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期末专项培优 实际问题与二元一次方程组
一．选择题（共5小题）
1．（2024 杭州模拟）现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023 罗湖区校级模拟）玩具车间每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，若甲种玩具零件一个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在60天内组装出最多的玩具？设生产甲种玩具零件x天，乙种玩具零件y天，则有（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024 宁夏）小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了16分钟．假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时．若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（2024 兰州）中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024春 河口区期末）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 丰台区模拟）如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为 　 　．
7．（2024 北京）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．
《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”
设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为 　 　．
8．（2024 盘锦）在一次知识竞赛中，学校为获得一等奖和二等奖共30名学生购买奖品，共花费528元，其中一等奖奖品每件20元，二等奖奖品每件16元，求获得一等奖和二等奖的学生各有多少名？设获得一等奖的学生有x名，二等奖的学生有y名，根据题意可列方程组为 　 　．
9．（2024 昌平区校级期末）体育馆的环形跑道长400米，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果同向而行80秒乙追上甲一次；如果反向而行，他们每隔30秒相遇一次；求甲、乙的速度分别是多少？如果设甲的速度是x米/秒，乙的速度是y米/秒，所列方程组是　 　．
10．（2024 自贡）我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：
“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 双阳区二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．甲、乙两人原来各有多少钱？
12．（2024 运城期末）在当地农业技术部门指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收．去年菠萝的收入结余12000元，今年菠萝的收入比去年增加了20%，支出减少10%，结余今年预计比去年多11400元．
请计算：（1）今年结余　 　元；
（2）若设去年的收入为x元，支出为y元，则今年的收入为　 　元，支出为　 　元．（以上两空用含x、y的代数式表示）
（3）列方程组计算小明家今年种植菠萝的收入和支出．
13．（2024 苍南县校级期中）北京2008年奥运会跳水决赛的门票价格如下表：
等级 A B C
票价（元/张） 未知 未知 150
小聪带了2700元购票款前往购票，若购买2张A等票和5张B等票，则购票款多出了200元；若购买5张A等票和1张B等票，则购票款还缺100元．
（1）若小聪购买1张A等票和7张B等票共需花费多少元？
（2）若小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，则他购买的门票总数为　 　张．（该小题直接写出答案，不必写出过程．）
14．甲、乙、丙三队要完成A、B两项工程．B工程的工作量比A工程的工作量多25%，甲、乙、丙三队单独完成A工程所需的时间分别是20天、24天、30天．为了共同完成这两项工程，先派甲队做A工程，乙、丙二队做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程．两项工程同时施工又同时完工，问乙、丙二队合作了多少天？
15．（2024 佛山期末）某文具店，甲种笔记本标价每本8元，乙种笔记本标价每本5元
（1）两种笔记本各销售了多少？
（2）所得销售款可能是660元吗？为什么？
期末专项培优 实际问题与二元一次方程组
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 A C B A B
一．选择题（共5小题）
1．（2024 杭州模拟）现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【答案】A
【分析】此题中的等量关系有：①共有190张铁皮；
②做的盒底数等于盒身数的2倍时才能正好配套．
【解答】解：根据共有190张铁皮，得方程x+y＝190；
根据做的盒底数等于盒身数的2倍时才能正好配套，得方程2×8x＝22y．
列方程组为．
故选：A．
【点评】找准等量关系是解应用题的关键，寻找第二个相等关系是难点．
2．（2023 罗湖区校级模拟）玩具车间每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，若甲种玩具零件一个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在60天内组装出最多的玩具？设生产甲种玩具零件x天，乙种玩具零件y天，则有（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【答案】C
【分析】根据每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，则x天能够生产24x个甲种零件，y天能够生产12y个乙种零件．
此题中的等量关系有：
①总天数是60天；
