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二次函数综合题常考考点 预测练
2025年中考数学三轮复习备考
一、解答题
1．已知二次函数（为常数）．该函数图像与x轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点．
(1)求线段的长度为；
(2)若二次函数图像对称轴为直线，点是直线上方二次函数的图像上的两个动点，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，连接．
①图中二次函数的表达式为______；
②已知点的横坐标比点的横坐标大2，的面积为，求的面积（用含的代数式表示）．
2．如图1是某校劳动基地示意图，其外轮廓可以近似看成一条抛物线的一部分，经测量，，，．如图2，李老师以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，取的中点，连接，过点作的垂线交抛物线于点，将基地划分为三个区域用于种植不同的蔬菜，测得．

(1)求抛物线的函数表达式．
(2)为了保证种植前期幼苗的成活率，需要在抛物线上选取一点，安装一个遮阳网，当遮阳网面积最大时，求点的横坐标．
3．如图，已知二次函数的图像与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，作直线．
(1)求直线的函数表达式；
(2)P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作于点Q，当线段取得最大值时，求点P的坐标．
4．许多数学问题源于生活．如图①是撑开后的户外遮阳伞，可以发现数学研究的对象一抛物线．在如图②所示的平面直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨，的交点．点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，，关于轴对称．设点、，的坐标分别是，．
(1)求抛物线对应的函数表达式（不要求写自变量取值范围）；
(2)如图③，分别延长，交抛物线于点，，求，两点之间的距离；
(3)如图③，以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向左平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求的值．
5．如图，抛物线经过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在抛物线上，在直线下方的抛物线上是否存在点P，使得的面积最大？若存在，请直接写出面积的最大值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．
(1)求线段的长；
(2)当时，若的面积是面积的两倍，求点D的坐标；
(3)延长交x轴于点F，，试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
7．已知二次函数（、为常数）．该函数图象经过点，与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．
(1)试用关于的代数式表示；
(2)用关于的代数式表示的面积，并描述随着的变化，的值如何变化？
(3)若二次函数图象对称轴为直线，过点平行于轴的直线交抛物线于点（不同于点），交对称轴于点，过点的直线（直线不过，两点）与二次函数图象交于，两点，直线与直线相交于点．若，请求出满足条件的直线的解析式．
8．如图1，抛物线与轴相交于，两点，抛物线与轴相交于点．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)如图2，点是直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值；
(3)如图3，已知直线与，轴分别相交于点，，直线与相交于点，在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
9．已知抛物线 (a为常数)，该函数图象的顶点为 M．
(1)若 求顶点M的坐标；
(2)将抛物线L先向右平移 个单位，再向上平移 个单位后得到抛物线，其顶点为 与x轴交于点A 和点B(点A在点B的左侧)，且点 在直线 上，若 求a的值；
(3)在（2）的条件下，点P为直线l下方抛物线上一动点，抛物线与直线l交于点C和点D(点C在点 D 的左侧)，当 面积最大时，求点 P 的坐标和 面积的最大值．
10．如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的一个交点为A，顶点C的坐标为．
(1)求二次函数的解析式；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)在直线上方的抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出所有符合条件的点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，且交轴于另一点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上是否存在点，使四边形面积最大？若存在，求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段．若线段与抛物线只有一个公共点，求的取值范围．
12．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，且，A点坐标为
(1)如图1，求抛物线的解析式．
(2)如图（2），若点是抛物线第一象限上的动点，且点横坐标为，连接，和，的面积为，求与t之间的函数关系式．
(3)如图3，在（2）的条件下，交y轴于点D，过P作垂直于x轴于点，是第四象限内一点，连接，，，，且，过D点作轴，满足，点K在线段上，连接，，且，求点坐标．
参考答案
1．(1)
(2)①②
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，抛物线与轴的交点，三角形面积，熟练掌握相关知识得是解题的关键．
（1）令，则，解得，得到，即可得到答案；
（2）①根据题意得到，得到，即可得到答案；
②由抛物线解析式得到，得到，求出直线的解析式为，设点的横坐标为，则点的横坐标为，得到，，，，求出的面积，得到的面积．
【详解】（1）解：令，则，
解得，
；
（2）解：①抛物线的对称轴为直线，
，，
抛物线解析式为，
故答案为：；
②抛物线解析式为，
，
令，则，
解得或，
点在点左侧，
，
设直线的解析式为，
将代入得，解得，
直线的解析式为，
设点的横坐标为，则点的横坐标为，
，，，，
，
的面积，
的面积．
2．(1)抛物线的解析式为；
(2)的面积最大值是，此时点的横坐标为
【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，二次函数与几何图形面积的计算是关键．
