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6．3.3　空间角的计算(1)
一、 单项选择题
1 (2024抚州期中)已知点O(0，0，0)，A(1，0，1)，B(－1，1，2)，C(－1，0，－1)，则异面直线OC与AB所成角的余弦值为(　　)
　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
2 (2024中山期中)如图，圆锥的轴截面ABC为等边三角形，D为弧AB的中点，E，F分别为母线BC，AC的中点，则异面直线BF和DE所成角的大小为(　　)
A. B. C. D.
3 (2024海南期中)在四棱锥SABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB，E是BC的中点，F是棱SD上一点(不含端点)，满足＝λ.若异面直线AE与CF所成角的余弦值为，则实数λ的值为(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4 (2024福州期末)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P满足＝＋，则直线AC与平面A1DP所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
5 (2024广西期末)在如图所示的空间直角坐标系Axyz中，P(x，y，z)是正三棱柱ABCA1B1C1的底面A1B1C1内一动点，A1A＝AB＝2，直线PA和底面ABC所成的角为，则点P的坐标满足(　　)
A. x2＋y2＝ B. x2＋y2＝2
C. x2＋y2＝3 D. x2＋y2＝4
6 如图，D是正方体的一个“直角尖”OABC(OA，OB，OC两两垂直且相等)的棱OB的中点，P是BC的中点，Q是AD上的一个动点，连接PQ，则当AC与PQ所成的角最小时，AQ∶QD等于(　　)
A. B. C. D. 2
二、 多项选择题
7 (2024日照期末)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，C1D1的中点，则下列说法中正确的是(　　)
A. BC1∥AE
B. 三棱锥C1BB1D的体积为
C. 直线AF与直线BE所成角的余弦值为
D. 直线BB1与平面BDC1所成角的正弦值为
8 如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°，则下列说法中正确的是(　　)
A. 直线AD与直线BC所成角的大小为90°
B. 直线AB与直线CD所成角的余弦值为
C. 直线AD与平面BCD所成角的大小为45°
D. 直线AD与平面BCD所成角的大小为60°
三、 填空题
9 在空间直角坐标系Oxyz中，若平面ABC的一个法向量为m＝(0，2，1)，直线AP的一个方向向量为n＝(1，1，1)，则直线AP与平面ABC所成角的正弦值为________．
10 (2023华南师大附中期末)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为________．
11 (2024南昌期末)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点Q在线段B1C上运动，则直线C1Q与平面A1C1D所成角的正弦值的取值范围为________．
四、 解答题
12 (2023广州期末)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，BC＝4，AB＝BB1＝2，E是BB1的中点．求：
(1) BD1与AE所成角的余弦值；
(2) BD1与平面ACE所成角的正弦值．
13 (2024运城期中)如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M是棱PD上的动点，N是棱AB上的一点，且＝，CD＝PD＝2AD＝PC.
(1) 求证：MN⊥AC；
(2) 若直线MN与平面MBC所成角的正弦值是，求点M的位置．
6．3.3　空间角的计算(2)
一、 单项选择题
1 已知△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AC，则二面角PBCA的大小为(　　)
　　　　　　　　　　　　
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
2 (2024焦作月考)如图，过二面角αlβ内一点P作PA⊥α于点A，PB⊥β于点B，若PA＝5，PB＝8，AB＝7，则二面角αlβ的大小为(　　)
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
　　
3 (2024孝感期中)在空间中，经过点P(x0，y0，z0)，法向量为e＝(A，B，C)的平面的方程(即平面上任意一点的坐标(x，y，z)满足的关系式)为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0.用此方法求得平面α和平面β的方程，化简后的结果分别为x＋2y－z＝1和x－2y＋3z＝4，则这两平面夹角的余弦值为(　　)
A. B. －
C. D. －
4 (2024台州月考)如图，将正方形ABCD纸片沿对角线BD翻折，若E，F分别为BC，AD的中点，O为原正方形ABCD的中心，使得折纸后的二面角ABDC的大小为，则此时cos ∠EOF的值为(　　)
A. － B. － C. － D. －
5 (2024深圳月考)如图，在三棱台ABCA1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，A1C1＝1，AB＝AC＝AA1＝2，M为BC的中点，则二面角MAC1C的余弦值为(　　)
