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6．3.4　空间距离的计算
一、 单项选择题
1 (2024南通月考)在空间直角坐标系中，已知点A(1，1，1)，B(0，1，0)，C(1，2，3)，则点C到直线AB的距离为(　　)
　　　　　　　　　　　　
A. B. 2 C. 2 D. 3
2 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为(　　)
A. B. 　　 C. 　　 D.
3 (2023岳阳期末)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点，则直线FC到平面AEC1的距离等于(　　)
A. B. C. D.
4 (2024江西开学考试)在正三棱锥PABC中，AB＝PA＝，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则的值为(　　)
A. 3 B. C. D.
5 (2024茂名期末)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AC与A1D之间的距离是(　　)
A. B. C. D.
6 (2024北京开学考试)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段AB上的点，且＝3，点P在线段D1E上，则点P到直线AD距离的最小值为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2024永州开学考试)已知空间四点A(－1，1，0)，B(2，2，1)，C(1，1，1)，D(0，2，3)，则下列结论中正确的是(　　)
A. AB⊥CD
B. AD＝
C. 点A到直线BC的距离为
D. 点D到平面ABC的距离为
8 (2024枣庄月考)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P满足＝x＋y＋，x∈[0，1]，y∈[0，1]，则下列结论中正确的是(　　)
A. 当x＝1时，A1P＋CP的最小值为
B. 当x＝y时，有且仅有一个点P满足BD1⊥DP
C. 当x＋y＝1时，有且仅有一个点P满足到直线BB1的距离与到平面AA1D1D的距离相等
D. 当x2＋y2＝1时，线段AP扫过的图形面积为π
三、 填空题
9 (2024扬州月考)在空间直角坐标系中，M(0，0，1)为平面ABC外一点，其中A(1，0，0)，B(0，2，1)，若平面ABC的一个法向量为(1，y0，－1)，则点M到平面ABC的距离为________．
10 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________．
11 已知在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，M，N分别是A1B1，AD，CC1的中点，则直线AC与平面EMN之间的距离为________．
四、 解答题
12 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝1.
(1) 求证： AB1∥平面BC1D；
(2) 求直线AB1到平面BC1D的距离．
13 如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，E为AD的中点，底面ABCD是边长为2的正方形，且二面角PBEC的余弦值为.
(1) 求PD的长；
(2) 求点C到平面PEB的距离．
6．3.4　空间距离的计算
1. A　由题意，得＝(－1，0，－1)，＝(0，1，2)，则||＝＝，||＝＝.设向量u是直线AB的单位方向向量，则u＝＝(－，0，－)，·u＝0＋0＋2×(－)＝－，则点C到直线AB的距离为＝＝.
2. B　以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，D(0，0，1)，A(1，0，1)，所以＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(－1，0，0).设平面A1C1D的一个法向量为m＝(x，y，1)，则即解得故m＝(1，1，1).显然平面AB1C∥平面A1C1D，所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d＝＝＝.
3. A　以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E(1，，0)，F(1，，1)，＝(1，－，0)，＝(1，－，0)，则＝，所以C1E∥CF.因为C1E 平面AC1E，CF 平面AC1E，所以CF∥平面AC1E.设平面AC1E的法向量为n＝(x，y，z)，＝(1，－，0)，＝(0，－，1)，则令x＝1，可得n＝(1，2，1)为平面AC1E的一个法向量．又＝(0，0，1)，所以直线FC到平面AEC1的距离为d＝＝＝.
4. D　在正三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝PC.又PA＝1，AB＝，所以PA2＋PB2＝AB2，所以PA⊥PB，同理可得PA⊥PC，PC⊥PB，即PA，PB，PC两两垂直，将该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，易得m＝，如图，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，O(，，)，所以＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，＝(－，，).设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则y＝z＝1，所以n＝(1，1，1)，则点O到平面ABC的距离n＝＝，所以＝.
5. D　设M是A1D上的任意一点，过点M作MN⊥AC，垂足为N.设＝λ＝λ－λ，＝μ＝μ＋μ，则＝－＝μ＋μ－－λ＋λ＝μ＋(μ－λ)＋(λ－1)，＝＋.由题意，得||＝||＝||＝1，·＝·＝·＝0.因为MN⊥AC，所以·＝0，可得[μ＋(μ－λ)＋(λ－1)]·(＋)＝μ＋μ－λ＝0，则λ＝2μ，所以||＝|μ＋(μ－λ)＋(λ－1)|＝＝＝≥，当且仅当μ＝时，等号成立，所以直线AC与A1D之间距离是.
6. C　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．因为正方体棱长为1，＝3，所以A(1，0，0)，D1(0，0，1)，E(1，，0)，＝(1，，－1).设＝λ＝(λ，，－λ)，λ∈[0，1]，则＝＋＝(0，0，1)＋λ(1，，－1)＝(λ，，1－λ)，又＝(1，0，0)，所以点P到直线AD的投影向量的绝对值为d＝||·|cos 〈，〉|＝＝λ，所以点P到直线AD的距离为h＝＝＝＝≥，当λ＝时，等号成立，即点P到直线AD距离的最小值为.