（1）根据题意，，，运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意，如图所示，当点在点右边时，设，过点作轴于点，则，，根据图示列式得到，结合二次函数最值的计算求解即可；如图所示，当点在点左边时，设，过点作轴于点，交于点，则，点在点右边与条件矛盾；由此即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，，
∵点是中点，
∴，且，
∴，
设二次函数解析式为，把点代入得，
，
解得，，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：在抛物线上选取一点，
如图所示，当点在点右边时，设，过点作轴于点，则，
∴，
∴，，
∴
，
∵，
∴当时，的面积最大，最大值是为；
如图所示，当点在点左边时，设，过点作轴于点，交于点，则，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∵，即点在点右边与条件矛盾；
综上所述，的面积最大值是，此时点的横坐标为．
3．(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法先求解抛物线为，再求解，，再求解一次函数的解析式即可；
（2）如图，过作轴交于，连接，，设，则，，再利用二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于，
∴，
∴，
∴，
令，则，
解得：，，
∴，
令时，，
∴，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为；
（2）解：如图，过作轴交于，连接，，
设，则，
∴，
∴，
当时，面积最大，而为定值，
∴此时最大，
∴．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数，二次函数的解析式，二次函数与面积问题，线段问题，熟练的利用二次函数的性质解题是关键．
4．(1)
(2)24
(3)6或
【分析】（1）设抛物线的解析式为，把点A，C的坐标代入，即可求解；
（2）运用待定系数法求出直线的解析式为，解方程组得到点E的坐标，根据对称得到点F的坐标，进而可解答；
（3）设平移后的抛物线解析式为，则得到此时抛物线与轴的交点，根据，结合两个三角形的底相同，即可得到，进而即可解答．
【详解】（1）解：设抛物线对应的函数关系式为：，
由题意得，把，代入得，
．
抛物线对应的函数关系式为：
（2）解：设直线的关系式为：
直线经过点
，即
直线的关系式为：
解方程组
，
点的坐标为，根据对称性可得点的坐标为
；
（3）解：设平移后的抛物线对应的关系式为：
令，则
此时抛物线与轴的交点设为
平移后抛物线和轴交点间的距离不变，又
则，即
解得的值为或（舍去负值）
的值为6或
【点睛】本题考查二次根式的实际应用，待定系数法求抛物线解析式，抛物线与直线的交点，函数图象的平移等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
5．(1)
(2)面积的最大值是，此时点P的坐标为
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，用函数的思想求最值．
（1）根据题意将A，B两点的坐标代入即可求出解析式；
（2）将点代入求得点，设点P的坐标为，过点P作于点M，过点E作于点N，则，，，，，根据，利用二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：把点，代入，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点在抛物线上，
∴，
∴，
设点P的坐标为，
如图，过点P作于点M，过点E作于点N，则，，，，，
∴
，
∴当时，面积的最大值是，此时点P的坐标为．
6．(1)
(2)
(3)直线恒过定点
【分析】（1）令，则，从而可得，求解得出、的坐标，即可得解；
（2）求出，连接、、、，作轴于，轴交于，设点的坐标为，则，求出，表示出，求出直线的解析式为，从而可得，求出，表示出，结合题意得出，解方程即可得解；
（3）求出，，作轴于，设，则，求出，，由等腰三角形的性质可得，得出，从而可得，求出直线的解析式为，进而可得，得出方程，解方程得出，即，求出直线的解析式为，即可得解．
【详解】（1）解：在中，令，则，
∴，
解得：，，
∴，，
∴；
（2）解：当时，，
∴，
如图，连接、、、，作轴于，轴交于，
，
设点的坐标为，则，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵的面积是面积的两倍，
∴，
整理得：，
解得：或，
∵，
∴，此时，
∴；
（3）解：∵，
∴，
在中，当时，，故，
如图：作轴于，
，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，则，
解得：，
∴，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴直线恒过定点．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的应用、等腰三角形的性质、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
7．(1)
(2)；当时，随着增大而减少；当时，随着增大而增大；当时，随着增大而减少；当时，随着增大而增大
(3)或
【分析】本题考查了二次函数的几何应用，二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（）把代入二次函数解析式解答即可求解；
（）利用（）求出二次函数解析式，进而求出点的坐标，再根据三角形面积公式表示出与的关系式，结合函数图象可得出随着的变化值的变化情况；
（）由对称轴为直线，可得，即得二次函数解析式为，可得，，，设，，利用待定系数法求出直线与直线的解析式，进而求出点的坐标，再根据解答即可求解；
【详解】（1）解：把代入二次函数解析式得，，
；
（2）∵，
∴二次函数解析式为，
当时，，
的坐标为，
当时，，
解得，，
∵点在点左侧，
的坐标为，的坐标为，
∴，
，
画函数图象如下：
当时，随着增大而减少；
当时，随着增大而增大；
当时，随着增大而减少；
当时，随着增大而增大；
（3）解：直线的解析式为或，理由如下：
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数解析式为，
令，则，
∴，，
把代入，得，
解得，，
，
设，，由题意知，且均不为，
设直线的解析式为，
由，
解得，
∴直线的解析式为，（记为①式）
直线过点，
，
∴，
同理设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，（记为②式）
同理得直线的解析式为，（记为③式）
由②③式联立得，
解得，
，
∵，
，
，，
，
∴，
，
，
，
，
，
当时，，
整理得，
，
，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
，
，，
直线的解析式为；
当时，，
整理得，
又，
，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
，
，，
直线的解析式为；