A. － B. C. D.
　　
6 (2024朔州期末)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱AA1上的一个动点，F为棱B1C1上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD所成角的余弦值的取值范围是(　　)
A. [0，] B. [，]
C. [0，] D. [0，]
二、 多项选择题
7 (2024绍兴期末)如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均等于1，D是CC1的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A. A1B⊥AD
B. 平面AB1D与平面A1B1C1的夹角是60°
C. 平面A1BD⊥平面AB1D
D. AC与平面AB1D所成的角的正弦值为
8 (2024邵阳期末)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F，则下列结论中正确的是(　　)
A. PA∥平面EDB
B. PB⊥平面EFD
C. 直线PB与平面ABCD所成角的余弦值为
D. 平面CPB与平面PBD夹角的大小为60°
三、 填空题
9 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝AA1＝2BC＝2，D为AA1上的一点．若二面角B1DCC1的大小为30°，则AD的长为________．
10 (2024深圳期末)已知矩形ABCD，AB＝，BC＝1，将矩形沿着对角线BD对折，形成一个空间四边形ABC′D，当AC′＝时，二面角ABDC′的余弦值为________．
11 (2023深圳期末)如图，在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝2，D为斜边AC上异于点A，C的动点，若将△ABD沿折痕BD翻折，使点A折至点A1处，且二面角A1BDC的大小为，则线段A1C长度的最小值为________．
四、 解答题
12 如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，E是AD的中点．
(1) 求证：平面PBE⊥平面PAD；
(2) 直线PB与平面PAD所成的角为45°，求二面角CPED的余弦值．
13 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1和平面C1BD分别交于点G，H.
(1) 求证：G，H是线段A1C的三等分点；
(2) 在棱D1C1上是否存在点M，使得二面角MBDC1的大小为60°？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
6．3.3　空间角的计算(1)
1. A　由题意，得＝(－1，0，－1)，＝(－2，1，1).设异面直线OC与AB所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈，〉|＝＝＝.
2. C　取AB的中点O，连接OC，OD，以O为坐标原点，OD，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空的间直角坐标系，设AB＝2，则B(0，1，0)，D(1，0，0)，C(0，0，)，A(0，－1，0).又E，F分别为BC，AC的中点，所以E(0，，)，F(0，－，)，则＝(0，－，)，＝(－1，，).设异面直线BF和DE所成角为θ，则cos θ＝|cos 〈，〉|＝＝＝0.又θ∈(0，]，所以θ＝.
3. C　取CD的中点M，连接AM，AC.因为四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以△ABC，△ADC均为等边三角形．又因为M为CD的中点，所以AM⊥CD.又因为AB∥CD，所以AM⊥AB，以A为坐标原点，AB，AM，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝SA＝1，则A(0，0，0)，S(0，0，1)，E(，，0)，C(，，0)，D(－，，0).设m＝，所以m(－，，－1)＝(－－xF，－yF，－zF)，所以F((m－1)，(1－m)，m)，所以＝(－1，－m，m)，＝(，，0)，所以|cos 〈，〉|＝＝＝，化简，得16m2－8m＋1＝0，所以m＝，所以＝，所以＝4，所以λ＝4.
4. B　不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(3，3，0)，D(0，3，0)，A1(0，0，3)，B1(3，0，3)，所以＝(0，3，0)，＝(0，0，3).设P(x，y，z)，则＝(x－3，y，z)，＋＝(0，1，2).因为＝＋，所以(x－3，y，z)＝(0，1，2)，即解得所以P(3，1，2)，＝(3，－2，2)，＝(3，3，0)，＝(0，－3，3).设平面A1DP的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则即令z1＝1，则x1＝0，y1＝1，所以n＝(0，1，1).设直线AC与平面A1DP所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝＝，所以直线AC与平面A1DP所成角的正弦值为.
