资源简介

■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
吉林地区普通中学2024-2025学年度高中毕业年级第四次调研测试
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
数学答题卡
17.(15分)
续15题：
姓名
,.,
条码粘贴处
注子
请将准考运
的方糖来色字迹
正确填涂
用色
2迹的
意
愿区内作答，超出范国的答案无效
签字笔填涂。
4
样
错误填涂
CQ]
5.
,不要折叠、不受养破、养皱，不准使用涂改例
MX∞[11
选择题（请用2B铅笔填涂）
一、
选择题共8小题
二、选择题共3小题
16.(15分)
123
图
5
9
0
D
AB G
11
4ABC]D
E
非选择题（请用0.5mm黑色签字笔作答）
三、填空题
13
4
(2分)
(3分)
四、解答题
15.(13分)
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请考生保持答题卡干净整洁，不要污损、破坏！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
18.(17分)
续18题
续19题
19.(17分)
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效吉林地区普通高中 2024—2025学年度高中毕业年级第四次调研测试
【9题解析】
数学试题参考答案 【题源】人教A版数学选择性必修第三册 P52 T2 .
一、单项选择题： 【11题解析】
1 2 3 4 5 6 7 8 C．连接 DE交 AB于G，连接FG 交圆O于M ，则FM 即为过 D ， E ，F 三点的平面与桶盖的交
C B A D A B D C 线. AB //CD，则 FGA即为所求角.
【7题变式教学】 易知 E 为 BC 的三等分点且靠近C ,
【题目】已知公比 q 0的等比数列{an}的前 n项和为 Sn ，且满足 a1 2， a1 a2 6a3， BG BE
1 由 2，求得 BG 4 .N ≤ Sn ≤MS 恒成立，则M N 的最小值为
CD CE
n
1 3 1 在 RtΔOFG tan FGA
OF 1
中， .
（略解） q ， Sn 1 ( )
n ， OG 3
3 2 3
D．当球O 与球O 、桶盖、桶壁均相切时，球O 的半径最大.
当 n为奇数时， S
3 1
n
n 3 2 1 2
2
1 ( ) ，此时 ＜S ≤2，
3 2 n
O H O B
n S 3 1 (1 )n 4 3 如图，在轴截面 ABCD中，由
2 2 ,可求得另一个球半径的最大值为 2 2 6 ．
当 为偶数时， n ，此时 ≤Sn＜ ，2 3 3 2 O1O O 1B
1 (0, ) 7 S 1 3 1 5因为 y x 在 递增， ≤ ≤ 且S ≠ 三、填空题：
x 12
n S 2 n S 6 ，n n
3 7 11
M N 的最小值为 312． 13． a 2n 12 12 12 n 2 14． [ 8,8]
15
（ 分）； ．（ 分）
2 15
【8题解析】
【13题变式教学】
M ( 1 t 2 ,t )， M 在半圆 x 2 y 2 1(x 0)上.
【题目】已知集合 A {x | x 4n,n ∈N }， B {x | x 5n 4 ,n ∈N } ，将 A B中所有元素按从小

如图，当M 在 (0,1) 2时， MON 取最小值，最小值为 ，此时 e(M ,N )取最小值，最小值为
4 1
. 到大的顺序构成数列{an }，则数列{an }2 的通项公式为 .
（略解）设 4k 5m 4，则 5m 4k 4 (5 1)k 4 C 05k ( 1)0 C 15k 1( 1)1k k ... C
k
k 5
0 ( 1)k 4，
二、多项选择题：
等式右侧为 5的倍数，所以C k 50 k9 10 11 k ( 1) 4 ( 1)
k 4为 5的倍数．
AC BCD ACD k 1 2n 1 4n 2故 为大于 的奇数． 所以 an 4 2
高三数学试题答案 第 1 页 （共 7 页）
【14题解析】 m (0,1) 1 (1, )
AB 4， AB 4AM ， AM 1， BM 3 .
h (m) 0
PB 2 PM ， 点 P 的轨迹是以点 A为圆心，2为半径的圆.
h(m) 单调递减 3 单调递增
AP AB AP AB cos PAB 8,8 .
