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期末专项培优 数据的波动程度
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 清江浦区期末）某地连续7天的最低气温如下：0℃，2℃，﹣2℃，4℃，﹣1℃，﹣2℃，﹣5℃，则该地这7天最低温度的极差是（　　）
A．4℃ B．7℃ C．8℃ D．9℃
2．（2024秋 泉山区校级期末）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的梨树中各采摘了10棵，产量的平均数及方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
24 24 23 20
S2 2.1 1.8 2 1.9
今年从四个品种中选出一种产量既高又稳定的进行种植，应选的品种是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．（2024秋 南海区期末）如图是甲、乙两人5轮投篮成绩统计图（每人每轮投球10次），则对于方差的描述正确的是（　　）
A．S甲2＜S乙2 B．S甲2＝S乙2 C．S甲2＞S乙2 D．无法确定
4．（2024秋 五华县期末）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为：S甲2＝0.58，S乙2＝0.62，则成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙
C．甲和乙一样 D．无法判定
5．（2024秋 顺德区期末）在一场篮球赛中，某队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：187，188，192，193，194．因身高为194cm的队员受伤，教练让身高为190cm的队员替补上场．与换人前相比，换人后场上队员的身高（　　）
A．平均数变小，方差变大
B．平均数变小，方差变小
C．平均数变大，方差变小
D．平均数变大，方差变大
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 宿城区期末）若一组数据1，3，5，7，9的方差是，另一组数据11，12，13，14，15的方差是，则 　 　（填“＞”“＜”或“＝”）．
7．（2024秋 盐城期末）如果一组数据3，5，x，6，8的众数为3，那么这组数据的方差为 　 　．
8．（2024秋 江阴市期末）甲、乙两名运动员在某次打靶射击训练中，他们射击成绩的方差分别是：S甲2＝0.62，S乙2＝0.76，其中成绩较稳定的是 　 　（填“甲”或“乙”）．
9．（2024秋 化州市期末）为了响应党中央对环境保护的号召，某校要从报名的甲、乙、丙三人中选取一人去参加环保演讲比赛，经过两轮初赛后，甲、乙、丙三人的平均成绩都是89，方差分别是S甲2＝3.2，S乙2＝1.25，S丙2＝1.6．你认为 　 　参加决赛比较合适．
10．（2024秋 锦江区期末）甲、乙两名射击爱好者5次射击测试成绩（单位：环）的统计图如图所示．记甲、乙两人这5次测试成绩数据的平均数分别为甲，乙，方差分别为s甲2，s乙2，则甲　 　乙，s甲2　 　，s乙2（填“＞”，“＜”或“＝”）．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 邗江区校级期末）某中学开展知识竞赛活动，九（1）班、九（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示，根据图中数据解决下列问题：
平均数 中位数 众数
九（1）班 a 85 c
九（2）班 85 b 100
（1）a＝ 　 　，b＝ 　 　，c＝ 　 　．
（2）小明同学已经算出了九（2）班复赛成绩的方差：
．请你求出九（1）班复赛成绩的方差；
（3）根据（1）、（2）中的计算结果，分析哪个班级的复赛成绩较好．
12．（2024秋 响水县期末）“秋风响，蟹脚痒”，正是食蟹好时节．某蟹农在今年五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，为赶在食蟹旺季前上市销售，该蟹农于九月中旬在蟹塘中随机试捕了4次，获得如下数据：
数量/只 平均每只蟹的质量/g
第1次试捕 4 166
第2次试捕 4 167
第3次试捕 6 168
第4次试捕 6 170
（1）四次试捕中平均每只蟹的质量为 　 　g；
（2）若蟹苗的成活率为75%，试估计蟹塘中蟹的总质量为 　 　kg；
（3）若第3次试捕的蟹的质量（单位：g）分别为：166，170，172，a，169，167．
①a＝　 　；
②求第3次试捕所得蟹的质量数据的方差．
13．（2024秋 仪征市期末）某校举行了“珍爱生命，预防溺水”主题知识竞赛活动，七（1），七（2）班各选取5名选手参赛，两班参赛选手成绩依次如下：（单位：分）
七（1）班：5，9，7，10，9
七（2）班：8，8，7，8，9
根据以上信息，请解答下面的问题：
（1）求七（2）班5名同学比赛成绩的平均数和方差；