5. A　由题意，得A(0，0，0)，A1(0，0，2).因为P(x，y，z)是正三棱柱ABC-A1B1C1的底面A1B1C1内一动点，则z＝2，所以＝(－x，－y，－z).又AA1⊥平面ABC，所以＝(0，0，2)是平面ABC的一个法向量．因为直线PA和底面ABC所成的角为，所以|cos 〈，〉|＝＝＝＝，整理，得z2＝3x2＋3y2.又z＝2，所以x2＋y2＝.
6. C　由题意，得OA，OB，OC两两垂直，故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设OA＝OB＝OC＝2，则O(0，0，0)，A(0，0，2)，C(0，2，0)，P(1，1，0)，D(1，0，0)，则＝m＋(1－m)＝m(0，0，2)＋(1－m)(1，0，0)＝(1－m，0，2m)，m∈[0，1]，则Q(1－m，0，2m).又＝(0，2，－2)，＝(－m，－1，2m).设直线AC，PQ所成角为θ，θ∈[0，]，则cos θ＝|cos 〈，〉|＝＝×.令y＝＝，2m＋1＝t，t∈[1，3]，则y＝＝.令＝n，n∈，则y＝≤，此时n＝，t＝，m＝，故当m＝时，cos θ取得最大值，此时θ最小，点Q(，0，)，则＝(，0，－)，＝(，0，－)，故＝，则AQ∶QD＝.
7. BC　在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，E(0，0，1)，F(0，1，2).对于A，＝(－2，0，2)，＝(－2，0，1)，显然与不共线，所以BC1与AE不平行，故A错误；对于B，三棱锥C1-BB1D的体积VC1-BB1D＝VD-BB1C1＝S△BB1C1·DC＝××2×2×2＝，故B正确；对于C，＝(－2，1，2)，＝(－2，－2，1)，cos 〈，〉＝＝＝，所以直线AF与直线BE所成角的余弦值为，故C正确；对于D，＝(2，2，0)，＝(0，2，2)，设平面BDC1的法向量n＝(x，y，z)，则令x＝1，得n＝(1，－1，1).令直线BB1与平面BDC1所成的角为θ.又＝(0，0，2)，所以sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝，故D错误．故选BC.
8. ABC　以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.设AB＝2，则A(0，－1，)，C(0，2，0)，D(，－1，0)，所以＝(，0，－)，＝(0，2，0)，＝(0，1，－)，＝(，－3，0).因为·＝0，所以AD⊥BC，即直线AD与直线BC所成角的大小为90°，故A正确；因为|cos 〈，〉|＝＝，所以直线AB与直线CD所成角的余弦值为，故B正确；设AD与平面BCD所成角为θ，因为n＝(0，0，1)是平面BCD的一个法向量，所以sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝，所以θ＝45°，即直线AD与平面BCD所成角的大小为45°，故C正确，D错误．故选ABC.
9. 　设直线AP与平面ABC所成角为α.因为平面ABC的一个法向量m＝(0，2，1)，直线AP的一个方向向量为n＝(1，1，1)，所以sin α＝＝＝.
10. 　由题意，得CC1，CB，CA两两垂直，故以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系C xyz.不妨设BC＝CA＝CC1＝2.因为M，N分别是A1B1，A1C1的中点，所以N(1，0，2)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，M(1，1，2)，则＝(－1，0，2)，＝(1，－1，2).设直线BM与AN所成角为α，则cos α＝|cos 〈，〉|＝＝＝，所以BM与AN所成角的余弦值为.
11. [，]　以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，D(0，0，0).设Q(a，2，a)，0≤a≤2，则＝(2，0，2)，＝(0，2，2)，＝(a，0，a－2).设平面A1C1D的法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝1，得n＝(1，1，－1).设直线C1Q与平面A1C1D所成角为θ，则sin θ＝＝＝，当0≤a≤2时，2≤2(a－1)2＋2≤4，则≤sin θ≤.