7. ABD　对于A, 结合题意可得＝(3，1，1)，＝(－1，1，2).因为·＝－3＋1＋2＝0，所以AB⊥CD，故A正确；对于B，结合题意可得AD＝＝，故B正确；对于C，结合题意可得＝(－1，－1，0)，取a＝＝(－3，－1，－1)，u＝＝(－1，－1，0)＝(－，－，0)，所以a2＝，a·u＝2，所以点A到直线BC的距离为＝＝，故C错误；对于D，结合题意可得＝(3，1，1)，＝(2，0，1)，＝(1，1，3)，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则n＝(1，－1，－2)，所以点D到平面ABC的距离为d＝＝＝，故D正确．故选ABD.
8. AC　以A为坐标原点，建立如图1所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，A1(0，0，1)，B1(0，1，1)，C1(1，1，1)，D1(1，0，1)，则＝(0，1，0)，x＝(0，x，0)，y＝(y，0，0)，1＝(0，0，1)，则＝x＋y＋＝(y，x，1)，所以P(y，x，1).对于A，当x＝1时，P(y，1，1)为线段B1C1上的点，将平面A1B1C1D1和平面BCC1B1沿B1C1展开为同一个平面，如图2，连接A1C，则A1P＋CP的最小值为A1C＝＝，故A正确；对于B，当x＝y时，P(x，x，1)，＝(1，－1，1)，＝(x－1，x，1)，则·＝x－1－x＋1＝0，即BD1⊥DP，即满足条件的点P有无数个，故B错误；对于C，当x＋y＝1时，y＝1－x，则P(1－x，x，1)，＝(0，0，1)，＝(1－x，x－1，1)，||＝，则在上的投影为＝＝1，则点P到直线BB1的距离d＝＝；平面AA1D1D的一个法向量为＝(0，1，0)，＝(1－x，x，1)，则点P到平面AA1D1D的距离为＝x，所以当点P到直线BB1的距离与到平面AA1D1D的距离相等时，＝x，即x2－4x＋2＝0，因为x∈[0，1]，所以方程有一个解x＝2－，则y＝－1，即仅存在一个点P满足条件，故C正确；对于D，当x2＋y2＝1时，＝(y，x，1)，||＝＝，可知点P在以A1B1和A1D1为半径的上，线段AP是以AA1为旋转轴的圆锥的母线，所以线段AP扫过的图形面积为(π×1×)＝，故D错误．故选AC.
图1 图2
9. 　因为A(1，0，0)，B(0，2，1)，所以＝(－1，2，1).记平面ABC的一个法向量为n＝(1，y0，－1)，则n·＝(－1)×1＋2y0＋1×(－1)＝0，解得y0＝1，故平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，－1).因为M(0，0，1)，所以＝(1，0，－1)，所以点M到平面ABC的距离为d＝＝＝.
10. 　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，G(0，2，1)，F(1，1，0)，所以＝(－1，－1，2)，＝(－1，1，1)，所以点D1到直线GF的距离d＝||·＝×＝，所以点D1到直线GF的距离为.
11. 　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(2，1，2)，M(1，0，0)，N(0，2，1)，所以＝(1，1，2)，＝(－1，2，1)，＝(－2，2，0).设平面EMN的法向量为m＝(x，y，z)，则令x＝1，可得m＝(1，1，－1)，所以·m＝0，即⊥m.又AC 平面EMN，所以AC∥平面EMN，故点A到平面的距离即为直线AC到平面EMN的距离．又＝(1，0，0)，所以点A到平面EMN的距离为＝＝，即直线AC与平面EMN之间的距离为.
12. (1) 以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系B-xyz，则B(0，0，0)，C1(1，0，1)，D(，，0)，A(0，1，0)，B1(0，0，1)，所以＝(1，0，1)，＝(，，0)，＝(0，－1，1).
设平面BC1D的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
所以
令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，
所以·n＝0×1＋(－1)×(－1)＋1×(－1)＝0，
所以⊥n.
因为AB1 平面BC1D，
所以AB1∥平面BC1D.
(2) 因为AB1∥平面BC1D，所以直线AB1上任一点到平面BC1D的距离都相等．
又＝(0，1，0)，
设直线AB1到平面BC1D的距离为d，
则d＝＝＝，
所以直线AB1到平面BC1D的距离为.
13. (1) 由题意，得DA，DC，DP两两互相垂直，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz.
设PD＝h(h>0).
由题意，得E(1，0，0)，B(2，2，0)，P(0，0，h)，
所以＝(1，0，－h)，＝(1，2，0).
设平面PEB的法向量为n＝(x0，y0，z0),
则即
令x0＝2，则y0＝－1，z0＝，
所以n＝(2，－1，).
又因为PD⊥平面ABCD，
所以平面ABCD的一个法向量为m＝(0，0，1).
由题意，得cos 〈m，n〉＝＝＝， 解得h＝2，
所以PD＝2.
(2) 由(1)得平面PEB的一个法向量为n＝(2，－1，1).
又C(0，2，0)，所以＝(－2，0，0)，
故点C到平面PEB的距离为＝.

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