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6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量
一、 单项选择题
1 若点A(0，1，2)，B(2，5，8)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
　　　　　　　　　　　　
A. (3，2，1)
B. (1，3，2)
C. (2，1，3)
D. (1，2，3)
2 在空间直角坐标系中，A(1，2，1)，B(0，0，2)，C(2，1，3)，则A，B，C三点所在平面的一个法向量n的坐标是(　　)
A. (1，1，－1)
B. (1，－1，－1)
C. (2，1，－1)
D. (2，－1，－1)
3 (2024济宁月考)已知平面α内有一点A(2，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(，，)，则下列四个点中在平面α内的是(　　)
A. P1(1，－1，1)　
B. P2(1，－3，)
C. P3(1，3，)
D. P4(－1，3，－)
4 已知平面α内有两点M(1，－1，2)，N(a，3，3)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则实数a的值为(　　)
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
5 已知点M(4，3，1)，记点M到x轴的距离为a，到y轴的距离为b，到z轴的距离为c，则下列结论中正确的是(　　)
A. a>b>c B. c>a>b
C. c>b>a D. b>c>a
6 (2024菏泽期末)一平面截正四棱锥PABCD，与棱PA，PB，PC，PD的交点依次为A1，B1，C1，D1，已知PA1＝PA，PB1＝PB，PC1＝PC，PD1＝λPD，则λ的值为(　　)
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
7 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝2，E为PD的中点，若以A为坐标原点，以，的方向分别为y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则下列说法中正确的是(　　)
A. 点B的坐标为(，－1，0)
B. ·＝2
C. ＝(－，2，1)
D. 平面ACE的一个法向量为n＝(1，，－)
8 (2024重庆期末)类比平面解析几何中直线的方程，我们可以得到在空间直角坐标系Oxyz中的一个平面的方程，如果平面α的一个法向量n＝(a，b，c)，已知平面α上定点P0(x0，y0，z0)，对于平面α上任意点P(x，y，z)，根据⊥n可得平面α的方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若平面α过点(1，1，1)，且一个法向量为(1，1，1)，则平面α的方程为x＋y＋z－3＝0
B. 若平面α的方程为6x－2y－2z－3＝0，则a＝(－3，1，1)是平面α的一个法向量
C. 方程3x－2y＝0表示经过坐标原点且斜率为的一条直线
D. 关于x，y，z的任何一个三元一次方程都表示一个平面
三、 填空题
9 (2024西安期末)已知＝(m，－2，1)，若直线AB的一个方向向量为(1，2，－1)，则m＝________．
10 如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝，则平面OCB1的一个法向量为n＝________．　
11 已知平面α的一个法向量n＝(3，2，1)，点P0(1，2，3)，P(x，y，z)在平面α内，则3x＋2y＋z＝________．
四、 解答题
12 (2024江苏月考)已知点A(1，2，3)，B(1，－1，－2)，C(－1，0，0).
(1) 写出直线BC的一个方向向量；
(2) 设平面α经过点A，且是平面α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．
13 (2024湖南月考)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量.
6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量
1. D　因为点A(0，1，2)，B(2，5，8)在直线l上，所以直线l的一个方向向量＝(2，4，6).又因为(1，2，3)＝(2，4，6)，所以(1，2，3)是直线l的一个方向向量．
2. B　由题意，得＝(－1，－2，1)，＝(1，－1，2).设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，则y＝－1，z＝－1，所以n＝(1，－1，－1).
3. C　设平面α内任意一点P(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2).因为平面α的一个法向量为n＝(，，)，所以(x－2)＋(y＋1)＋(z－2)＝0，整理，得3x＋y＋2z－9＝0，对比选项可得3－1＋2－9＝－5≠0，3－3＋3－9＝－6≠0，3＋3＋3－9＝0，－3＋3－3－9＝－12≠0，所以只有点P3(1，3，)在平面α内．
4. C　因为M(1，－1，2)，N(a，3，3)，所以＝(a－1，4，1).因为平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，所以n⊥，则n·＝6(a－1)－3×4＋6＝0，解得a＝2.
5. C　设点M在x轴上的投影点M1(x，0，0)，则＝(4－x，3，1)，而x轴的一个方向向量为n1＝(1，0，0).由n1⊥，得n1·＝4－x＝0，解得x＝4，则a＝M1M＝＝.设点M在y轴上的投影点M2(0，y，0)，则＝(4，3－y，1)，而y轴的一个方向向量为n2＝(0，1，0).由n2⊥，得n2·＝3－y＝0，解得y＝3，则b＝M2M＝＝.设点M在z轴上的投影点M3(0，0，z)，则＝(4，3，1－z)，而z轴的一个方向向量为n3＝(0，0，1).由n3⊥，得n3·＝1－z＝0，解得z＝1，则c＝M3M＝＝5，所以c>b>a.