②根据甲种玩具零件一个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，则乙种零件应是甲种零件的2倍，可列方程为2×24x＝12y．
【解答】解：根据总天数是60天，可得x+y＝60；根据乙种零件应是甲种零件的2倍，可列方程为2×24x＝12y．
则可列方程组为．
故选：C．
【点评】此题的难点在于列第二个方程，注意甲种玩具零件一个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，说明生产的乙种零件是甲种零件的2倍，要列方程，则应让少的2倍，方可列出方程．
3．（2024 宁夏）小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了16分钟．假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时．若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【答案】B
【分析】两个等量关系为：上坡用的时间+下坡用的时间＝16；上坡用的时间×上坡的速度+下坡用的时间×下坡速度＝1.2，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：可根据所用时间和所走的路程和得到相应的方程组为：
故选：B．
【点评】考查用二元一次方程组解决行程问题；得到走不同路段所用时间及所走的路程之和的等量关系是解决本题的关键．解题的关键是统一单位．
4．（2024 兰州）中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】应用题；一次方程（组）及应用；推理能力．
【答案】A
【分析】根据每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：根据题意可得：
，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．（2024春 河口区期末）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】直接利用“五只雀、六只燕，共重16两、互换其中一只，恰好一样重”，进而分别得出等式求出答案．
【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为：
．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确表示出“互换一只恰好一样重”的等式是解题关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 丰台区模拟）如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为 　　．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据图示可得：长方形的长可以表示为x+2y，长又是75厘米，故x+2y＝75，长方形的宽可以表示为2x，或x+3y，故2x＝3y+x，整理得x＝3y，联立两个方程即可．
【解答】解：根据图示可得，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．
7．（2024 北京）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．
《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”
设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为 　　．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，得到等量关系，即可列出方程组．
【解答】解：根据题意得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是找到题目中所存在的等量关系．
8．（2024 盘锦）在一次知识竞赛中，学校为获得一等奖和二等奖共30名学生购买奖品，共花费528元，其中一等奖奖品每件20元，二等奖奖品每件16元，求获得一等奖和二等奖的学生各有多少名？设获得一等奖的学生有x名，二等奖的学生有y名，根据题意可列方程组为 　　．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】应用题．
【答案】见试题解答内容
【分析】设获得一等奖的学生有x名，二等奖的学生有y名，根据“一等奖和二等奖共30名学生，”“一等奖和二等奖共花费528元，”列出方程组即可．
【解答】解：设获得一等奖的学生有x名，二等奖的学生有y名，由题意得
．
故答案为：．
【点评】此题考查从实际问题中抽出二元一次方程组，注意找出题目蕴含的数量关系．
9．（2024 昌平区校级期末）体育馆的环形跑道长400米，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果同向而行80秒乙追上甲一次；如果反向而行，他们每隔30秒相遇一次；求甲、乙的速度分别是多少？如果设甲的速度是x米/秒，乙的速度是y米/秒，所列方程组是　　．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】应用题；一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据环形跑道问题，同向而行80秒乙追上甲一次可得用乙跑路程减去甲跑路程等于400米；反向而行，他们每隔30秒相遇一次可得甲、乙路程和等于400米列出方程组即可．
【解答】解：根据题意，得
．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是掌握行程问题应用题．列方程时注意乙跑一圈之和才追上甲的实际意义．
10．（2024 自贡）我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：
“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组　　．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【答案】见试题解答内容
【分析】分别利用大、小和尚一共100人以及馒头大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，馒头一共100个分别得出等式得出答案．
【解答】解：设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组：