所以，当m 1时， h(m)取得最小值．
线段 PM 的垂直平分线与 PA交于点Q， QA QM QA QP AP 2 1，
所以点 P 到直线 l ： x y 2 0的最短距离 d 3 3 2 ．··········································5 分
Q A M . QB ABQ . 2
2
点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆 当 与椭圆相切时， 的正切值最大
评分细则：
【题源】人教A版数学选择性必修第二册P97 例 6和P115 T6 .
步骤一：通过求导求出m 1（3分）
四 、解答题
3 2
15．【解析】 步骤二：利用点到直线距离公式求出最短距离 d （2 分）
2
（Ⅰ）法一：设点 P(m,lnm)，
（Ⅱ） g(x) x(lnx x) xlnx x 2 g (x) lnx 1 2x
则点 P 到直线 l 的距离最短需满足 f (x)在点 P 处的切线与 l 平行．
1 g (x)在[e
2 ,1]单调递增．
f (x) lnx f (x)
x
2 2
1 g (e ) 2 1 2e
2 1 0， g (1) 3 0
切线的斜率 k 1 m 1． ············································································ e23 分
m
x (e 2 P(1,0) 0 ,1)，使 g (x0 ) 0．··················································································8 分
|1 0 2 | 3 2 当 x (e 2 , x0 )时， g (x) 0， g(x)单调递减；
则点 P 到直线 l ： x y 2 0的最短距离 d ．··································5 分
12 ( 1)2 2
当 x (x0 ,1)时， g (x) 0， g(x)单调递增．······························································ 10 分
法二：设点 P(m,lnm)，
2
g(e 2 ) 2e 2 e 4 1 2e 4 0， g(1) 1 0
点 P l x y 2 0 d | m lnm 2 | | m lnm 2 |到直线 ： 的距离 ． e
12 ( 1)2 2 g(1) g(e 2 )
设 h(m) m lnm 2，m (0, )．
g(x)max g(1) 1．····························································································· 13 分
h (m) 1 1 m 1
m m 评分细则：
令 h (m) 0，解得m 1．························································································ 3 分 步骤一：找出导数值 g (x0 ) 0（3 分）
当m变化时， h (m)， h(m) 步骤二：利用导数判断函数 g(x)单调性（2 分）的变化情况如表所示
步骤三：求出 g(x)max 1（3 分）
高三数学试题答案 第 2 页 （共 7 页）
16．【解析】 PA 平面PBC ，BG 平面PBC ， PA BG .
法一：（Ⅰ）取 PC中点G，连接FG ， BG，又F 是 PD中点， 又 PA PC P， PA 平面PAC ， PC 平面PAC ， BG 平面PAC .
FG //CD FG 1CD 1 且 .··························································································2 分 点 B到平面 PAC 的距离为BG PC 2 .····························································15 分
2 2
E是 AB中点，四边形 ABCD是矩形， （注：此处亦可用等体积法求解.设点 B到平面 PAC 的距离为h，
EB //CD EB 1CD V V 1 S 1 且 . 由
2 B PAC
C PAB 得 3 ΔPAC
h SΔPAB BC ，3
FG //EB， 四边形 EFGB 1 1是平行四边形， EF // BG . 即 PA PC 1 1 h PA PB BC ，解得 h 2 ）
3 2 3 2
又 EF 平面PBC ， BG 平面PBC ， EF //平面PBC .·············································· 6 分 评分细则：
AP H FH EH FEH // PBC 步骤一：证明BC 平面PAB （2 分）（注：还可取 中点 ，连接 ， ，证平面 平面 ）
π
步骤二：找出二面角的平面角 BPC （3 分）
评分细则： 4
步骤一：构造ΔPCD中位线（2 分） 步骤三：求出点到平面的距离 2 （4 分）
步骤二：利用线面平行判定定理证明 EF //平面PBC 法二：（Ⅰ） 平面PAB 平面ABCD，平面PAB 平面ABCD AB，（4 分）
PAB ABCD PAB ABCD AB BC 平面ABCD， BC AB， BC 平面PAB .（Ⅱ） 平面 平面 ，平面 平面 ，
BC ABCD BC AB BC PAB ······················································ 又 PA PB ，则以 P 为原点， PB， PA所在直线分别为 x轴、 y轴，过点 P 且与 BC 平行的直线为 平面 ， ， 平面 . 8 分
2 2
又 PA 平面PAB ， BC PA . z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 PA a， PB b，则 a b 8 .
