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期末专项培优 实数及其简单运算
一．选择题（共5小题）
1．（2024 福田区校级模拟）π、，，，3.1416，0.中，无理数的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024 枣庄）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（　　）
A．ac＞bc B．|a﹣b|＝a﹣b C．﹣a＜﹣b＜c D．﹣a﹣c＞﹣b﹣c
3．（2024 杭州）若kk+1（k是整数），则k＝（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（2024 大同期末）若|a|＝4，，且a+b＜0，则a﹣b的值是（　　）
A．1，7 B．﹣1，7 C．1，﹣7 D．﹣1，﹣7
5．（2024 包头自主招生）下列说法中正确的是（　　）
A．带根号的数是无理数
B．无理数不能在数轴上表示出来
C．无理数是无限小数
D．无限小数是无理数
二．填空题（共5小题）
6．（2024 常德）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3．按此规定[]的值为　 　．
7．（2024 徐州）化简：||＝　 　．
8．（2024 成都）如图，数轴上点A表示的实数是 　 　．
9．（2024 凉州区）估计与0.5的大小关系是： 　 　0.5．（填“＞”、“＝”、“＜”）
10．（2024 宝安区期末）实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，则|b|+|a|的值　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春 惠阳区期末）已知：3a+1的立方根是﹣2，2b﹣1的算术平方根是3，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求2a﹣b的平方根．
12．（2024 饶平县校级模拟）计算：|﹣3|（﹣2）2．
13．（2024 饶平县校级期末）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．
（1）仿照以上方法计算：　 　；　 　．
（2）若，写出满足题意的x的整数值 　 　．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．
（3）对100连续求根整数，　 　次之后结果为1．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 　 　．
14．（2024春 青秀区校级月考）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
15．（2024春 内黄县期末）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：
∵，即23，
∴的整数部分为2，小数部分为（2）．
请解答：（1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　 　．
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b的值；
（3）已知：10x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．
期末专项培优 实数及其简单运算
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 B D D D C
一．选择题（共5小题）
1．（2024 福田区校级模拟）π、，，，3.1416，0.中，无理数的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】无理数．
【专题】数感．
【答案】B
【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项．
【解答】解：在π、，，，3.1416，0.中，
无理数是：π，共2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义．注意带根号的数与无理数的区别：带根号的数不一定是无理数，带根号且开方开不尽的数一定是无理数．本题中是有理数中的整数．
2．（2024 枣庄）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（　　）
A．ac＞bc B．|a﹣b|＝a﹣b C．﹣a＜﹣b＜c D．﹣a﹣c＞﹣b﹣c
【考点】实数与数轴．
【专题】数形结合．
【答案】D
【分析】先根据各点在数轴上的位置比较出其大小，再对各选项进行分析即可．
【解答】解：∵由图可知，a＜b＜0＜c，
∴A、ac＜bc，故A选项错误；
B、∵a＜b，
∴a﹣b＜0，
∴|a﹣b|＝b﹣a，故B选项错误；
C、∵a＜b＜0，
∴﹣a＞﹣b，故C选项错误；
D、∵﹣a＞﹣b，c＞0，
∴﹣a﹣c＞﹣b﹣c，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．
3．（2024 杭州）若kk+1（k是整数），则k＝（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】估算无理数的大小．
【答案】D
【分析】根据9，10，可知910，依此即可得到k的值．
【解答】解：∵kk+1（k是整数），910，
∴k＝9．
故选：D．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是估算的取值范围，从而解决问题．
4．（2024 大同期末）若|a|＝4，，且a+b＜0，则a﹣b的值是（　　）
A．1，7 B．﹣1，7 C．1，﹣7 D．﹣1，﹣7
【考点】实数的运算．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义及二次根式性质化简，确定出a与b的值，即可求出a﹣b的值．
【解答】解：∵|a|＝4，，且a+b＜0，
∴a＝﹣4，b＝﹣3或a＝﹣4，b＝3，
则a﹣b＝﹣1或﹣7．
故选：D．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2024 包头自主招生）下列说法中正确的是（　　）
A．带根号的数是无理数
B．无理数不能在数轴上表示出来
C．无理数是无限小数
D．无限小数是无理数
【考点】无理数．
【专题】推理填空题；推理能力．
【答案】C
【分析】举出反例如，循环小数1.333…，即可判断A、D；根据数轴上能表示任何一个实数即可判断B；根据无理数的定义即可判断C．
【解答】解：A、如2，不是无理数，故本选项错误；
B、无理数都能在数轴上表示出来，故本选项错误；
C、无理数是无限不循环小数，即无理数都是无限小数，故本选项正确；
D、如1.33333333…，是无限循环小数，是有理数，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了对无理数的意义的理解和运用，无理数包括：①开方开不尽的数，②含π的，③一些有规律的数．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 常德）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3．按此规定[]的值为　4　．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】压轴题；新定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出的范围，求出1的范围，即可求出答案．
【解答】解：∵34，
∴3+11＜4+1，
∴41＜5，
∴[1]＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了估计无理数的应用，关键是确定1的范围，题目比较新颖，是一道比较好的题目．
