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期末专项培优 相交线
一．选择题（共5小题）
1．（2024 河南）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
2．（2024 淄博）如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（　　）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
3．（2023春 凤台县期中）若点A到直线l的距离为7cm，点B到直线l的距离为3cm，则线段AB的长度为（　　）
A．10cm B．4cm C．10cm或4cm D．至少4cm
4．（2024 常宁市期末）在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A的度数为（　　）
A．20° B．55° C．20°或125° D．20°或55°
5．（2024 香坊区期末）如图，∠1和∠2不是同旁内角的是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
6．（2024春 肃州区校级期中）如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是 　 　．
7．（2024 满洲里市期末）如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠2与∠B是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠A与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是　 　（只填序号）．
8．（2024 江西）一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示，∠1+∠2＝　 　度．
9．（2024 麻城市校级月考）如图，∠1和∠3是直线　 　和　 　被直线　 　所截而成的　 　角；图中与∠2是同旁内角的角有　 　个．
10．（2024 吴中区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．∠AOC∠COB，则∠BOF＝　 　°．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 淮北期末）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE、OF分别是∠BOD、∠AOD的平分线．
（1）∠DOE的补角是 　 　．
（2）若∠BOD＝64°，求∠AOE和∠DOF的度数．
12．（2024秋 永川区期末）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，垂足为O．
（1）若∠EOD＝32°，求∠COB的度数；
（2）若∠AOC：∠COB＝2：7，求∠EOD的度数．
13．（2024 文山市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOM＝90°．
（1）如图1，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；
（2）如图2，若∠BOC＝4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度数．
14．（2024 铜山区期末）如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．
（1）求∠BOD的度数；
（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．
①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；
②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．
15．（2024 定远县校级期末）已知如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE＝90°．
（1）若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOC＝1：5，求∠AOE的度数；
（3）在（2）的条件下，过点O作OF⊥AB，请直接写出∠EOF的度数．
期末专项培优 相交线
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 C D D C D
一．选择题（共5小题）
1．（2024 河南）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【考点】垂线；角平分线的定义．
【答案】C
【分析】由射线OM平分∠AOC，∠AOM＝35°，得出∠MOC＝35°，由ON⊥OM，得出∠CON＝∠MON﹣∠MOC得出答案．
【解答】解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM＝35°，
∴∠MOC＝35°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠CON＝∠MON﹣∠MOC＝90°﹣35°＝55°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了垂线和角平分线，解决本题的关键是找准角的关系．
2．（2024 淄博）如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（　　）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【考点】点到直线的距离．
【答案】D
【分析】直接利用点到直线的距离的定义分析得出答案．
【解答】解：如图所示：线段AB的长度是点B到AC的距离，
线段CA的长度是点C到AB的距离，
线段AD的长度是点A到BC的距离，
线段BD的长度是点B到AD的距离，
线段CD的长度是点C到AD的距离，
故图中能表示点到直线距离的线段共有5条．
故选：D．
【点评】此题主要考查了点到直线的距离，正确把握定义是解题关键．
3．（2023春 凤台县期中）若点A到直线l的距离为7cm，点B到直线l的距离为3cm，则线段AB的长度为（　　）
A．10cm B．4cm C．10cm或4cm D．至少4cm
【考点】点到直线的距离．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】应结合题意，分类画图．根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，可得线段AB的长度至少为4cm．
【解答】解：从点A作直线l的垂线，垂足为C点，当A、B、C三点共线时，线段AB的长为7﹣3＝4cm，其它情况下大于4cm，
当A、B在直线l的两侧时，AB＞4cm，
故选：D．
【点评】此题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．
4．（2024 常宁市期末）在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A的度数为（　　）
A．20° B．55° C．20°或125° D．20°或55°
【考点】垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】C
【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，可设∠B是x度，利用方程即可解决问题．
【解答】解：设∠B是x度，根据题意，得
①两个角相等时，如图1：
∠B＝∠A＝x，
x＝3x﹣40
解得，x＝20，
故∠A＝20°，
②两个角互补时，如图2：
x+3x﹣40＝180，
所以x＝55，
3×55°﹣40°＝125°
故∠A的度数为：20°或125°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了垂线，三角形内角和和四边形内角和，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．
5．（2024 香坊区期末）如图，∠1和∠2不是同旁内角的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】同位角、内错角、同旁内角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】D
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．根据同旁内角的概念可得答案．