PA PB PB BC B PB PBC BC PBC PA PBC 依题意得 P(0,0,0)， A(0,a,0)， B(b,0,0)，C(b,0,2)， D(0,a,2)， E(
b , a ,0)，F (0, a ,1) .···· 3 分
又 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 . 2 2 2
b
PC PBC PA PC EF ( ,0,1)，平面PBC 的一个法向量为m (0,1,0)， EF m 0 .又 平面 ， . 2
BPC PAB PAC π BPC ·········································· 又 EF 平面PBC ， EF //平面PBC .······································································· 6 分即为平面 与平面 的夹角， . 11 分
4
b b b
又 BC PB， BC 2， PB BC 2， PC 2 2 . （注：此处亦可证明如下：PC的中点G( ,0,1)，则 BG ( ,0,1)，EF ( ,0,1)，2 2 2
又由（Ⅰ）知G为 PC的中点， BG PC . BG EF ， BG // EF ，又 EF 平面PBC ，BG 平面PBC ， EF //平面PBC .）
高三数学试题答案 第 3 页 （共 7 页）
（Ⅱ）平面PAB 的一个法向量为 n1 (0,0,1)，······························································7 分 BG EF ， BG // EF ，
PA (0,a,0) PC (b,0,2) 又 EF 平面PBC ， BG 平面PBC ， EF //平面PBC .·············································· 6 分 ， ，
PAC n (x, y, z) （Ⅱ）平面PAB 的一个法向量为m (0,0,1)，······························································ 7 分设平面 的一个法向量为 2 ，
n2 PA 0， ay 0， n (2,0, b) .························································· AC (0,2 2,2)， AP ( 2 sin , 2 cos 2,0)，则 取 2 9 分
n2 PC 0. bx 2z 0.
π 设平面PAC 的一个法向量为 n (x, y, z)， 平面 PAB 与平面 PAC 的夹角为 ，
4
n AC 0， 2 2 y 2z 0，
cos π | cos n ,n | | n1 n | b 2
则
1 2
2 ，解得 b 2 .······································12 分 n AP 0. 2 sin x 2(cos 1) y 0.4 | n1 || n2 | 4 b2 2
取 n (cos 1, sin , 2 sin ) .··················································································9 分
B(2,0,0)， PB (2,0,0)，
平面 PAB 与平面 PAC π的夹角为 ，
平面PAC 的一个法向量为 n2 (2,0, 2) . 4
cos π | cos m,n | |m n | | 2 sin | 2 ，
点B到平面 PAC 的距离d | PB n 2 | 4 2 .··················································· 15 分 4 |m || n | (cos 1)2 sin2 2sin2 2
| n2 | 2 2
解得 cos 0 π或 1. 0 π， ···································································12 分
法三：（Ⅰ） 平面PAB 平面ABCD，平面PAB 平面ABCD AB， 2
BC 平面ABCD， BC AB， BC 平面PAB . 平面PAC 的一个法向量为n (1, 1, 2)， AB (0,2 2,0)，
以 E 为原点，在平面 PAB 内过点 E 且与 AB垂直的直线为 x 轴，以 AB所在直线为 y轴，过点 E 且 | AB n | 2 2
点 B到平面 PAC 的距离 d 2 .···················································· 15 分
| n | 2
与 BC 平行的直线为 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 PEB (0 π)，
评分细则：
依题意得 P( 2 sin , 2 cos ,0)， A(0, 2,0)， B(0, 2,0)，C(0, 2,2)，
步骤一：建立空间直角坐标系，标出点的坐标（3 分）
D(0, 2,2)， E(0,0,0)，··························································································3 分
步骤二：证明 EF //平面PBC （3 分）
取 PC中点G，连接BG，
步骤三：求两个法向量，利用二面角求值（1 分+2 分+3 分）
2
由题可得F ( sin , 2 cos 2 2 2 ,1)， EF ( sin , cos 2 ,1)，
2 2 2 2 2 2
步骤四：求出点到平面的距离 2 （3 分）
G( 2 sin 2 , cos 2 ,1)， BG 2 ( sin , 2 cos 2 ,1) .
