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6.1.1　空间向量的线性运算
一、 单项选择题
1 如图，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量中相等的是(　　)
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
(第1题) (第4题)
2 (2024云浮月考)已知空间中不共线的向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A. A，B，C B. B，C，D
C. A，B，D D. A，C，D
3 (2023威海期末)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点E满足＝－＋＋，则下列选项中正确的是(　　)
A. 3＝ B. 3＝2
C. ＝3 D. 2＝3
4 (2023衡阳期末)如图，在四面体PABC中，E是AC的中点，＝3，设＝a，＝b，＝c，则 等于(　　)
A. a－b＋c B. a－b＋c
C. a＋b＋c D. a－b＋c
5 (2024潍坊期末)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，点P在AC1上，且＝，则等于(　　)
A. a＋b＋c B. a＋b＋c
C. －a＋b＋c D. a－b－c
(第5题) (第6题)
6 如图，在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
A. a－b＋c B. a－b＋c
C. a＋b＋c D. a＋b＋c
二、 多项选择题
7 (2024河北期中)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A. －＝ B. －＝2
C. ＝ D. ＝
8 (2024武汉期中)如图，在空间四边形OABC中，M，N分别是边OA，CB上的点，且AM＝2MO，CN＝2NB，G是线段MN的中点，则下列向量表示正确的是(　　)
A. ＝－＋＋
B. ＝－＋
C. ＝＋－
D. ＝＋＋
三、 填空题
9 (2024济南期末)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则用a，b，c表示＝________．
10 (2024江苏月考)若空间非零向量e1，e2不共线，则使2ke1－e2与e1＋2(k＋1)e2共线的k的值为________．
11 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝m＋n，其中m＝1，n∈[0，1]，则△AB1P周长的最小值是________．
四、 解答题
12 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M是对角线AC1的中点，化简下列表达式：
(1) ＋＋；
(2) ＋－.
13 证明：若坐标平面内的三点A，B，C共线，O为坐标原点，则存在三个均不为零的实数l，m，n，使得l＋m＋n＝0，且l＋m＋n＝0，反之也成立．
6.1.1　空间向量的线性运算
1. D　由题意，得四边形ABCD是平行四边形．对于A, 与的方向相反，不是相等向量，故A错误；对于B, 与的方向相反，不是相等向量，故B错误；对于C, 与的方向不同，不是相等向量，故C错误；对于D, 与的方向相同，大小相等，属于相等向量，故D正确.
2. C　对于A，因为＝＋＝－4a＋8b，所以不存在任何λ∈R，使得＝λ，所以A，B，C三点不共线，故A错误；对于B，因为＝＋＝2a＋4b，所以不存在任何μ∈R，使得＝μ，所以B，C，D三点不共线，故B错误；对于C，因为＝＋＋＝3a＋6b，所以＝3，所以A，B，D三点共线，故C正确；对于D，因为＝＋＝－4a＋8b，所以不存在任何t∈R，使得＝t，所以A，C，D三点不共线，故D错误．
3. A　由＝－＋＋，得－＝－(－)－＋(－)，整理，得3＝－＝＝.
4. B　由题意，得＝－＝(＋)－＝a－b＋c.
5. A　在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝＋＋＝＋＋.因为＝a，＝b，＝c，点P在AC1上，且＝，所以＝(＋＋)＝a＋b＋c.
6. A　由题意，得＝＋＝－＋＝－＋×(＋)＝－＋＝a－b＋c.
7. AC　－＝＋＝，故A正确，B错误；＝，故C正确，D错误．故选AC.
8. CD　在空间四边形OABC中，＝2，＝2，G是线段MN的中点，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，＝(＋)＝×＋(＋)＝＋＋，故D正确；对于A，＝－＝＋＋－＝－＋＋，故A错误；对于B，＝－＝＋＋－＝－＋，故B错误；对于C，＝－＝＋＋－＝＋－，故C正确．故选CD.
9. －a＋b＋c　由题意，得＝＋＝＋－＝－a＋b＋c.
10. －　由题意，得存在实数λ使得2ke1－e2＝λ[e1＋2(k＋1)e2]＝λe1＋2λ(k＋1)e2，即解得
11. ＋　因为＝m＋n＝m＋n，其中m＝1，n∈[0，1]，所以点P在线段CC1上．如图所示，沿AA1展开正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面，故△AB1P的周长为AB1＋AP＋B1P＝＋AP＋B1P≥＋＝＋，当B1，P，A三点共线时，取等号．
12. (1) ＋＋＝＋＝.
(2) ＋－＝(＋)－＝－＝＋＝＋＝＝.
13. ①若l＋m＋n＝0(l，m，n均不为0)，
则－－＝1，
所以－＝1＋.
又l＋m＋n＝0，
所以＝－－＝(1＋)－＝＋(－)＝－，
所以－＝－，
所以＝－，
所以A，B，C三点共线．
②若A，B，C三点共线，则存在常数λ，
使＝λ(λ≠0 且λ≠1)，
所以－＝λ(－)，
所以＋(λ－1)－λ＝0.
令l＝1，m＝λ－1，n＝－λ，
则由λ≠0且λ≠1，知l，m，n，不为零，
所以l＋m＋n＝0，
且l＋m＋n＝0.

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