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期末专项培优 三元一次方程组的解法
一．选择题（共5小题）
1．（2024 武进区校级自主招生）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（　　）
A．1.2元 B．1.05元 C．0.95元 D．0.9元
2．（2024 金牛区校级模拟）若2x+5y+4z＝0，3x+y﹣7z＝0，则x+y﹣z的值等于（　　）
A．0 B．1 C．2 D．不能求出
3．（2024 江都市模拟）如果二元一次方程组的解是二元一次方程3x﹣5y﹣7＝0的一个解，那么a值是（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
4．（2024 雁江区期中）已知x+4y﹣3z＝0，且4x﹣5y+2z＝0，x：y：z为（　　）
A．1：2：3 B．1：3：2 C．2：1：3 D．3：1：2
5．（2024 淄博）如图，在正方形ABCD的每个顶点上写一个数，把这个正方形每条边的两端点上的数加起来，将和写在这条边上，已知AB上的数是3，BC上的数是7，CD上的数是12，则AD上的数是（　　）
A．2 B．7 C．8 D．15
二．填空题（共5小题）
6．（2024 滨州）某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排　 　名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套．
7．（2024 桥西区校级期末）已知x+2y﹣3z＝0，2x+3y+5z＝0，则　 　．
8．（2023秋 固原期末）已知：，且3a+2b﹣4c＝9，则a+b+c的值等于 　 　．
9．（2024 滨州期中）若x时，关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为倒数，则a﹣2b＝　 　．
10．（2022 东兴区校级二模）已知实数a、b、c满足2a+13b+3c＝90，3a+9b+c＝72，则　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 乌鲁木齐期末）解三元一次方程组．
12．（2024 苏州一模）阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为：
请你解决以下问题：
（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组
（2）已知x、y、z，满足试求z的值．
13．（2024 全椒县期中）如果，且x+y+z＝18，求x，y，z的值．
14．（2024 怀柔区期末）已知关于x、y的方程组的x、y的值之和等于2，求m的值．
15．（2024 福州期末）某中学的1号教学大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门也大小相同，安全检查时，对4道门进行了测试，当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可通过800名学生．
（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
（2）该中学的2号教学大楼，有和1号教学大楼相同的正门和侧门共5道，若这栋大楼的教室里最多有1920名学生，安全检查规定，在紧急情况下，全大楼学生应在4分钟内通过这5道门安全撤离，该栋大楼正门和侧门各有几道？
期末专项培优 三元一次方程组的解法
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 B A C A C
一．选择题（共5小题）
1．（2024 武进区校级自主招生）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（　　）
A．1.2元 B．1.05元 C．0.95元 D．0.9元
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】应用意识．
【答案】B
【分析】设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，建立三元一次方程组，两个方程相减，即可求得x+y+z的值．
【解答】解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，
根据题意得，
②﹣①得x+y+z＝1.05（元）．
故选：B．
【点评】解答此题的关键是根据题意列出方程组，同时还要有整体思想．
2．（2024 金牛区校级模拟）若2x+5y+4z＝0，3x+y﹣7z＝0，则x+y﹣z的值等于（　　）
A．0 B．1 C．2 D．不能求出
【考点】解三元一次方程组．
【专题】运算能力．
【答案】A
【分析】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，把x，y用z表示出来，代入代数式求值．
【解答】解：根据题意得：，
把（2）变形为：y＝7z﹣3x，
代入（1）得：x＝3z，
代入（2）得：y＝﹣2z，
则x+y﹣z＝3z﹣2z﹣z＝0．
故选：A．
【点评】本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答．
3．（2024 江都市模拟）如果二元一次方程组的解是二元一次方程3x﹣5y﹣7＝0的一个解，那么a值是（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
【考点】解三元一次方程组．
【答案】C
【分析】先用含a的代数式表示x，y，即解关于x，y的方程组，再代入3x﹣5y﹣7＝0中可得a的值．