（2）已知七（1）班5名同学的比赛成绩平均数为8分，方差为3.2，请根据数据进行分析，你认为哪个班能成为获胜班级，为什么？
（3）若七（1）班又有一名学生参赛，成绩是8分，则七（1）班这6名选手成绩的平均数与5名选手成绩的平均数相比会 　 　，方差相比会 　 　．（填“变大”、“变小”或“不变”）
14．（2024秋 玄武区期末）为了解A，B两款品质相近的无人机在一次充满电后运行的最长时间，分别随机调查了A，B两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：min），并对数据进行整理．
（1）填空：
平均数/min 中位数/min 众数/min 方差/min2
A 70 69.5 ①　 　 ②　 　
B 72 ③　 　 69 14
（2）根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由．
15．（2024秋 茂名期末）某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩（单位：m）如下：
甲：1.71，1.65，1.68，1.68，1.72，1.73，1.68，1.67；
乙：1.60，1.74，1.72，1.69，1.62，1.71，1.69，1.75；
【整理与分析】
（1）由右表填空：a＝ 　 　，b＝ 　 　；
（2）这两人中，　 　的成绩更为稳定．
平均数 众数 中位数
甲 1.69 a 1.68
乙 1.69 1.69 b
【判断与决策】
（3）经预测，跳高1.69m就很可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，应选哪位运动员参赛？请说明理由．
期末专项培优 数据的波动程度
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 D B A B B
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 清江浦区期末）某地连续7天的最低气温如下：0℃，2℃，﹣2℃，4℃，﹣1℃，﹣2℃，﹣5℃，则该地这7天最低温度的极差是（　　）
A．4℃ B．7℃ C．8℃ D．9℃
【考点】极差．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据极差的定义计算即可．
【解答】解：该地这7天最低温度的极差是4﹣（﹣5）＝9（℃）．
故选：D．
【点评】此题考查了极差，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
2．（2024秋 泉山区校级期末）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的梨树中各采摘了10棵，产量的平均数及方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
24 24 23 20
S2 2.1 1.8 2 1.9
今年从四个品种中选出一种产量既高又稳定的进行种植，应选的品种是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】方差；算术平均数．
【专题】统计与概率；数据分析观念．
【答案】B
【分析】先比较平均数得到甲组和乙组产量较好，然后比较方差得到乙组的状态稳定．
【解答】解：因为甲组、乙组的平均数丙组比丁组大，
而乙组的方差比甲组的小，
所以乙组的产量既高又稳定，
从四个品种中选出一种产量既高又稳定的进行种植，应选的品种为乙，
故选：B．
【点评】此题主要考查利用平均数、方差作决策，正确记忆相关知识点是解题关键．
3．（2024秋 南海区期末）如图是甲、乙两人5轮投篮成绩统计图（每人每轮投球10次），则对于方差的描述正确的是（　　）
A．S甲2＜S乙2 B．S甲2＝S乙2 C．S甲2＞S乙2 D．无法确定
【考点】方差．
【专题】推理能力．
【答案】A
【分析】根据折线统计图的波动情况可判断甲、乙两名同学谁的投篮成绩更加稳定，即方差的大小．
【解答】解：由图可知，甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度小，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查折线统计图和方差，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
4．（2024秋 五华县期末）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为：S甲2＝0.58，S乙2＝0.62，则成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙
C．甲和乙一样 D．无法判定
【考点】方差；算术平均数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵，，0.58＞0.52，
∴，
∴成绩最稳定的是乙．