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 双阳区二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．甲、乙两人原来各有多少钱？
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】应用题；一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文，可以列出方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱，
由题意可得，，
解得：，
答：甲原有36文钱，乙原有24文钱．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
12．（2024 运城期末）在当地农业技术部门指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收．去年菠萝的收入结余12000元，今年菠萝的收入比去年增加了20%，支出减少10%，结余今年预计比去年多11400元．
请计算：（1）今年结余　23400　元；
（2）若设去年的收入为x元，支出为y元，则今年的收入为　1.2x　元，支出为　0.9y　元．（以上两空用含x、y的代数式表示）
（3）列方程组计算小明家今年种植菠萝的收入和支出．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据去年菠萝的收入结余12000元，结余今年预计比去年多11400元，可以计算出今年的结余；
（2）根据今年菠萝的收入比去年增加了20%，支出减少10%，可以表示出今年的收入和支出
（3）根据题意可以得到相应的方程组，从而可以求得小明家今年种植菠萝的收入和支出．
【解答】解：（1）由题意可得，
今年结余：12000+11400＝23400（元），
故答案为：23400；
（2）由题意可得，
今年的收入为：x（1+20%）＝1.2x（元），支出为：y（1﹣10%）＝0.9y（元），
故答案为：1.2x，0.9y；
（3）由题意可得，
，
解得，，
则1.2x＝1.2×42000＝50400，0.9y＝0.9×30000＝27000，
答：小明家今年种植菠萝的收入和支出分别为50400元、27000元．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的知识解答．
13．（2024 苍南县校级期中）北京2008年奥运会跳水决赛的门票价格如下表：
等级 A B C
票价（元/张） 未知 未知 150
小聪带了2700元购票款前往购票，若购买2张A等票和5张B等票，则购票款多出了200元；若购买5张A等票和1张B等票，则购票款还缺100元．
（1）若小聪购买1张A等票和7张B等票共需花费多少元？
（2）若小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，则他购买的门票总数为　8或9或10　张．（该小题直接写出答案，不必写出过程．）
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据购买2张A等票和5张B等票，则购票款多出了200元；购买5张A等票和1张B等票，则购票款还缺100元，分别得出方程，组成方程组求出即可；
（2）利用凑整法求出符合题意的答案．
【解答】解：（1）设购买1张A等票需要x元，1张B等票需花费y元，根据题意可得：
，
解得：，
故500+7×300＝2600（元），
答：小聪购买1张A等票和7张B等票共需花费2600元；
（2）
设购买A等票x张，购买B等票y张，购买C等票z张，
根据题意可得：500x+300y+150z＝2700，
当x＝3，y＝3时，z＝2；当x＝3，y＝2时，z＝4；当x＝3，y＝1时，z＝6，只有这几种方案是整数，符合题意，
故小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，则他购买的门票总数为8或9或10张．
故答案为：8或9或10．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，得出合适的等量关系是解题关键．
14．甲、乙、丙三队要完成A、B两项工程．B工程的工作量比A工程的工作量多25%，甲、乙、丙三队单独完成A工程所需的时间分别是20天、24天、30天．为了共同完成这两项工程，先派甲队做A工程，乙、丙二队做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程．两项工程同时施工又同时完工，问乙、丙二队合作了多少天？
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】工程问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】可设A的工作量为1，可得B的工作量；两个等量关系为：甲独做的工作量+甲丙合作的工作量＝1；乙丙合作的工作量+乙独做的工作量＝B的工作量，把相关数值代入求解即可．
【解答】解：设乙、丙二队合作了x天，丙队与甲队合作了y天．将工程A视为1，则工程B可视为1+25%，由题意得：，
由此可解得x＝15，
答：乙、丙二队合作了15天．
【点评】考查二元一次方程组的应用，根据工作量得到两个等量关系是解决本题的关键；在工程问题中，如果工作总量不是一个具体的量，常常将工作总量视为1．
15．（2024 佛山期末）某文具店，甲种笔记本标价每本8元，乙种笔记本标价每本5元
（1）两种笔记本各销售了多少？
（2）所得销售款可能是660元吗？为什么？
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设甲种笔记本销售x本，乙种笔记本销售y本，依题意得列方程组求解即可；
（2）依据销售款为660元列出方程，根据方程的解是否为整数进行判断即可．
【解答】解：（1）设甲种笔记本销售x本，乙种笔记本销售y本，依题意得
，
解得，
答：甲种笔记本销售65本，乙种笔记本销售35本；
（2）设甲种笔记本销售x本，乙种笔记本销售y本，则
8x+5y＝660，
解得y＝132x，
当132x≥0时，x≤82.5，
∴当x满足0≤x≤82.5且x为5的倍数时，销售款可能是660元．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
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