资源简介

6．1.2　空间向量的数量积
一、 单项选择题
1 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，若线段AC1＝，则∠DAA1等于(　　)
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
2 已知向量a，b，c两两垂直，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a＋2b－3c)·(3a＋b＋c)等于(　　)
A. 2 B. －2 C. 16 D. －16
3 (2024益阳期末)已知空间向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝4，cos 〈a，b〉＝，则|c|等于(　　)
A. 3 B. C. D. 21
4 (2024石家庄期中)如图，在三棱锥O-ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，OA＝2OB＝2，若CB⊥OA，则OC等于(　　)
A. 1 B. 2 C. D.
5 (2024河源期末)如图，在正三棱锥P-ABC中，高PO＝6，AB＝3，E，F分别为PB，PC的中点，则·等于(　　)
A. B. C. D.
6 已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则·的取值范围为(　　)
A. [0，4] B. [0，2] C. [1，4] D. [1，2]
二、 多项选择题
7 (2024安徽开学考试)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，AB⊥AD，∠A1AD＝∠A1AB＝60°，P为A1D与AD1的交点，设＝a，＝b，＝c，则下列结论中正确的是(　　)
A. ＝a＋b－c B. ＝－a＋b＋c
C. ||＝ D. ·＝
8 (2024沧州期末)在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论中正确的是(　　)
A. ·＝0
B. ·＝2
C. 在上的投影向量为
D. ＝(＋－)
三、 填空题
9 若空间非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________．
10 (2023衡阳期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1＝3，E，F分别为棱AB，A1C1的中点，则·＝________．
11 已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，则·＝________，||＝________．
四、 解答题
12 (2024江门期中)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为60°.求：
(1) BD1的长；
(2) 与夹角的余弦值．
13 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，BC⊥AB，AB＝BC＝a，PA＝b.
(1) 确定在平面ABC上的投影向量，并求·；
(2) 确定在直线AB上的投影向量，并求·.
6．1.2　空间向量的数量积
1. C　因为＝＋＋，所以||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2×1×1×(－)＋2×1×1×(－)＋2×1×1×cos ∠DAA1＝2，所以cos ∠DAA1＝，所以∠DAA1＝60°.
2. D　因为向量a，b，c两两垂直，所以a·b＝a·c＝c·b＝0，所以(a＋2b－3c)·(3a＋b＋c)＝3|a|2＋2|b|2－3|c|2＝－16.
3. C　由题意，得c＝－(a＋b)，|a|＝1，|b|＝4，cos 〈a，b〉＝，所以|c|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|·cos 〈a，b〉＝1＋16＋2×1×4×＝21，故|c|＝.
4. A　由题意，得＝－.又CB⊥OA，故⊥，所以·＝0，即(－)·＝0，所以·－·＝0，则1×2×cos －2||·cos ＝0，解得||＝1，即OC＝1.
5. B　在等边三角形ABC中，因为AB＝3，所以△ABC的高为h＝3×＝，所以OC＝h＝×＝3.在Rt△POC中，可得PA＝PB＝PC＝＝＝3.又E，F分别为PB，PC的中点，所以EF＝，OE＝OF＝PC＝.在△OEF中，可得cos∠EOF＝＝＝，所以·＝||·||cos ∠EOF＝××＝.
6. B　设正方体内切球的球心为O，则 OM＝ON＝1，·＝(＋)·(＋)＝||2＋·(＋)＋·. 因为MN是正方体内切球的一条直径，所以＋＝0，·＝－1，所以·＝||2－1.又点P在正方体表面上运动，所以当P为正方体顶点时，最大，且最大值为；当P为内切球与正方体的切点时，最小，且最小值为1，所以0≤||2－1≤2，所以 ·的取值范围为[0，2].
7. BD　对于A，＝＋＋＝a＋b＋c，故A错误；对于B，＝＋＝－＋＝－a＋b＋c，故B正确；对于C，a·b＝0，b·c＝|b||c|cos 60°＝，a·c＝|a||c|cos 60°＝，又＝＋＝＋＋＝－＋＋＝－－＋＋＝a＋b－c，所以||＝＝＝，故C错误；对于D，·＝(a＋b＋c)·(a＋b－c)＝a2＋b2－c2＋a·b＋a·c＝，故D正确．故选BD.
8. AB　如图，取DC的中点M，连接AM，BM.因为AM⊥CD，BM⊥CD，AM∩BM＝M，AM 平面ABM，BM 平面ABM，所以CD⊥平面ABM.因为AB 平面ABM，所以CD⊥AB，所以·＝0，故A正确；取BD的中点H，连接HE，HF，则HE∥AB，HE＝AB，FH∥CD，FH＝CD，所以HE⊥FH，即∠FHE＝90°，又HE＝FH＝1，所以∠HEF＝45°，EF＝，所以·＝2·＝2×1××cos 45°＝2，故B正确；由B知，在上的投影向量为＝，故C错误；＝＋＝－＋(＋＋)＝(＋)－，故D错误．故选AB.
9. 60°　由题意，得(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减，得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|，所以 cos 〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝60°.　
10. 9　因为BB1⊥平面ABC，AB 平面ABC，所以BB1⊥AB，同理可知BB1⊥A1C1，所以·＝(＋＋)·＝(＋＋)·＝·＋||2＋·＝|2＝9.
11. 3　　设＝a，＝b，＝c，则由题意，得|a|＝1，|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，a·c＝1，b·c＝1，·＝(b＋c)·(b＋a)＝b2＋b·c＋b·a＋a·c＝1＋1＋0＋1＝3，||＝|a＋b＋c|＝＝＝.
12. (1) 设＝a，＝b，＝c.
由题意，得|a|＝|b|＝|c|＝2，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
所以a·b＝b·c＝c·a＝2×2×cos 60°＝2.
又＝＋＋＝－a＋c＋b，
所以||2＝(b＋c－a)2＝b2＋c2＋a2＋2b·c－2b·a－2c·a＝4＋4＋4＋4－4－4＝8，
所以||＝2，即BD1的长为2.
(2) 因为＝＋＝a＋b，
所以||2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋2×2＋4＝12，
所以||＝2，
则·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝a·b＋a·c－a2＋b2＋b·c－a·b＝4，
所以cos 〈，〉＝＝＝，
即与夹角的余弦值为.
13. (1) 因为PA⊥平面ABC，
所以即为在平面ABC上的投影向量．
又因为在平面ABC内，BC⊥AB，AB＝a，
所以·＝·＝||2＝a2.
(2) 因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以PA⊥BC.
又因为BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA 平面PAB，AB 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
所以在直线AB上的投影向量为，
所以·＝·＝||2＝a2.

展开更多......

收起↑