6. B　如图，在正四棱锥P-ABCD中，连接AC，BD相交于点O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，且AC⊥BD，以O为坐标原点，OA，OD，OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设OA＝a(a>0)，OP＝c(c>0)，由PA1＝PA，PB1＝PB，PC1＝PC，PD1＝λPD，得A1(，0，c)，B1(0，－，)，C1(－，0，)，D1(0，aλ，c－cλ)，则＝(－，－，－)，＝(－，0，)，＝(－，aλ，－cλ).设n＝(x，y，z)为平面A1B1C1的法向量，则令x＝1，则z＝，y＝－3，可得n＝(1，－3，)，所以·n＝(－，aλ，－cλ)·(1，－3，)＝－－3aλ＋(－cλ)×＝0，解得λ＝.
7. ABC　由题意，得B(，－1，0)，C(，1，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，故A正确；因为＝(，－1，－2)，＝(，1，0)，所以·＝2，故B正确；＝(－，2，1)，故C正确；设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝1，得n＝(1，－，)，故D错误．故选ABC.
8. ABD　对于A，由题意，得平面α的方程为1×(x－1)＋1×(y－1)＋1×(z－1)＝0，即x＋y＋z－3＝0，故A正确；对于B，因为平面α的方程为6x－2y－2z－3＝0，所以平面α的一个法向量为n＝(6，－2，－2)，且n＝－2a，即n，a共线，所以a＝(－3，1，1)是平面α的一个法向量，故B正确；对于C，3x－2y＝0可化为3×(x－0)－2×(y－0)＋0×(z－0)＝0，该方程可表示一个法向量为m＝(3，－2，0)且过点(0，0，0)的平面，故C错误；对于D，设ax＋by＋cz＝d(abc≠0)，其等价于a(x－0)＋b(y－0)＋c(z－)＝0，该方程可表示一个法向量为p＝(a，b，c)，且过点(0，0，)的平面，故D正确．故选ABD.
9. －1　由题意，得＝(m，－2，1).若直线AB的一个方向向量为(1，2，－1)，则设＝λ(1，2，－1)，即(m，－2，1)＝λ(1，2，－1)＝(λ，2λ，－λ)，则解得λ＝m＝－1.
10. (1，0，－1)(答案不唯一)　因为四边形ABCD是正方形，且AB＝，所以AO＝OC＝1，所以C(0，1，0)，A(0，－1，0)，B(1，0，0)，所以＝(1，1，0)，所以＝(1，1，0).因为OA＝1，AA1＝，所以OA1＝＝1，故＝(0，0，1)，故＝＋＝(1，1，1).设向量n＝(x，y，z)是平面OCB1 的法向量，则·n＝y＝0，·n＝x＋y＋z＝0，故y＝0，x＝－z，取x＝1，则z＝－1，即平面OCB1的一个法向量为 n＝(1，0，－1).
11. 10　因为＝(x－1，y－2，z－3)，所以·n＝3(x－1)＋2(y－2)＋z－3＝0，所以3x＋2y＋z＝10.
12. (1) 因为B(1，－1，－2)，C(－1，0，0)，
所以直线BC的一个方向向量为＝(－2，1，2).
(2) 因为平面α经过点A(1，2，3)，且M(x，y，z)是平面α内的任意一点，
所以＝(x－1，y－2，z－3).
又是平面α的一个法向量，所以⊥，
所以·＝0，即－2(x－1)＋(y－2)＋2(z－3)＝0，整理，得2x－y－2z＋6＝0，
所以x，y，z满足的关系式为2x－y－2z＋6＝0.
13. 连接PF，CF.因为△PAB是边长为1的正三角形，PA＝PB，F为AB的中点，
所以PF⊥AB.
又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF 平面PAB，
所以PF⊥平面ABCD.
连接AC.因为AB＝BC，∠ABC＝60°，
所以△ABC是等边三角形．
又F为AB的中点，所以CF⊥AB.
综上，直线FB，FC，FP两两垂直．
以F为坐标原点，FB，FC，FP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.
由题意，得在正三角形PAB和正三角形ABC中，FP＝FC＝，
则F(0，0，0)，D(－1，，0)，E(0，，),
所以＝(0，，)，＝(－1，，0).
设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
解得
取y＝2，则x＝，z＝－2，即n＝(，2，－2)，
所以平面DEF的一个法向量为n＝(，2，－2)(答案不唯一).

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