7．（2024 徐州）化简：||＝　　．
【考点】实数的性质．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】要先判断出0，再根据绝对值的定义即可求解．
【解答】解：∵0
∴||＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质．要注意负数的绝对值是它的相反数．
8．（2024 成都）如图，数轴上点A表示的实数是 　1　．
【考点】实数与数轴．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出A点对应的实数．
【解答】解：由图形可得：﹣1到A的距离为，
则数轴上点A表示的实数是：1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确得出﹣1到A的距离是解题关键．
9．（2024 凉州区）估计与0.5的大小关系是： 　＞　0.5．（填“＞”、“＝”、“＜”）
【考点】实数大小比较．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．
【解答】解：∵0.5，
∵2＞0，
∴0，
∴0.5．
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了两个实数的大小，其中比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．
10．（2024 宝安区期末）实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，则|b|+|a|的值　﹣2a﹣b　．
【考点】实数的运算；实数与数轴．
【专题】实数；符号意识．
【答案】﹣2a﹣b．
【分析】直接利用数轴结合绝对值以及平方根的性质化简得出答案．
【解答】解：由数轴可得：a，0＜b，
故|b|+|a|
b﹣（a）﹣a
b﹣aa
＝﹣2a﹣b．
故答案为：﹣2a﹣b．
【点评】此题主要考查了实数的运算以及实数与数轴，正确化简各式是解题关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春 惠阳区期末）已知：3a+1的立方根是﹣2，2b﹣1的算术平方根是3，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求2a﹣b的平方根．
【考点】估算无理数的大小；平方根．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据立方根、算术平方根、无理数的估算即可求出a、b、c的值；
（2）求出代数式2a﹣b的值，再求这个数的平方根．
【解答】解：（1）∵3a+1的立方根是﹣2，
∴3a+1＝﹣8，
解得，a＝﹣3，
∵2b﹣1的算术平方根是3，
∴2b﹣1＝9，
解得，b＝5，
∵，
∴67，
∴的整数部分为6，
即，c＝6，
因此，a＝﹣3，b＝5，c＝6，
（2）当a＝﹣3，b＝5，c＝6时，
2a﹣b6﹣56＝16，
2a﹣b的平方根为±±4．
【点评】本题考查算术平方根、立方根、无理数的估算，掌握算术平方根、立方根和无理数的估算是正确解答的前提．
12．（2024 饶平县校级模拟）计算：|﹣3|（﹣2）2．
【考点】实数的运算．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用算术平方根定义计算，第三项利用立方根定义计算，第四项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝3﹣4（﹣2）+4＝3﹣4﹣1+4＝2．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．（2024 饶平县校级期末）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．
（1）仿照以上方法计算：　2　；　5　．
（2）若，写出满足题意的x的整数值 　1，2，3　．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．
（3）对100连续求根整数，　3　次之后结果为1．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 　255　．
【考点】估算无理数的大小；实数的运算．
【专题】新定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先估算和的大小，再由并新定义可得结果；
（2）根据定义可知x＜4，可得满足题意的x的整数值；
（3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为1；
（4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵22＝4，52＝25，62＝36，
∴56，
∴[2]＝2，[]＝5，
故答案为：2，5；
（2）∵12＝1，22＝4，且，
∴x＝1，2，3，
故答案为：1，2，3；
（3）第一次：[]＝10，
第二次：[]＝3，
第三次：[]＝1，
故答案为：3；
（4）最大的正整数是255，
理由是：∵[]＝15，[]＝3，[]＝1，
∴对255只需进行3次操作后变为1，
∵[]＝16，[]＝4，[]＝2，[]＝1，
∴对256只需进行4次操作后变为1，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255；
故答案为：255．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力．
14．（2024春 青秀区校级月考）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【考点】估算无理数的大小．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值；
（2）将a、b、c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【解答】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是的整数部分，
∴c＝3．
（2）将a＝5，b＝2，c＝3代入得：3a﹣b+c＝16，
∴3a﹣b+c的平方根是±4．
【点评】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
15．（2024春 内黄县期末）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：
∵，即23，
∴的整数部分为2，小数部分为（2）．
请解答：（1）的整数部分是 　4　，小数部分是 　4　．
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b的值；
（3）已知：10x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）4，4；
（2）1；
（3）﹣12．
【分析】（1）先估算出的范围，即可得出答案；
（2）先估算出、的范围，求出a、b的值，再代入求出即可；
（3）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可．
【解答】解：（1）∵45，
∴的整数部分是4，小数部分是 ，
故答案为：4，4；
（2）∵23，
∴a2，
∵34，
∴b＝3，
∴a+b2+31；
（3）∵1＜3＜4，
∴12，
∴11＜1012，
∵10x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝11，y＝10111，
∴x﹣y＝11﹣（1）＝12，
∴x﹣y的相反数是﹣12．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出、、、的范围是解此题的关键．
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