故选：B．
【点评】本题主要考查了方差，算术平均数，熟练掌握一组数据的方差越大，数据越不稳定是解题的关键．
5．（2024秋 顺德区期末）在一场篮球赛中，某队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：187，188，192，193，194．因身高为194cm的队员受伤，教练让身高为190cm的队员替补上场．与换人前相比，换人后场上队员的身高（　　）
A．平均数变小，方差变大
B．平均数变小，方差变小
C．平均数变大，方差变小
D．平均数变大，方差变大
【考点】方差；算术平均数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】根据平均数和方差的定义和意义即可得出答案．
【解答】解：用一名身高190cm的队员换下场上身高194cm的队员，与换人前相比，场上队员身高的和变小，而人数没变，
所以他们的平均数变小，
由于数据的波动性变小，所以数据的方差变小．
故选：B．
【点评】本题主要考查平均数和方差，熟练掌握方差、平均数的计算公式是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 宿城区期末）若一组数据1，3，5，7，9的方差是，另一组数据11，12，13，14，15的方差是，则 　＞　（填“＞”“＜”或“＝”）．
【考点】方差．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】＞．
【分析】先计算两组数据的平均数，再计算两组数据的方差比较即可．
【解答】解：∵（1+3+5+7+9）＝5，
（11+12+13+14+15）＝13，
∴[（1﹣5）2+（3﹣5）2+（5﹣5）2+（7﹣5）2+（9﹣5）2]＝8，
[（11﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（15﹣13）2]＝2，
∴．
故答案为：＞．
【点评】本题考查方差的计算，能熟练的计算一组数据的方差是解题关键．
7．（2024秋 盐城期末）如果一组数据3，5，x，6，8的众数为3，那么这组数据的方差为 　3.6　．
【考点】方差；众数．
【专题】数据的收集与整理；运算能力．
【答案】3.6．
【分析】根据众数的概念，确定x的值，再求该组数据的方差．
【解答】解：因为一组数据3，5，x，6，8的众数为3，
所以x＝3，
该组数据的平均数为：（3+5+3+6+8）＝5，
方差S2[（3﹣5）2+（5﹣5）2+（3﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]＝3.6．
故答案为：3.6．
【点评】本题考查了平均数、众数、方差的意义．
①平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体“平均水平”；
②众数是一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，有时众数在一组数中有好几个；
③方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
8．（2024秋 江阴市期末）甲、乙两名运动员在某次打靶射击训练中，他们射击成绩的方差分别是：S甲2＝0.62，S乙2＝0.76，其中成绩较稳定的是 　甲　（填“甲”或“乙”）．
【考点】方差．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】甲．
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵S甲2＝0.62，S乙2＝0.76，
∴SS，
∴射击成绩较稳定的是甲．
故答案为：甲．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
9．（2024秋 化州市期末）为了响应党中央对环境保护的号召，某校要从报名的甲、乙、丙三人中选取一人去参加环保演讲比赛，经过两轮初赛后，甲、乙、丙三人的平均成绩都是89，方差分别是S甲2＝3.2，S乙2＝1.25，S丙2＝1.6．你认为 　乙　参加决赛比较合适．
【考点】方差．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】乙．
【分析】根据方差越小，成绩越稳定即可判断．
【解答】解：∵SSS，
∴乙的成绩稳定，
∴乙参加决赛比较合适．
故答案为：乙．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
10．（2024秋 锦江区期末）甲、乙两名射击爱好者5次射击测试成绩（单位：环）的统计图如图所示．记甲、乙两人这5次测试成绩数据的平均数分别为甲，乙，方差分别为s甲2，s乙2，则甲　＞　乙，s甲2　＝　，s乙2（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【考点】方差；加权平均数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】＞；＝．