12. (1) 以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，D(0，4，0)，A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，C1(2，4，2)，D1(0，4，2)，E(2，0，1)，
所以＝(－2，4，2)，＝(2，0，1)，
则cos 〈，〉＝＝＝－，则BD1与AE所成角的余弦值为.
(2) 设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z).
因为＝(2，4，0)，＝(2，0，1)，＝(－2，4，2)，
所以即
令y＝1，则n＝(－2，1，4)，
所以cos 〈，n〉＝＝＝，
故BD1与平面ACE所成角的正弦值为.
13. (1) 因为CD＝PD＝PC，
所以CD2＋PD2＝PC2，所以PD⊥CD.
因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，PD 平面PCD，
所以PD⊥平面ABCD.
因为AD 平面ABCD，
所以PD⊥AD.
因为四边形ABCD是矩形，所以AD⊥CD，
故DA，DC，DP两两垂直．
以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设CD＝4，则A(2，0，0)，C(0，4，0)，B(2，4，0)，N(2，1，0)，M(0，0，t)(0≤t≤4)，
所以＝(2，1，－t)，＝(－2，4，0).
因为·＝2×(－2)＋1×4＋(－t)×0＝0，
所以⊥，即MN⊥AC.
(2) 由(1)，得＝(2，1，－t)，＝(2，0，0)，＝(0，－4，t).
设m＝(x，y，z)为平面MBC的法向量，
则
令y＝t，得x＝0，z＝4，所以m＝(0，t，4).
设直线MN与平面MBC所成角为θ，
则sin θ＝|cos 〈m，〉|＝＝，
所以(t2－20)(t2－4)＝0，
因为0≤t≤4，所以t＝2，即M是棱PD的中点．
6．3.3　空间角的计算(2)
1. A　如图，取BC的中点D，连接AD，PD.由题意，得PD⊥BC，AD⊥BC，所以∠PDA为二面角PBCA的平面角．以A为坐标原点，AD所在的直线为y轴，AP所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设PA＝1，则A(0，0，0)，D(0，，0)，P(0，0，1)，则＝(0，－，0)，＝(0，－，1)，所以cos 〈，〉＝＝＝，所以〈，〉的大小为30°，所以∠PDA＝30°，即二面角P-BC-A 的大小为30°.
2. C　设＝a，＝b，则＝b－a，且|a|＝5，|b|＝8，||＝7.因为||2＝|b－a|2＝b2＋a2－2a·b，解得a·b＝20，所以cos 〈a，b〉＝＝＝.又0°≤〈a，b〉≤180°，所以∠APB＝〈a，b〉＝60°，所以二面角α-l-β的大小为120°.
3. A　由题意，得平面α和平面β的法向量分别为n1＝(1，2，－1)，n2＝(1，－2，3)，故两平面夹角的余弦值为|cos 〈n1，n2〉|＝＝＝.
4. A　如图，易知OA⊥BD，OC⊥BD，所以⊥，⊥，〈，〉＝π，〈，〉＝，易知＝(＋)，＝(＋).设正方形的边长为2，所以OA＝OB＝OC＝OD＝，OE＝OF＝1，cos 〈，〉＝＝×(·＋·＋·＋·)＝－.
5. B　根据棱台的性质可知A1B1＝1，由于A1A⊥平面ABC，AB 平面ABC，AC 平面ABC，故A1A⊥AB，A1A⊥AC.又AB⊥AC，所以AB，AC，AA1两两垂直，故以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，平面CC1A的一个法向量为m＝(1，0，0)，M(1，1，0)，C1(0，1，2)，即＝(1，1，0)，＝(0，1，2).设平面MAC1的法向量为n＝(x，y，z)，则故可得平面MAC1的一个法向量为n＝(2，－2，1).设二面角M-AC1-C的平面角为θ，由图可知θ为锐角，所以cos θ＝＝.
