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6．1.3　共面向量定理
一、 单项选择题
1 (2023岳阳期末)已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x，y满足＝x＋y－，则x2＋y2的最小值为(　　)
A. B.
C. 1 D. 2
2 (2024泰州月考)O为空间任意一点，若＝－＋＋t，且A，B，C，P四点共面，则t的值为(　　)
A. 1 B.
C. D.
3 如图，已知多面体A1B1C1ABC是正三棱柱，D是AC上的一点，若AB1∥平面DBC1，则点D在AC上的位置是(　　)
A. D是AC的中点
B. 点D与点A重合
C. 点D与点C重合
D. D是AC上靠近点C的三等分点
　
4 已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝－＋，向量b＝＋＋，则与a，b必共面的向量为(　　)
A. B.
C. D. 或
5. (2024菏泽月考)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M，A，B，C共面的是(　　)
A. ＝＋＋
B. ＝2－－
C. ＝＋＋
D. ＝＋＋
6 如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1的中点．若P为侧面正方形ADD1A1内(含边)的动点，且存在x，y∈R使＝x＋y成立，则点P的轨迹长度为(　　)
A. B. 1 C. D.
二、 多项选择题
7 下列命题中，不正确的是(　　)
A. |a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B. 若，共线，则AB∥CD
C. A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面
D. 若P，A，B，C为空间四点，且＝λ＋μ(，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充分且不必要条件
8 空间四点A，B，C，D及空间任意一点O，由下列条件一定可以得出A，B，C，D四点共面的有(　　)
A. ＝2＋3
B. ＝3－－
C. ∥
D. ＝＋3－5
三、 填空题
9 (2023邢台期末)在三棱锥ABCD中，M是平面BCD内一点，且＝2λ＋＋，则实数λ＝________．
10 平面α内有A，B，C，D，E五个点，其中无三点共线，O为空间一点，满足＝＋x＋y，＝2x＋＋y，则x＝________，y＝________．
11 已知圆锥PO(P为圆锥顶点，O为底面圆心)的轴截面是边长为2的等边三角形，A，B，C为底面圆周上三点，空间一动点Q，满足＝x＋y＋(1－x－y)，则||的最小值为________．
四、 解答题
12 如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1) 求证：E，F，G，H四点共面；
(2) 求证：BD∥平面EFGH；
(3) 设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝(＋＋＋).
13 已知四边形ABCD是平行四边形，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．
(1) 试用向量的方法证明E，F，G，H四点共面；
(2) 试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量的方法证明你的判断．
6．1.3　共面向量定理
1. D　因为＝x＋y－，点D在△ABC确定的平面内，所以x＋y－1＝1，即x＝2－y，所以x2＋y2＝(2－y)2＋y2＝2y2－4y＋4＝2(y－1)2＋2≥2，所以当y＝1时，x2＋y2的最小值为2.
2. C　因为＝－，所以＝－＋＋t可化简为－＝－＋＋t，即＝＋＋t.由于A，B，C，P四点共面，故＋＋t＝1，解得t＝.
3. A　连接B1C交BC1于点O，连接DO.由AB1∥平面DBC1，得存在实数x，y满足＝x＋y.又＝＋＋＝＋＋＝＋＋－＝－＋＋，所以＝，即D是AC的中点．
4. B　由题意，得a与b不共线，xa＋yb＝x(－＋)＋y(＋＋)＝(x＋y)＋(－x＋y)＋(x＋y).对于A，若与a，b共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝xa＋yb，即该方程组无解，故A错误；对于B，若与a，b共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝xa＋yb，即解得即＝－a＋b，与a，b共面，故B正确；对于C，若与a，b共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝xa＋yb，即该方程组无解，故C错误；对于D，由A，C的判断，得D错误．
5. D　平面ABC外的任一点O，点M，A，B，C共面的充要条件是＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1.对于A，由＝＋＋，得1＋1＋1＝3≠1，则点M，A，B，C不共面，故A错误；对于B，由＝2－－，得2＋(－1)＋(－1)＝0≠1，则点M，A，B，C不共面，故B错误；对于C，由＝＋＋，得1＋＋≠1，则点M，A，B，C不共面，故C错误；对于D，由＝＋＋，得＋＋＝1，则点M，A，B，C共面，故D正确．
6. C　因为＝x＋y成立，所以，，共面，即B1P∥平面BEF.如图，取A1D1的中点Q，连接B1Q，B1A，AQ，根据正方体的性质，得B1Q∥BE，B1A∥FE，且B1Q∩B1A＝B1，FE∩BE＝E，所以平面B1AQ∥平面BEF，所以点P在AQ上运动，点P的轨迹为线段AQ.因为A1A＝1，A1Q＝，所以QA＝＝.
7. ABD　由|a|－|b|＝|a＋b|，可得向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，故A不正确；若，共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故B不正确；因为A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，＝＋＋，且＋＋＝1，所以P，A，B，C四点共面，故C正确；若P，A，B，C为空间四点，且＝λ＋μ(，不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得－＝λ(－)，即＝λ，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，故D不正确．故选ABD.
8. ACD　对于A，＝2＋3，一定有，，共面，且有公共顶点A，故A，B，C，D四点共面，故A正确；对于B，＝3－－＝3－＋，3－1＋1≠1，故A，B，C，D四点不共面，故B错误；对于C，由∥，可得A，B，C三点共线，则A，B，C，D四点一定共面，故C正确；对于D，＝＋3－5＝－－3＋5，－1－3＋5＝1，故A，B，C，D四点一定共面，故D正确．故选ACD.
9. 　因为M，B，C，D四点共面，＝2λ＋＋，所以2λ＋＋＝1，解得λ＝.
10. 　　由点A，B，C，D共面，得x＋y＝.又由点B，C，D，E共面，得2x＋y＝，联立解得x＝，y＝.
11. 　因为＝x＋y＋(1－x－y)，所以－＝x－x＋y－y，即＝x＋y，所以，，共面．又A，B，C为底面圆周上三点，所以Q为平面ABC上一点．由题意知，PO⊥平面ABC，所以||≥||.又圆锥PO的轴截面是边长为2的等边三角形，所以||＝，所以||的最小值为.
12. (1) 因为E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
所以＝＝，
所以E，F，G，H四点共面．
(2) 因为＝2，且BD 平面EFGH，FG 平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
(3) 由＝，得四边形EFGH是平行四边形，所以＋＝0.
因为＋＝2，＋＝2，
所以＋＋＋＝0，
所以＝(＋＋＋).
13. (1) 分别延长PE，PF，PG，PH交AB，BC，DC，AD于点M，N，Q，R.
因为E，F，G，H分别是所在三角形的重心，
所以M，N，Q，R分别为所在边的中点，顺次连接点M，N，Q，R得到的四边形为平行四边形，且有＝，＝，＝，＝.
因为四边形MNQR是平行四边形，
所以＝＋
＝(－)＋(－)
＝(－)＋(－)
＝(＋).
又＝－＝－＝，
所以(＋)＝，
即＋＝，
由共面向量定理知E，F，G，H四点共面．
(2) 平面EFGH∥平面ABCD，证明如下：
由(1)，得＝，
所以∥，
所以∥平面ABCD.
又＝－＝－＝，
所以∥，所以∥平面ABCD.
又EG∩EF＝E，EF 平面EFGH，EG 平面EFGH，
所以平面EFGH∥平面ABCD.

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