【分析】根据图形给的数据计算平均数，再利用平均数计算方差即可．
【解答】解：（9+9+8+10+8）＝8.8．
（8+8+7+9+7）＝7.8．
∵8.8＞7.8．
∴．
S2甲[（9﹣8.8）2+（9﹣8.8）2+（8﹣8.8）2+（10﹣8.8）2+（8﹣8.8）2]＝0.56．
S2乙[（8﹣7.8）2+（8﹣7.8）2+（7﹣7.8）2+（9﹣7.8）2+（7﹣7.8）2]＝0.56．
∴S2甲＝S2乙．
故答案为：＞；＝．
【点评】本题考查了平均数和方差的应用，准确的计算和比较是解题关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 邗江区校级期末）某中学开展知识竞赛活动，九（1）班、九（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示，根据图中数据解决下列问题：
平均数 中位数 众数
九（1）班 a 85 c
九（2）班 85 b 100
（1）a＝ 　85　，b＝ 　80　，c＝ 　85　．
（2）小明同学已经算出了九（2）班复赛成绩的方差：
．请你求出九（1）班复赛成绩的方差；
（3）根据（1）、（2）中的计算结果，分析哪个班级的复赛成绩较好．
【考点】方差；条形统计图；中位数；众数．
【专题】统计与概率；运算能力．
【答案】（1）85，80，85；
（2）70；
（3）见解析．
【分析】（1）根据平均数，中位数和众数的计算方法，求解即可；
（2）根据方差的计算公式进行计算即可；
（3）利用方差作决策即可．
【解答】解：（1），
九（2）班的五位成绩排序后，b＝80；
九（1）班数据最多的是85，故c＝85；
故答案为：85，80，85；
（2）；
（3）两个年级的平均数相同，（1）班的方差小于（2）班的方差，
故（1）班的复赛成绩较好．（答案不唯一，合理即可）
【点评】本题考查求平均数，中位数，众数和方差，从条形图中有效的获取信息，熟练掌握相关数据的计算方法是解题的关键．
12．（2024秋 响水县期末）“秋风响，蟹脚痒”，正是食蟹好时节．某蟹农在今年五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，为赶在食蟹旺季前上市销售，该蟹农于九月中旬在蟹塘中随机试捕了4次，获得如下数据：
数量/只 平均每只蟹的质量/g
第1次试捕 4 166
第2次试捕 4 167
第3次试捕 6 168
第4次试捕 6 170
（1）四次试捕中平均每只蟹的质量为 　168　g；
（2）若蟹苗的成活率为75%，试估计蟹塘中蟹的总质量为 　151.2　kg；
（3）若第3次试捕的蟹的质量（单位：g）分别为：166，170，172，a，169，167．
①a＝　164　；
②求第3次试捕所得蟹的质量数据的方差．
【考点】方差；用样本估计总体；加权平均数．
【专题】统计的应用；应用意识．
【答案】（1）168；
（2）151.2；
（3）①164；
②7．
【分析】（1）根据加权平均数的公式列式计算即可；
（2）先求出成活蟹的只数，再根据总质量＝平均质量×总只数列式计算即可；
（3）①根据平均数的定义列式计算即可；
②根据方差公式计算即可．
【解答】解：（1）四次试捕中平均每只蟹的质量为168（g）．
故答案为：168；
（2）∵蟹苗的成活率为75%，
∴成活蟹的只数为1200×75%＝900（只），
∴估计蟹塘中蟹的总质量为168×900＝151200（g）＝151.2（kg）．
故答案为：151.2；
（3）①166+170+172+a+169+167＝168×6，
∴a＝164．
故答案为：164；
②S2[（166﹣168）2+（170﹣168）2+（172﹣168）2+（164﹣168）2+（169﹣168）2+（167﹣168）2]＝7．
即第3次试捕所得蟹的质量数据的方差为7．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了加权平均数以及利用样本估计总体．
13．（2024秋 仪征市期末）某校举行了“珍爱生命，预防溺水”主题知识竞赛活动，七（1），七（2）班各选取5名选手参赛，两班参赛选手成绩依次如下：（单位：分）
七（1）班：5，9，7，10，9
七（2）班：8，8，7，8，9
根据以上信息，请解答下面的问题：
（1）求七（2）班5名同学比赛成绩的平均数和方差；
（2）已知七（1）班5名同学的比赛成绩平均数为8分，方差为3.2，请根据数据进行分析，你认为哪个班能成为获胜班级，为什么？
（3）若七（1）班又有一名学生参赛，成绩是8分，则七（1）班这6名选手成绩的平均数与5名选手成绩的平均数相比会 　不变　，方差相比会 　变小　．（填“变大”、“变小”或“不变”）
【考点】方差；算术平均数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）平均数为8，方差：0.4；
（2）七（2）班能成为获胜班级，理由见解析；
（3）不变，变小．
【分析】（1）根据平均数公式（数据之和除以数据的个数）和方差公式（先求出平均数与各个数据之差，将其平方，平方数之和除以数据个数）即可求出答案．