【解答】解：
由①+②，可得2x＝4a，
∴x＝2a，
将x＝2a代入①，得y＝2a﹣a＝a，
∵二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，
∴将代入方程3x﹣5y﹣7＝0，
可得6a﹣5a﹣7＝0，
∴a＝7
故选：C．
【点评】本题先通过解二元一次方程组，求得用a表示的x，y值后再代入关于a的方程而求解的．
4．（2024 雁江区期中）已知x+4y﹣3z＝0，且4x﹣5y+2z＝0，x：y：z为（　　）
A．1：2：3 B．1：3：2 C．2：1：3 D．3：1：2
【考点】解三元一次方程组．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】将两个方程联立构成方程组，然后把z看作已知数，分别用含有z的式子表示出x与y，然后求出比值即可．
【解答】解：联立得：，
①×5+②×4得：21x＝7z，解得：xz，代入①得：yz，
则x：y：zz：z：z：：1＝1：2：3．
故选：A．
【点评】此题考查学生利用消元的数学思想解方程组的能力，是一道基础题．解题的关键是把z看作已知数来求出方程组的解．
5．（2024 淄博）如图，在正方形ABCD的每个顶点上写一个数，把这个正方形每条边的两端点上的数加起来，将和写在这条边上，已知AB上的数是3，BC上的数是7，CD上的数是12，则AD上的数是（　　）
A．2 B．7 C．8 D．15
【考点】三元一次方程组的应用．
【答案】C
【分析】根据题意首先设A端点数为x，B点为y，则C点为：7﹣y，D点为：z，得出x+y＝3①，C点为：7﹣y，z+7﹣y＝12，而得出x+z的值．
【解答】解：设A端点数为x，B点为y，则C点为：7﹣y，D点为：z，
根据题意可得：x+y＝3①，C点为：7﹣y，故z+7﹣y＝12②，
故①+②得：
x+y+z+7﹣y＝12+3，
故x+z＝8，
即AD上的数是：8．
故选：C．
【点评】此题主要考查了方程组的应用，注意利用整体思想求出x+z的值是解题关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 滨州）某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排　120　名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套．
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】可设应该安排x名工人缝制衣袖，y名工人缝制衣身，z名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套，根据等量关系：①一共210名工人；②小袖的个数：衣身的个数：衣领的个数＝2：1：1；依此列出方程组求解即可．
【解答】解：设应该安排x名工人缝制衣袖，y名工人缝制衣身，z名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套，依题意有
，
解得．
故应该安排120名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套．
故答案为：120．
【点评】考查了三元一次方程组的应用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．
（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础．
（2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中优越性．
7．（2024 桥西区校级期末）已知x+2y﹣3z＝0，2x+3y+5z＝0，则　　．
【考点】解三元一次方程组．
【答案】见试题解答内容
【分析】将x、y写成用z表示的代数式进行计算．
【解答】解：由题意得：，
①×2﹣②得y＝11z，
代入①得x＝﹣19z，
原式．
故本题答案为：．
【点评】此题需将三元一次方程组中的一个未知数当做已知数来处理，转化为二元一次方程组来解．
8．（2023秋 固原期末）已知：，且3a+2b﹣4c＝9，则a+b+c的值等于 　﹣15　．
【考点】解三元一次方程组．
【答案】见试题解答内容
【分析】先设比例系数为k，代入3a+2b﹣4c＝9，转化为关于k的一元一次方程解答．
【解答】解：设k，
则a＝3k，b＝5k，c＝7k，
代入3a+2b﹣4c＝9，
得9k+10k﹣28k＝9，
解得：k＝﹣1，
∴a＝﹣3，b＝﹣5，c＝﹣7，
于是a+b+c＝﹣3﹣5﹣7＝﹣15．
故本题答案为：﹣15．
【点评】本题通过把三元转化为一元，而求得三个未知数的值而求解的．
9．（2024 滨州期中）若x时，关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为倒数，则a﹣2b＝　11　．
【考点】解三元一次方程组．
【答案】见试题解答内容
【分析】把x，y的值代入方程组中，得到关于a，b的方程组，求解即可．
【解答】解：由于x、y互为倒数，x，则y＝2，
代入二元一次方程组，
得，
解得a＝10，b，
则a﹣2b＝11．
故本题答案为：11．
【点评】本题的实质是解三元一次方程组，解答此题还要熟悉倒数的概念．
10．（2022 东兴区校级二模）已知实数a、b、c满足2a+13b+3c＝90，3a+9b+c＝72，则　1　．
【考点】解三元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知变形后可得：a+2b＝18，3b+c＝18，代入可得结论．
【解答】解：，
②×3﹣①得：9a+27b+3c﹣2a﹣13b﹣3c＝216﹣90，
