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2025届福建省高三高考模拟数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，设与的夹角为，则( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则与的夹角为 D. 若与垂直，则
4.我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年个家庭的月均用水量单位：，将数据按照，，分成组，制定如图所示的频率分布直方图假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计全市家庭月均用水量的平均数为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是偶函数，则( )
A. B. C. D.
6.已知幂函数的图象经过点与点，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点若椭圆上的点满足，，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有( )
A. 等差数列，若，则
B. 等比数列，若，则
C. 若为数列前项和，则，仍为等差数列
D. 若为数列前项和，则，仍为等比数列
10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，为双曲线在第一象限上的点，设，的斜率分别为，，且过点作双曲线的切线与双曲线的渐近线交于，两点，则( )
A. 的值随着的增大而减小 B. 双曲线的离心率为
C. D.
11.已知正四棱台的上、下底面的边长分别为、，侧棱长为，则关于此正四棱台的结论正确的有( )
A. 侧面积为 B. 体积为
C. 侧面与底面所成角的正切值为 D. 外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的展开式的二项式系数之和为，则其展开式中常数等于 ．
13.在中，角，，的对边分别为，，若，，则的最小值
14.棱长均为的四面体的顶点分别在四个互相平行的平面上若相邻两平行平面的距离都为，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对年至年每年的交易额取近似值进行统计分析，结果如下表：
年份
年份代码
交易额单位：百亿
据上表数据，计算与的相关系数精确到，并说明与的线性相关性的强弱若，则认为与的线性相关性很强若，则认为与的线性相关性一般若，则认为与的线性相关性较弱
利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并预测年该平台的交易额．
参考数据：，，
参考公式：相关系数
线性回归方程中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为，．
16.本小题分
已知数列的前项和为，，当时，．
求数列的通项公式；
设数列，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点．
设，且，，，四点共面，求实数的值
若平面和平面夹角的余弦值为，求三棱锥的体积．
18.本小题分
已知抛物线的焦点为，为上的动点，到点的距离与到的准线的距离之和的最小值为．
求抛物线的方程．
给出如下的定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与的对称轴不平行，则称直线为抛物线上点处的切线，公共点称为切点请你运用上述定义解决以下问题：
(ⅰ)证明：抛物线上点处的切线方程为
(ⅱ)若过点可作抛物线的条切线，切点分别为，证明：直线，的斜率之积为常数．
19.本小题分
已知函数，，，，．
若，，，，，求的值
若，集合，集合，为的子集，它们各有个元素，且设，，，，，，且，，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】由，得，
，
在复平面内的对应的点的坐标为，位于第二象限．
故选：．
2.【答案】
【解析】由，得
，
，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】向量，，
对于，，
，故A错误
对于，若，则，，
所以，故B正确
对于，若，则，
，故C错误
对于，由题可得，若与垂直，
则，解得，故D错误．
故选：．
4.【答案】
【解析】，解得，
，
估计全市家庭月均用水量的平均数为．
故选：．
5.【答案】
【解析】函数的图象向右平移个单位长度后，
得到，
因为是偶函数，
所以，，
即，，
又因为，所以，
所以函数解析式为：，
所以．
故选：．
6.【答案】
【解析】设为常数，因为幂函数的图象经过点与点，
所以，，解得，
所以，
所以．
故选：．
7.【答案】
【解析】由题意可得，，所以可得，
取的中点为，则，，
所以，
因为，
所以，
同理得，，
所以，整理得，
所以，
解得，
因为，
所以．
故选：．
8.【答案】
【解析】依题意可得，的图象与直线有个公共点，
因为函数
所以
当或时，；当或时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
故的极小值为，极大值为．
作出的大致图象，如图所示．
由图可知，实数的取值范围是．
故选：．
9.【答案】
【解析】对于，对于等差数列，设其公差为，首项为，则，
若，
则
故A正确；
对于，取，显然数列成等比数列，且，
而，故 B错误；
对于，设等差数列的公差为，
，
，
有，
因此成等差数列，故C正确；
对于，当等比数列的公比，为正偶数时，，
显然不成等比数列，故 D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】由题意得双曲线的左顶点为，右顶点为，
渐近线为，
在中，由正弦定理可知，
显然，均为锐角且随着的增大分别减小与增大，
即，随着的增大分别减小与增大且均为正数，
的值随着的增大而减小，故A正确
由在双曲线上，则有，因为左顶点为，右顶点为，
所以，
即，所以，故B正确
显然，且，，故C错误
对于，可设双曲线，
所以在点处的切线方程为，
联立方程组，可令，
联立方程组，可得，
，
点为线段的中点，即，故D正确．
故选：
11.【答案】
【解析】如图所示，