2 2 2 2 2 2
高三数学试题答案 第 4 页 （共 7 页）
17．【解析】 步骤三：确定 c的取值范围（2 分）
b 3 a 2c cosB a
2 c 2 b2 1
（Ⅰ） ， ，由余弦定理得， 步骤四：利用正弦定理和面积公式，表示 rR，求出取值范围（5 分+2 分）
2ac 4
5c 2 9 1 6 6 18．【解析】 ，解得， c 或 （舍去）··························································4 分
4c 2 4 2 2 1
（Ⅰ）设运动员甲进行 4次投篮，命中次数为 X ， X ~ B(4, )
3
a 2c 6 ΔABC 的周长为 a b c 6 3 6 3 6 3 ．···························· 6 分 2 2 3 1 4
2 2
则 P(X ≥2) C 2 1 2 1 C 3 2 1 33 114 4 C
4
4 .·························4 分
3 3 3 3 3 81 27
（Ⅱ）法一：由余弦定理得， b2 a 2 c 2 2accosB 9，整理得， c 2 (5 4cosB) 9
（Ⅱ）（ⅰ）法一： P(Z 4) (1 p)3 p，····································································6 分
cosB ( 1,1) 9 c 2 (1,9)，即 c (1,3)， ·············································8 分
5 4cosB
设 f ( p) (1 p)3 p， 0≤ p≤1，
a b c,

法二：由 a c b, 可得，1 c 3，即 c (1,3)，······················································· 8 分 f ( p) 3(1 p)2 p (1 p)3 (1 p)2 (1 4 p)，

b c a.
令 f ( p) 0，解得 0≤ p 1 ；令 f ( p) 0 1，解得 p 1，
2R b 3 R 3 4 4由正弦定理得，
sinB sinB 2sinB
则 f ( p)
1 1
1 1 ac sinB 在 0, 上单调递增，在 ,1 上单调递减， SΔABC (a b c)r ac sinB r
4 4
2 2 a b c
当 p
1
时， f ( p)取最大值，即 P(Z 4)取得最大值. ············································· 10 分
ac sinB 3 3ac 6c 2 c 2 4
rR ，··········································· 13 分
a b c 2sinB 2(a b c) 2(3c 3) c 1 法二： P(Z 4) (1 p)3 p，···················································································· 6 分
2 2
令 t c 1 t (2,4) rR (t 1) t 2t 1 1， t 2 4
t t t P(Z 4) 1 (1 p)(1 p)(1 p)3 p≤ 1 3 3 p 3 p 27 ，
3 3 4 256
函数 y 1 t 2在 (2,4)上单调递增
t 1当且仅当1 p 3 p，即 p 时，取“=”，此时 P(Z 4)取得最大值. ·························· 10 分
4
rR 1 ,
9 rR 1 , 9 ，即 的取值范围是 . ······························································15 分
2 4 2 4 （ⅱ）由题意可知 的所有可能取值为：1， 2， 3， ， n .
k 1
评分细则： k≤n 1 P( k) 1 1 1 1 3
k 1
当 且 k N 时，

，·······························11 分
4 4 4 4
步骤一：使用余弦定理求出 c 6 （4分） 1 n 1 3 n 12 k n P( n) 1 当 时， ，···························································12 分
4 4
步骤二：求ΔABC 的周长（2 分）
高三数学试题答案 第 5 页 （共 7 页）
1 3 2 n 2 n 1E( ) 2 1 3 3 1 3 1 3
x 1 1，
(n 1) n 解得 x 0，y 1.