7a+14b＝126，
a+2b＝18，
①×3﹣②×2得：6a+39b+9c﹣6a﹣18b﹣2c＝3b+c，
3b+c＝270﹣144＝18
∴．
故答案为：1．
【点评】本题考查了解三元方程组和求分式的值，利用了整体代入的数学思想，其技巧性较强，其中把已知等式进行适当的变形是解本题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 乌鲁木齐期末）解三元一次方程组．
【考点】解三元一次方程组．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据加减消元法，化三元一次方程组为二元一次方程组，再根据加减消元法，可得一元一次方程，求出一元一次方程的解，再逐步代入，可得方程组的解．
【解答】解：②×3+③，得
11x+10z＝35 ④
①与④组成方程组
解得，把代入方程②得，y，
三元一次方程组的解为．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，消元是解题关键，变三元为二元，变二元为一元．
12．（2024 苏州一模）阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为：
请你解决以下问题：
（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组
（2）已知x、y、z，满足试求z的值．
【考点】解三元一次方程组；二元一次方程组的解．
【专题】方程与不等式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将②变形后代入方程解答即可；
（2）将原方程变形后利用加减消元解答即可．
【解答】解：（1）
将②变形得3（2x﹣3y）+4y＝11 ④
将①代入④得
3×7+4y＝11
y
把y代入①得，
∴方程组的解为
（2）
由①得3（x+4y）﹣2z＝47 ③
由②得2（x+4y）+z＝36 ④
③×2﹣④×3得z＝2
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，用了整体代入思想．
13．（2024 全椒县期中）如果，且x+y+z＝18，求x，y，z的值．
【考点】解三元一次方程组．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先用未知数k分别表示出x、y和z，又因为x+y+z＝18，则可得k的值，从而求得x，y，z的值．
【解答】解：根据题意，设x+3＝2k，y﹣1＝3k，z﹣2＝4k，
则x＝2k﹣3，y＝3k+1，z＝4k+2．
∵x+y+z＝18，
∴2k﹣3+3k+1+4k+2＝18，
解得k＝2，
∴x＝2×2﹣3＝1，
y＝3×2+1＝7，
z＝4×2+2＝10．
【点评】本题考查了比例的性质，比较简单．当已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
14．（2024 怀柔区期末）已知关于x、y的方程组的x、y的值之和等于2，求m的值．
【考点】解三元一次方程组．
【答案】见试题解答内容
【分析】把原方程组消去m后，与x+y＝2建立新的方程组，求得x，y的值后，再代入原方程组中，求得m的值．
【解答】解：关于x、y的方程组为：，
由①﹣②得：x+2y＝2，
∵x、y的值之和等于2，
∴，
解这个方程组得，
把代入②得：m＝4．
答：m的值是4．
【点评】本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答．
15．（2024 福州期末）某中学的1号教学大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门也大小相同，安全检查时，对4道门进行了测试，当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可通过800名学生．
（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
（2）该中学的2号教学大楼，有和1号教学大楼相同的正门和侧门共5道，若这栋大楼的教室里最多有1920名学生，安全检查规定，在紧急情况下，全大楼学生应在4分钟内通过这5道门安全撤离，该栋大楼正门和侧门各有几道？
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】应用题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意可知，本题有两个未知数：平均每分钟一道正门和一道侧门各通过多少名学生．等量关系有两个：当同时开启一道正门和两道侧门时，2min内可以通过560名学生．当同时开启一道正门和一道侧门时，4min内可以通过800名学生．根据以上条件可以列出方程组求解；
（2）根据（1）的数据，列出方程组解答即可．
【解答】解：（1）设平均每分钟一道正门可通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生．
则，
解得．
答：平均每分钟一道正门可通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生；
（2）设该栋大楼正门有m道，侧门有n道，则
，
解得．
故该栋大楼正门有2道，侧门有3道．
【点评】考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据题意找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
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