6. A　设平面EFB与底面ABCD所成的二面角的平面角为θ，由图可得θ不为钝角．以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，E(1，0，m)，F(n，1，1)，所以＝(0，－1，m)，＝(n－1，0，1).设平面EFB的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝－1，则y＝m(n－1)，z＝n－1，故n＝(－1，m(n－1)，n－1).又底面ABCD的一个法向量为m＝(0，0，1)，所以cos θ＝|cos 〈n，m〉|＝＝.因为m，n∈[0，1]，所以cos θ＝，当n＝1时，cos θ＝0；当n≠1时，cos θ＝，n∈[0，1)，m∈[0，1]，则(1－n)2∈(0，1]，m2∈[0，1]，则∈[1，＋∞)，则当n＝0，m＝0时，分母取到最小值，此时(cos θ)max＝；当n→1，n>0时，则→0，此时cos θ∈(0，].综上，cos θ∈[0，].
7. ACD　取线段AB的中点O，连接CO.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC.因为△ABC是边长为1的等边三角形，所以CO⊥AB，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(－，0，0)，B(，0，0)，C(0，，0)，A1(－，0，1)，B1(，0，1)，C1(0，，1)，D(0，，).对于A，＝(1，0，－1)，＝(，，)，所以·＝＋0－＝0，则A1B⊥AD，故A正确；对于B，设平面AB1D的法向量为m＝(x1，y1，z1)，＝(1，0，1)，＝(，，)，则令x1＝1，则z1＝－1，y1＝0，可得m＝(1，0，－1)，易知平面A1B1C1的一个法向量为u＝(0，0，1)，所以cos 〈m，u〉＝＝－＝－，所以平面AB1D与平面A1B1C1的夹角为45°，故B错误；对于C，设平面A1BD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，＝(1，0，－1)，＝(，，－)，则取x2＝1，则z2＝1，y2＝0，可得n＝(1，0，1)，则m·n＝1＋0－1＝0，所以m⊥n，故平面A1BD⊥平面AB1D，故C正确；对于D，＝(，，0)，则cos 〈，m〉＝＝＝，所以AC与平面AB1D所成的角的正弦值为，故D正确．故选ACD.
8. ABD　以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设DC＝1.对于A，由题意，得A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，0，1)，E(0，，)，所以＝(1，0，－1)，＝(1，1，0)，＝(0，，).设平面EDB的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则取x1＝1，则y1＝－1，z1＝1，所以m＝(1，－1，1)，则·m＝0.因为PA 平面EDB，所以PA∥平面EDB，故A正确；对于B，＝(1，1，－1)，因为·＝0＋－＝0，所以PB⊥ED.又EF⊥PB，且EF∩DE＝E，EF 平面EFD，DE 平面EFD，所以PB⊥平面EFD，故B正确；对于C，因为侧棱PD⊥底面ABCD，所以∠PBD为直线PB与平面ABCD所成的角．又因为BD＝＝，PB＝＝，所以cos ∠PBD＝＝＝，故C错误；对于D，由题意，得C(0，1，0)，且＝(1，0，0)，＝(0，1，－1).设平面CPB的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则取y2＝1，则z2＝1，x2＝0，所以n＝(0，1，1).因为PD⊥底面ABCD，AC 平面ABCD，所以PD⊥AC.因为四边形ABCD是正方形，所以DB⊥AC.又DB∩PD＝D，DB 平面PBD，PD 平面PBD，所以AC⊥平面PBD，则平面PBD的一个法向量为＝(1，－1，0)，所以cos 〈n，〉＝＝－，所以平面CPB与平面PBD的夹角为60°，故D正确．故选ABD.
9. 　以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，则C(0，0，0)，B1(0，1，2)，B(0，1，0)，所以1＝(0，1，2)，＝(0，1，0).设AD＝a(0≤a≤2)，则点D的坐标为(2，0，a)，＝(2，0，a).设平面B1CD的法向量为m＝(x，y，z)，则即令z＝－1，得m＝(，2，－1).又平面C1DC的一个法向量为＝(0，1，0)，记为n，则由cos 30°＝＝＝，解得a＝(负值舍去)，故AD＝.