4 4 4 4 4 4 4 4 y 2 3，
1 3 0 3 1 3 2 n 2 n 1 3 3 因此点 P 的坐标是 (0, 1) .··························································································4 分 1 2 3 (n 1) n ，·················· 14分
4 4 4 4 4 4 π
（Ⅱ）(ⅰ)在双曲线 E 上任取一点M (x , y)，将OM (x , y)绕原点O沿逆时针方向旋转 ，
3 0 3 1 3 2 3 n 2
3
设 S 1 2 3 (n 1) ①
4 4 4 4
得到OM (xcos π π π π 1 3 3 1 ysin , xsin ycos ) ( x y , x y)，·························6 分
3 3 3 3 2 2 2 2
3 1 2 3 n 1
则 S 1 3 3 3 2 3 (n
3
1) ②
4 4 4 4 4 M ( 1 x 3
3x 2 3
y , 3 x 1 y)在曲线 y 上，
2 2 2 2 3 x
①－②得：
3 n 1 3 1 3 1 3 2 3 x y ( x y) ，
1 3 1 3 2 3 n 2 n 1
1
S 1 (n 1) 3 4
n 1 n 1 2 2 3 2 2 1 3
3 (n 1)
3
4 (n
3
3) ， x y
4 4 4 4 4 1 4 4
2 2
4 x 2E y
2
化简得双曲线 的标准方程为： 1 .······························································· 8 分
····························································································································16分 12 4
E( ) 1 3
n 1 n 1 n 1 c 2 3
3 3 3n 2 2 ······································· S n 4 (n 3) n 4 .······························ 17
a 2 3， b 2， c a b 4
分 离心率
e 10 分
4 4 n 1 a 34 4 4
评分细则： (ⅱ) A( 2 3 ,0)，F (4,0) . 设M (x1 , y1 )， N (x2 , y2 ).
步骤一：确定命中次数服从二项分布， P(X ≥2) 11 （4 分） 当直线 l的斜率为 0时，三角形不存在，所以设直线 l方程为： x my 4，则m 0 .
27
1
步骤二：求 P(Z 4)及 P(Z 4)取得最大值时 p （2 分+4 分） x
2 y 2
4 1，由 12 4 联立得 (m 2 3) y 2 8my 4 0 .

步骤三：表示 P( k)， P( n)， E( )（1分+1分+2 分） x my 4，
2 8m
步骤四：利用错位相减法，化简 E( )（2分+1 分） m 3， 0恒成立， y1 y2 ，y
4
1 y2 .··········································2 2 12 分m 3 m 3
19．【解析】 AM x 2 3线段 的中点为 ( 1 , y1 ) y， k 1
2 2 AM
，
x1 2 3
（Ⅰ）设 P(x , y)，则 AP (x 1, y 2)， AB ( 2 , 2 2).
AM y y1 x1 2 3 (x x1 2 3π 7π 线段 的垂直平分线为 )，
将 AB绕点 A沿顺时针方向旋转 到 AP ，相当于沿逆时针方向旋转 到 AP ， 2 y1 24 4
AP ( 2cos 7π 7π 7π 7π 2 2sin , 2sin 2 2cos ) ( 1, 3) . 即 2(x1 2 3)x 2 y1 y y
2
1 (x
2
1 12) 0 .4 4 4 4
高三数学试题答案 第 6 页 （共 7 页）
x 21 12 3 y
2
1，x1 my1 4，
线段 AM 的垂直平分线为 (my 21 4 2 3)x y1 y 2 y1 0 .
同理线段 AN 的垂直平分线为 (my2 4 2 3)x y
2
2 y 2 y2 0 .····································· 14 分
(my 4 2 3)x y y 2 y 2 0，
设T (x0 , y0 ) T
1 0 1 0 1
， 点 是ΔAMN 的外心，则有
(my 4 2 3)x y y 2 y
2
2 0 2 0 2 0，
y1，y2是方程 (my 4 2 3)x0 yy 2 y
2
0 0，即 2 y
2 (x0m y0 ) y (4 2 3)x0 0的两个根.
x m y (4 2 3)x
y 0 0 01 y2 ， y1 y2 2
，
2
8m x0m y 0 4 (4 2 3)x2 ，
0 ，
m 3 2 m 2 3 2
8m x m y 1 y
将两个式子作比得， 0 0 (m 0 )，
4 (4 2 3)x0 (4 2 3) x0
y
0 (7 4 3)m，
x0
1 y
k kOT
0 7 4 3 .
m x0
即直线OT 与直线 l的斜率之积为定值 7 4 3 .··························································· 17 分
评分细则：
步骤一：求点 P 的坐标（4 分）
步骤二：表示OM ，求双曲线的标准方程和离心率（2分+2分+2分）
步骤三：通过联立韦达得到 y1 y2，y1 y2（2分）
步骤四：求线段 AM ， AN 的垂直平分线方程（2分）
步骤五：求直线OT 与直线 l 的斜率之积为定值 7 4 3（3分）
【题源】人教A版数学必修第二册P53 T11 .
