
[模型]如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形ABC，其中一直角边BC长3尺，其余两边长度之和为10尺．求折断后的竹子高度．
13．（2024秋 南海区期末）如图，A，B两村庄相距3千米，C为供气站，AC＝2.4千米，BC＝1.8千米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道．
方案一：从供气站C直接铺设管道分别到A村和B村；
方案二：过点C作AB的垂线，垂足为点H，先从C铺设管道到点H处，再从点H处分别向A、B两村铺设．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明．
14．（2024秋 宿城区校级期末）.某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级劳动实践基地的示意图形状，经过同学共同努力，测得AB＝4m，AD＝3m，BC＝12m，CD＝13m，∠A＝90°．
（1）求B、D之间的距离；
（2）求四边形ABCD的面积．
15．（2024秋 开福区校级期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村庄为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A、B、H在同一直线上），并新建一条路CH，测得CB＝13千米，CH＝12千米，HB＝5千米．
（1）CH是不是从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA短多少千米？
期末专项培优 勾股定理的逆定理
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 D A C A D
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 锦江区校级期末）下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．32，42，52 C．，， D．
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵22+32＝13，42＝16，
∴22+32≠42，
∴不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、32＝9，42＝16，52＝25，
∵92+162＝337，252＝625，
∴92+162≠252，
∴不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵（）2+（）2＝7，（）2＝5，
∴（）2+（）2≠（）2，
∴不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵12+（）2＝3，（）2＝3，
∴12+（）2＝（）2，
∴能构成直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
2．（2024秋 伊川县期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔在笔筒内部的长度l的取值范围是（　　）
A．12cm≤l≤15cm B．9cm≤l≤12cm
C．10cm≤l≤15cm D．10cm≤l≤12cm
【考点】勾股定理的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】当铅笔不垂直于底面放置时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒部分的最小长度；考虑当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度是露出的最大长度；从而可确定答案．
【解答】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：，
当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒内部长度12cm，
所以这只铅笔在笔筒内部的长度l的取值范围是12cm≤l≤15cm．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是把实际问题抽象成数学问题，分别考虑两种极端情况，问题即解决．
3．（2024秋 阜宁县期末）满足下列条件的△ABC（a、b、c为三边），不是直角三角形的是（　　）
A．∠B＝50°，∠C＝40° B．a2＝c2﹣b2
C．a2＝5，b2＝12，c2＝13 D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】依据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理分别进行判断即可．
【解答】解：A、∵∠B＝50°，∠C＝40°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故选项A不符合题意；
B、∵a2＝c2﹣b2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故选项B不符合题意；
C、∵a2＝5，b2＝12，c2＝13，
∴a2+b2＝17≠c2＝13，
∴△ABC不是直角三角形，故选项C符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+C＝180°，
∴最大角∠C180°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握勾股定理和三角形内角和定理是解题的关键．
4．（2024秋 钢城区期末）在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A，B是格点，如果点P也是图中的格点，且使得△ABP是以AB为腰的等腰直角三角形，则点P的个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【答案】A
【分析】根据△ABP是以AB为腰的等腰直角三角形，进行作图，即可作答．
【解答】解：已知点A，B是格点，如果点P也是图中的格点，且使得△ABP是以AB为腰的等腰直角三角形，
分两种情况讨论：
当AB＝AP时，结合正方形小网格的特征，AP1＝AB，或AP2＝AB，
如图1：
当AB＝BP时，结合正方形小网格的特征，BP3＝AB，或BP4＝AB，
如图2：
综上所述，满足△ABP是以AB为腰的等腰直角三角形的点P有4个，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．
5．（2024秋 化州市期末）如图，△ABC在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（　　）
A．BC＝5 B．△ABC的面积为5
C．∠A＝90° D．点A到BC的距离为
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】利用勾股定理求出BC长可判定A，利用网格图计算三角形的面积可判定B，利用勾股定理及其逆定理判定C；利用面积公式求出△ABC边BC的高，即可利用点到直线的距离判定D．
【解答】解：A．∵BC2＝32+42＝25，
∴BC＝5，正确，不符合题意；
B．，正确，不符合题意；
C．∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，正确，不符合题意；
D．点A到BC的距离＝2S△ABC÷BC＝2×5÷5＝2，原结论错误，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 伊川县期末）如图所示，有一根高为16m的电线杆BC在A处断裂，电线杆顶部C落在地面离电线杆底部B点8m远的地方，则电线杆的断裂处A离地面的距离为　6　米．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】应用题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，运用勾股定理，列方程求解即可．
【解答】解：设AB＝x，则AC＝16﹣x．
根据勾股定理，得x2+64＝（16﹣x）2
∴x2+64＝x2﹣32x+256，
∴32x＝192，
解之得：x＝6．
【点评】能够用一个未知数表示出未知的两条边，再根据勾股定理列方程求解．
7．（2024秋 茂名期末）如图，有两棵树，一棵高10m，一棵高4m，两树之间相距8m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 　10　m．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】10．
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：如图，建立数学模型，两棵树的高度差AC＝10﹣4＝6（m），间距AB＝DE＝8m，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离BC10（m）．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解，难度一般．
8．（2024秋 邗江区校级期末）如图1，荡秋千是小朋友非常喜爱的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（水平距离BC＝6m） 时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝CE＝3m，若秋千的绳索始终拉得很直，则绳索AD＝ 　10　m．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】10．