正四棱台的上、下底面的边长分别为、，侧棱长为，则斜高为，
侧面积为，故 A错误；
正四棱台，上底面的中心为，下底面的中心为．
连接，其上、下底面的边长分别为，，
得，
过点作，使并交与点，
则，则有，
则正四棱台的体积，
故B正确；
侧面与底面所成角的正切值为，
故C正确；
由于，则该棱台的外接球的球心在的延长线上，
设其外接球的球心为，半径为，
则有，
则有，
解得 ，
故其外接球的表面积为
，故 D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】展开式二项式系数和为，，解得，
展开式通项公式为：
令，解得，展开式中常数为．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】由题意可得：，
则，故，
则，据此可知，
从而：，
由于，故，
令，考查函数，其中，
注意到，当且仅当时等号成立．
故的最大值为，
则的最小值为．
故答案为．
14.【答案】
【解析】由题意得，在正方体中作出正四面体，作其中过，，三个顶点的互相平行的平面，如图：
由于相邻平面间距离都相等，不妨求平面与平面间的距离，
其中，，，，为正方体棱上的中点，过作于，
则即为两平行平面间的距离，
因为，
所以，
所以，
即相邻平行平面的距离为．
故答案为：．
15.【答案】依题意，，
，，
，
故
，
所以与的线性相关性很强；
，
，
则，
所以关于的线性回归方程为，
当时，，
所以预计年该平台的交易额为百亿．

16.【答案】由题意，当时，，且，
若，则，即，
当时，，
两式相减得，，
整理得，即，
所以 ，
综上所述， ；
因为
设数列的前项和为，
当时，，
当时，
，
当时也适合上式，
所以．
17.【答案】在平面内作，又因为平面，且，都在平面内，所以垂直，垂直，所以可以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，，，，
，，，，，
，
又，分别为，的中点，，，
设平面的法向量为，且，在平面内，
，
所以，令得，，
，
又因为，，，四点共面，所以，，共面，
解得；
由得，
又，，
设平面的法向量为，且，都在平面内，
解得，令得，
设平面和平面夹角为，
所以，
整理得，
，，即，
，分别为，的中点，
由中位线的性质可知，
平面，平面，
平面，
，
，平面，，
．

18.【答案】抛物线的焦点，准线：，
设动点，动点到其准线的距离为，
由抛物线定义得，，则，
当且仅当时取等号，依题意，，
所以抛物线的方程为；
当上处的切线斜率存在时设其方程为，，，
由得
由得，解得，
代入式得，即，
又，代入得，即为上处的切线斜率存在时的方程．
当上处的切线斜率不存在时，即时处切线方程为，符合式
所以上处的切线方程为；
设，，
由知点处的切线方程为． ，
点处的切线方程为．
将分别代入上面两式得：，所以直线方程为，
由知直线，斜率分别为，，则．
由得，当即时．
代入式得．
所以直线，斜率之积为常数．
19.【答案】，
当时，，
当时，
在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为，又，
设，所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，又，，当且仅当时取等号，
又，所以，，，
，，
有一个零点，记，
而，，，
又，
且，故在上还有一个零点，记为，
由的单调性知，恰有两个零点，，且，
而，为的子集，它们各有个元素，且，
至少有个元素，
而的元素只可能在，，，，，，之中，这表明它们两两不等，
且，
包含个正数，个负数而，为的子集，它们各有个元素，
且，，，
设包含个负数，个正数，则包含个负数，个正数，
，，，，
，，
从而，
，
，
设，则，
设，则，
单调递增，，又，
，
所以，由知，在上单调递减，上单调递增，
，即，
，
．
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