综上所述，当时，直线的解析式为或．
8．(1)
(2)
(3)存在，
【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，角度问题；
（1）将点代入，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）过点作轴交于点，进而得出的表达式，根据三角形的面积公式得出面积；
（3）先求得直线的解析式，得出，根据已知可得，取点，连接，得出，进而可得，即点在直线上，求得的解析式，联立抛物线解析式，即可求解．
【详解】（1）解：将点代入，得
解得：，
∴抛物线解析式为：
（2）由，当时，，
∴，
设直线解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线解析式为，
如图所示，过点作轴交于点，
设，则，点是直线上方拋物线上一动点，
∴，
∴面积为
∴当时，面积的最大值为，
（3）设直线的解析式为，代入，得，
解得：
∴直线的解析式为
∵已知直线与轴分别相交于点，
∴，
∴
∵
∴
如图所示，取点，连接，则，
又，
∴
∴
∵
∴是等腰直角三角形，则
∴，
∴点在直线上，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为
联立
解得：或（舍去）
∴．
9．(1)
(2)
(3)面积的最大值，此时
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数与面积综合；
（1）由得到抛物线顶点坐标为，把代入计算即可；
（2）平移后得到抛物线解析式为，则顶点为，代入得到，再根据列方程求解即可；
（3）在（2）的条件下，，先联立抛物线和直线l求出，，过作轴交直线l于，设，则，则，，根据二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线顶点坐标为，
∴当时，顶点M的坐标为；
（2）解：将抛物线先向右平移 个单位，再向上平移 个单位后得到抛物线解析式为，
∴顶点为，
∵点 在直线 上，
∴，
整理得，
令解得，
∵与x轴交于点和点 (点A在点B的左侧)，
∴，，
∴，
整理得，
联立，解得；
（3）解：在（2）的条件下，，
联立，解得或，
∵抛物线与直线l交于点C和点D(点C在点 D 的左侧)，
∴，，
过作轴交直线l于，如图，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，最大，此时．
10．(1)
(2)是直角三角形，理由见解析
(3)存在，符合条件的点P的横坐标为或
【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，一次函数的几何综合，解一元二次方程，勾股定理的逆定理等知识．
（1）设二次函数解析式为，将顶点代入解析式得，再将代入求解即可；
（2）过点C作轴于点D，过点A作于点E，，然后根据勾股定理的逆定理即可解决问题；
（3）设点P的坐标为，过点P作，垂足为H，过点P作轴交直线于点Q，连接，求出直线的解析式为，得点Q的坐标为，得，解方程即可．
【详解】（1）解：设二次函数解析式为，
将顶点代入解析式得，
∵二次函数的图象与x轴交于点，
∴，
解得，
∴二次函数解析式为；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
，解得：或，
根据题意，
如图1，过点C作轴于点D，
∴，
过点A作于点E，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：存在，理由如下：
，
设点P的坐标为，
过点P作，垂足为H，过点P作轴交直线于点Q，连接，
设直线的解析式为，将代入得，
，
解得：
∴直线的解析式为，
∴点Q的坐标为，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵轴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴所有符合条件的点P的横坐标是或．
11．(1)；
(2)当时，四边形面积最大，其最大值为8；
(3)当或时，线段与抛物线只有一个公共点．
【分析】（1）令，由，得点坐标，令，由，得点坐标；将、的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，
（2）由二次函数解析式令，求得点坐标；过点作轴，与交于点，设，则，由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得的值，便可得点的坐标；
（3）根据旋转性质，求得点和点的坐标，令点和点在抛物线上时，求出的最大和最小值便可．
【详解】（1）解：令，得，
∴，
令，得，解得，，
∴，
把、两点坐标代入得，
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：令，得，
解得，，或，
∴；
过点作轴于X，与交于点，如图，

设，则，
∴，
∵，
∴，
∴当时，四边形面积最大，其最大值为8；
（3）解：∵将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段，如图，

∴，，
∴，，
当在抛物线上时，有，
解得，，
当点在抛物线上时，有，
解得，或2，
∴当或时，线段与抛物线只有一个公共点．
【点睛】本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式．
12．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求出点的坐标，利用待定系数法求解即可得；
（2）过作于点，于点，连接，先求出的长，再根据求解即可得；
（3）延长和交于，连接，过用于，延长交于点，连接，先根据圆周角定理可得，则，再证出，则，然后证出，根据相似三角形的性质可得，据此建立方程，解方程可得的值，由此即可得．
【详解】（1）解：∵时，，
∴点的坐标，
∴，
∴，
∵点也在抛物线上，
∴，解得，
∴．
（2）解：如图，过作于点，于点，连接，
由题意得：，
∴，．
∵，，，
∴，
∴
，
所以与之间的函数关系式为．
（3）解：如图，延长和交于，连接，过用于，延长交于点，连接，
∵，，，
∴，，，，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在以点为圆心、长为半径的圆上，
由圆周角定理得：，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，即，
∴，
∵轴，轴，
∴轴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴或（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查了圆周角定理、二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形全等的判定与性质等知识，较难的是题（3），通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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