高三数学试题答案 第 7 页 （共 7 页）吉林地区普通高中2024-2025学年度高中毕业年级第四次调研测试
数 学 试 题
说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用2b铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。
3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的。
1. 已知命题, ，命题, ，则
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
2. 已知复数为纯虚数，则实数的值为
A. B. C. D.
3. 为了解教育改革制度出台后学生每周的锻炼时长情况，从某市中小学抽取样本，经分析得到
改革后学生每周的锻炼时长(单位：小时 )近似服从正态分布，若，
则
B. C. D.
4. 直线的一个方向向量为，倾斜角为，则
A. B. C. D.
5. 已知正四棱锥的底面边长为，侧棱与底面所成角为，则该正四棱锥的体积为
A. B. C. D.
6. 已知定义域为的奇函数满足，则
A. B.
C. 的最小正周期为 D. 是曲线的一条对称轴
7. 已知递减的等比数列前项和为， 且满足，， 若
恒成立，则的最小值为
A． B． C．2 D．
8. 设, ，定义余弦距离（为原点）.若
, ，则的最小值为
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，则
从两批产品中各取件，都取到次品的概率为
从两批产品中各取件，都取到次品的概率为
两批产品混合后任取件，该产品是次品的概率为
两批产品混合后任取件，若取到的是次品，则它取自第一批产品的概率为
已知函数，则
A. 当时，函数的单调递减区间是
B. 当时，函数的单调递增区间是
C. 是函数的极大值
D. 函数有且只有一个零点
11. 如图，一个带有盖子的密闭圆台形铁桶中装有两个实心球（桶壁的厚度忽略不计），其中一
个球恰为铁桶的内切球（与圆台的上、下底面及每条母线都相切的球），为该球与母线 的切点. ，分别为铁桶上、下底面的直径，且，，为 的中点，则
A. 铁桶的母线长为
B. 铁桶的侧面积为
C. 过，，三点的平面与桶盖的交线与直线所成角的正切值为
D. 桶中另一个球的半径的最大值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。其中14题的第一个空填对得2分，第
二个空填对得3分。
若函数是定义域为的偶函数，则 .
已知集合，，将中所有元素按从小 到大的顺序构成数列，则数列的通项公式为 .
已知,,且动点满足. 则的取值范围为 ； 若线段的垂直平分线与交于点，则的正切值的最大值为 .
四、解答题：本大题共小题，共分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知函数．
(Ⅰ)若点是曲线上的动点，求点到直线的最短距离；
(Ⅱ)若函数，求在上的最大值．
16.（本小题满分15分）
如图，四棱锥的底面是矩形，，平面，
，，，分别是，的中点.
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)若平面与平面的夹角为，求点到平面的距离.
17．（本小题满分15分）
在中，角，，的对边分别为，，，且，．
(Ⅰ)若，求的周长；
(Ⅱ)若内切圆、外接圆的半径分别为，，求的取值范围.
18．（本小题满分17分）
在重伯努利试验中，用表示事件发生的次数，则称随机变量服从二项分布，它关 注试验成功的总次数；用表示事件第一次发生时已经进行的试验次数，则称随机变量 服从几何分布，它关注的是首次成功发生的时机．在某篮球训练的投篮环节中，运动员甲每 次投篮均相互独立，每次投篮命中的概率为．
(Ⅰ)当时，求运动员甲进行次投篮，命中次数不少于次的概率；
(Ⅱ)设表示运动员甲首次命中时的投篮次数.
(ⅰ) 求及此概率取得最大值时的值；
(ⅱ) 若甲首次命中就结束投篮，且甲最多投篮次，第次未命中也结束投篮，设表 示甲投篮的次数，利用(ⅰ)中的值，求的数学期望.
（本小题满分17分）
已知对任意平面向量，把向量绕其起点沿逆时针方向旋转角后得到向量
，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.
(Ⅰ)若平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点
，求点的坐标；
(Ⅱ)若双曲线绕坐标原点逆时针旋转得到曲线.
(ⅰ) 求双曲线的标准方程及离心率；
(ⅱ) 双曲线的左顶点为，右焦点为，过点且斜率存在的直线交双曲线于 ，两点，点是的外心，求证：直线与直线的斜率之积为定值.
命题、校对：高三数学核心组
高三数学试题 第1页 （共6页）

展开更多......

收起↑