（2）根据方差越小越稳定即可判断出哪个班级能获胜．
（3）分别求出七（1）班5名同学和6名同学的平均数和方差，将其比较即可求出答案．
【解答】解：（1）七（2）班5名同学比赛成绩的平均数为：（分）．
方差：①平均：平均数为8，
②求差：0，0，﹣1，0，1，
③平方：0，0，1，0，1，
④再平均：；
（2）∵七（2）班的比赛成绩的方差0.4小于七（1）班方差3.2，
∴七（2）班的成绩更稳定，
∴我认为七（2）班能成为获胜班级．
（3）∵七（1）班又有一名学生参赛，成绩是8分，
∴七（1）班这6名选手成绩的平均数为：（分）．
∵七（1）班5名同学比赛成绩的平均数为8，
∴七（1）班这6名选手成绩的平均数与5名选手成绩的平均数相比不变．
∵七（1）班5名同学的比赛成绩方差为3.2，
七（1）班这6名选手方差：①平均：平均数为8，
②求差：﹣3，1，﹣1，2，1，0，
③平方：9，1，1，4，1，0，
④再平均：，
∴，
∴七（1）班这6名选手成绩的平均数与5名选手成绩的方差相比会变小．
故答案为：不变，变小．
【点评】本题考查了平均数和方差，解题的关键在于熟练掌握平均数和方差的公式．
14．（2024秋 玄武区期末）为了解A，B两款品质相近的无人机在一次充满电后运行的最长时间，分别随机调查了A，B两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：min），并对数据进行整理．
（1）填空：
平均数/min 中位数/min 众数/min 方差/min2
A 70 69.5 ①　72　 ②　17.8　
B 72 ③　71　 69 14
（2）根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由．
【考点】方差；中位数；众数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）72、17.8、71；
（2）A款无人机运行时间更有优势（答案不唯一，合理均可）．
【分析】（1）根据众数、方差及中位数的定义求解即可；
（2）根据平均数、中位数、方差的意义求解即可．
【解答】解：（1）A组数据为64、66、67、68、69、70、72、72、72、80，
则其众数为72，方差为[（64﹣70）2+（66﹣70）2+（67﹣70）2+（68﹣70）2+（69﹣70）2+（70﹣70）2+3×（72﹣70）2+（80﹣70）2]＝17.8，
B组数据为68、69、69、69、70、72、72、74、77、80，
所以其中位数为71，
故答案为：72、17.8、71；
（2）A款无人机运行时间更有优势，
∵A款无人机运行时间的平均时间大于B款无人机，
∴A款无人机运行时间更有优势（答案不唯一，合理均可）．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、中位数、众数、方差的定义．
15．（2024秋 茂名期末）某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩（单位：m）如下：
甲：1.71，1.65，1.68，1.68，1.72，1.73，1.68，1.67；
乙：1.60，1.74，1.72，1.69，1.62，1.71，1.69，1.75；
【整理与分析】
（1）由右表填空：a＝ 　1.68　，b＝ 　1.70　；
（2）这两人中，　甲　的成绩更为稳定．
平均数 众数 中位数
甲 1.69 a 1.68
乙 1.69 1.69 b
【判断与决策】
（3）经预测，跳高1.69m就很可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，应选哪位运动员参赛？请说明理由．
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】（1）1.68，1.70；
（2）甲；
（3）应该选择乙，理由见解析．
【分析】（1）利用众数及中位数的定义分别求得a、b的值即可；
（2）根据方差的计算公式分别计算方差，再根据方差的意义判断即可；
（3）看哪位运动员的成绩在1.69m以上的多即可．
【解答】解：（1）∵甲的成绩中1.68出现了3次，最多，
∴a＝1.68，
乙的中位数为b，
故答案为：1.68，1.70；
（2）分别计算甲、乙两人的跳高成绩的方差分别：
S甲2[（1.71﹣1.69）2+（1.65﹣1.69）2+…+（1.67﹣1.69）2]＝0.00065，
S乙2[（1.60﹣1.69）2+（1.74﹣1.69）2+…+（1.75﹣1.69）2]＝0.00255，
∵S甲2＜S乙2，
∴甲的成绩更为稳定；
故答案为：甲；
（3）应该选择乙，理由如下：
若1.69m才能获得冠军，那么成绩在1.69m及1.69m以上的次数乙多，所以选择乙．
【点评】本题考查平均数、中位数、众数和方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
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