10. 　在△ABD和△BC′D中，分别过点A，C′作AM⊥BD，C′N⊥BD，垂足分别为M，N.由S△ABD＝AM·BD＝AB·AD，代入BD＝＝，AB＝，AD＝1，得AM＝＝，所以DM＝＝＝，同理，C′N＝，BN＝，所以MN＝.设二面角A-BD-C′大小为θ(0≤θ≤π)，则与夹角为π－θ，由＝＋＋，得||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·，所以＝＋＋＋0＋2×cos (π－θ)＋0，解得cos θ＝，所以二面角A-BD-C′的余弦值为.
11. 　过点A1在平面A1BD内作A1M⊥BD，垂足为M，过点C在平面BCD内作CN⊥直线BD，垂足为N，如图所示．因为＝＋＋，·＝·＝0，记∠A1BD＝α，则α∈(0，)，∠NBC＝－α，则||＝sin α，||＝2sin (－α)＝2cos α.因为二面角A1-BD-C的大小为，所以，的夹角为.因为·＝－·＝－||·||cos ＝－sin αcos α，且||＝|||－|||＝|2cos (－α)－cos α|＝|2sin α－cos α|，所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＝sin 2α＋(2sin α－cos α)2＋4cos 2α－2sin αcos α＝5－3sin 2α≥2，即||≥，当且仅当sin 2α＝1，即α＝时，等号成立，故线段A1C长度的最小值为.
12. (1) 连接BD.因为AB＝AD，∠DAB＝60°，所以△ABD是等边三角形．
又E是AD的中点，所以BE⊥AD.
因为PD⊥平面ABCD，BE 平面ABCD，
所以PD⊥BE，又PD∩AD＝D，PD 平面PAD，AD 平面PAD，
所以BE⊥平面PAD，又BE 平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAD.
(2) 因为BE⊥平面PAD，所以∠BPE为PB与平面PAD所成的角，即∠BPE＝45°.
又PE 平面PAD，所以BE⊥PE.
因为△ABD是边长为2的等边三角形，所以PE＝BE＝，所以PD＝＝.
以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(－1，0，)，E(0，0，0)，C(－2，，0)，
所以＝(－1，0，)，＝(－2，，0).
设平面PEC的法向量为m＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，得m＝(1，，).
因为BE⊥平面PAD，所以n＝(0，1，0)为平面PED的一个法向量，
所以cos 〈m，n〉＝＝＝，
显然二面角C-PE-D为锐角，
所以二面角C-PE-D的余弦值为.
13. (1) 连接A1B，交AB1 于点O.
在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，A1B⊥AB1，且BC⊥平面A1B1BA.
因为AB1 平面A1B1BA，
所以BC⊥AB1.
又A1B∩BC＝B，A1B 平面A1BC，BC 平面A1BC，
所以AB1⊥平面A1BC.
因为A1C 平面A1BC，
所以AB1⊥A1C，同理B1D1⊥A1C.
又AB1∩B1D1＝B1，AB1 平面AB1D1，B1D1 平面AB1D1，
所以A1C⊥平面AB1D1.
设正方体的棱长为1，
则由VA-A1B1D1＝VA1-AB1D1，
得××1×1×1＝××()2·A1G，
解得A1G＝，
同理HC＝.
由题意，得A1C＝，
所以G，H是线段A1C的三等分点．
(2) 以D为坐标原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
假设存在点M满足题意，设正方体的棱长为1，则令＝m，m∈[0，1]，则M(0，m，1)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C(0，1，0).
由(1)知是平面C1BD的一个法向量，且＝(－1，1，－1)，＝(0，m，1)，＝(1，1，0).
设平面MBD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取y＝1，则n＝(－1，1，－m).
由cos 60°＝，得＝，
解得m＝－8±3 [0，1]，
故棱D1C1 上不存在点M，使得二面角M-BD-C1 的大小为60°.

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