【分析】设绳索AD的长度为x m，则AC＝（x﹣2）m，在Rt△ACB中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：由题意得：∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
设绳索AD的长度为x m，则AC＝（x﹣2）m，
∴x2＝62+（x﹣2）2，
解得：x＝10，
答：绳索AD的长度是10m．
故答案为：10．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．
9．（2024秋 綦江区期末）如图所示：要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走40米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走40米到D处，在D处转90°沿DE方向再走21米，到达E处，使A，C与E在同一直线上，那么测得A，B的距离为 　21　米．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】21．
【分析】根据意义得出∠ABC＝∠EDC＝90°，BC＝CD＝40（米），结合对顶角相等，得证△ACB≌△ECD（ASA），即可作答．
【解答】解：由题意可得：∠ABC＝∠EDC＝90°，BC＝CD＝40（米），
∵A、C与E在同一直线上，
∴∠ACB＝∠ECD，
∴△ACB≌△ECD（ASA），
∴AB＝DE＝21（米），
故答案为：21．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确进行计算是解题关键．
10．（2024秋 中卫期末）如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为AB＝1.3米，小狗的高CD＝0.3米，小狗与小方的距离AC＝2.4米．（绳子一直是直的）牵狗绳BD的长 　2.6米　．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】2.6米．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，可得DE＝AC＝2.4，AE＝CD＝0.3，DE＝1，再根据勾股定理求解即可
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
则AE＝CD＝0.3米，DE＝AC＝2.4米，
∴BE＝AB﹣AE＝1米，
∴BD2.6（米）．
所以此时牵狗绳BD的长为2.6米．
故答案为：2.6米．
【点评】本题考查勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解决问题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 长春校级期末）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAD时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm，求顶部边缘B处到底部边缘A处的距离．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】顶部边缘B处到底部边缘A处的距离为25cm．
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝7cm，AC＝24cm，
∴AB25（cm），
答：顶部边缘B处到底部边缘A处的距离为25cm．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12．（2024秋 伊川县期末）“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”意思是：﹣根竹子，原高一丈，一﹣阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）
[模型]如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形ABC，其中一直角边BC长3尺，其余两边长度之和为10尺．求折断后的竹子高度．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】折断后竹子的高度为 4.55 尺．
【分析】设折断后的竹子高度AC为x尺，则被折断的竹子长度AB为（10﹣x）尺，由勾股定理即可求出AC的长．
【解答】解：设折断后的竹子高度AC为x尺，则被折断的竹子长度AB为（10﹣x）尺，
由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
即：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
答：折断后竹子的高度是为4.55 尺．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13．（2024秋 南海区期末）如图，A，B两村庄相距3千米，C为供气站，AC＝2.4千米，BC＝1.8千米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道．
方案一：从供气站C直接铺设管道分别到A村和B村；
方案二：过点C作AB的垂线，垂足为点H，先从C铺设管道到点H处，再从点H处分别向A、B两村铺设．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）△ABC是直角三角形．理由见解析；
（2）方案一所修的管道较短．
【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；
（2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AB，即可得出结果．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵AC2+BC2＝2.42+1.82＝9，AB2＝32＝9，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵△ABC的面积，
∴（米）；
∵AC+BC＝2.4+1.8＝4.2（米），
CH+AB＝1.44+3＝4.44（米），
4.2米＜4.44米，
∴方案一所修的管道较短．
【点评】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算，熟记以上知识是解题的关键．
14．（2024秋 宿城区校级期末）.某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级劳动实践基地的示意图形状，经过同学共同努力，测得AB＝4m，AD＝3m，BC＝12m，CD＝13m，∠A＝90°．
（1）求B、D之间的距离；
（2）求四边形ABCD的面积．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）5m；（2）36m2．
【分析】（1）由勾股定理得，即可求解；
（2）可得BD2+BC2＝CD2，由勾股定理的逆定理得△BCD是直角三角形，求四边形的面积，即可求解；
【解答】解：（1）连接BD，
∵∠A＝90°，
∴
＝5（m），
故B、D之间的距离为5m；
（2）∵52+122＝132，
∴BD2+BC2＝CD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠CBD＝90°，
∴四边形ABCD的面积AB ADBC BD
4×312×5
＝36（m2）．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
15．（2024秋 开福区校级期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村庄为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A、B、H在同一直线上），并新建一条路CH，测得CB＝13千米，CH＝12千米，HB＝5千米．
（1）CH是不是从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA短多少千米？
【考点】勾股定理的应用；勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】（1）CH是从村庄C到河边的最近路，说明见解析；
（2）新路CH比原路CA短4.9千米．
【分析】（1）由勾股定理的逆定理得△CHB是直角三角形，则CH⊥AB，即可得出结论；
（2）设AB＝AC＝x千米，则AH＝AB﹣HB＝（x﹣5）千米，在Rt△CHA中，由勾股定理得出方程x2＝（x﹣5）2+122，解得x＝16.9，即可解决问题．
【解答】解：（1）CH是从村庄C到河边的最近路，说明如下：
∵CB＝13千米，CH＝12千米，HB＝5千米，
∴CH2+HB2＝122+52＝169，CB2＝132＝169，
∴CH2+HB2＝CB2，
∴△CHB是直角三角形，
∴CH⊥AB，
∴CH是为从村庄C到河边的最近路；
（2）设AB＝AC＝x千米，则AH＝AB﹣HB＝（x﹣5）千米，
在Rt△CHA中，由勾股定理得：CA2＝AH2+CH2，
即x2＝（x﹣5）2+122，
解得：x＝16.9，
∴CA＝16.9千米，
∴CA﹣CH＝16.9﹣12＝4.9（千米），
答：新路CH比原路CA短4.9千米．
【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
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