【解答】解：选项A、B、C中，∠1与∠2在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，是同旁内角；
选项D中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同旁内角．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同旁内角，关键是掌握同旁内角的边构成“U”形．
二．填空题（共5小题）
6．（2024春 肃州区校级期中）如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是 　垂线段最短　．
【考点】垂线段最短．
【专题】应用题．
【答案】见试题解答内容
【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．
【解答】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，
∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短．
故答案为：垂线段最短．
【点评】本题是垂线段最短在实际生活中的应用，体现了数学的实际运用价值．
7．（2024 满洲里市期末）如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠2与∠B是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠A与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是　①②③　（只填序号）．
【考点】同位角、内错角、同旁内角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力；模型思想；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的意义，结合图形逐个判断即可．
【解答】解：∠2与∠3是直线AB、直线BC，被直线CD所截的一对内错角，因此①符合题意；
∠2与∠B是直线CD、直线BC，被直线AB所截的一对同位角，因此②符合题意；
∠A与∠B是直线AC、直线BC，被直线AB所截的一对同旁内角，因此③符合题意，
∠A与∠ACB是直线AB、直线BC，被直线AC所截的一对同旁内角，因此④不符合题意，
故答案为：①②③．
【点评】考查同位角、内错角、同旁内角的意义，理清哪两条直线被第三条直线所截，形成的角进行判断是关键．
8．（2024 江西）一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示，∠1+∠2＝　90　度．
【考点】对顶角、邻补角；余角和补角．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据对顶角相等得到∠1＝∠3，∠2＝∠4，而三角形尺为直尺，即可得到∠1+∠2＝90°．
【解答】解：如图，
∵∠1＝∠3，∠2＝∠4，
而∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
故答案为：90．
【点评】本题考查了对顶角的性质：对顶角相等．
9．（2024 麻城市校级月考）如图，∠1和∠3是直线　AB　和　AC　被直线　DE　所截而成的　内错　角；图中与∠2是同旁内角的角有　3　个．
【考点】同位角、内错角、同旁内角．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据内错角和同旁内角的定义得出即可．
【解答】解：∠1和∠3是直线AB和AC被直线DE所截而成的内错角；图中与∠2 是同旁内角的角有∠6、∠5、∠7，共3个，
故答案为：AB、AC、DE、内错，3．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角等知识点，能根据图形找出各对角是解此题的关键．
10．（2024 吴中区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．∠AOC∠COB，则∠BOF＝　30　°．
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据对顶角相等求得∠BOD的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠EOD的度数，则∠COE即可求得，再根据角平分线的定义求得∠EOF，最后根据∠BOF＝∠EOF﹣∠BOF求解．
【解答】解：∵∠AOC∠COB，∠AOB＝180°，
∴∠AOC＝180°80°，
∴∠BOD＝∠AOC＝80°，
又∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE∠BOD80°＝40°．
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣40°＝140°，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF∠COE140°＝70°，
∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOF＝70°﹣40°＝30°．
故答案为：30．
【点评】本题考查了角平分线的定义，以及对顶角的性质，理解角平分线的定义是关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 淮北期末）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE、OF分别是∠BOD、∠AOD的平分线．
（1）∠DOE的补角是 　∠AOE或∠COE　．
（2）若∠BOD＝64°，求∠AOE和∠DOF的度数．
【考点】对顶角、邻补角；角的概念；角平分线的定义；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）∠AOE或∠COE；
（2）∠AOE＝148°，∠DOF＝58°．
【分析】（1）根据和为180度的两个角互为补角，结合角平分形平分角，进行判断即可；
（2）根据平角的定义，角平分线的定义，进行求解即可．
【解答】解：（1）∵OE是∠BOD的平分线，
∴∠DOE＝∠BOE，
又∵∠BOE+∠AOE＝180°，∠DOE+∠COE＝180°，
∴∠DOE+∠AOE＝180°，
∴∠DOE的补角是∠AOE或∠COE，
故答案为：∠AOE或∠COE；
（2）∵OE是∠BOD的平分线，∠BOD＝64°，
∴，
∴∠AOE＝180°﹣32°＝148°，
∵∠BOD＝64°，
∴∠AOD＝180°﹣64°＝116°，
∵OF是∠AOD的平分线，
∴．
【点评】本题考查对顶角、邻补角，角的概念，角平分线的定义，余角和补角，关键是掌握角平分线的定义及角的有关计算．
12．（2024秋 永川区期末）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，垂足为O．
（1）若∠EOD＝32°，求∠COB的度数；
（2）若∠AOC：∠COB＝2：7，求∠EOD的度数．
【考点】对顶角、邻补角；垂线；角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）122°；
（2）50°．
【分析】（1）根据垂直定义求出∠EOB，即可求出∠DOB的度数，再根据邻补角的定义即可求出答案；
（2）设∠AOC＝2x°，∠COB＝7x°，根据邻补角互补得出2x+7x＝180，求出x，即可求出∠AOC，根据对顶角相等求出∠BOD，根据垂直定义求出∠EOB，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵OE⊥AB，
∴∠EOB＝90°，
∵∠EOD＝32°，
∴∠BOD＝90°﹣32°＝58°，
∴∠COB＝180°﹣∠BOD＝180°﹣58°＝122°；
（2）∵∠AOC：∠COB＝2：7，
∴设∠AOC＝2x°，∠COB＝7x°，
∵∠AOC+∠COB＝180°，∴2x+7x＝180，
解得x＝20，
∴∠AOC＝40°，
∴∠BOD＝∠AOC＝40°，
∵∠EOB＝90°，
∴∠EOD＝90°﹣40°＝50°．
【点评】本题考查了对顶角、邻补角，垂线，角的计算，能熟记对顶角、邻补角的定义是解此题的关键．
13．（2024 文山市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOM＝90°．
（1）如图1，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；
（2）如图2，若∠BOC＝4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度数．
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠AOC＝45°，然后根据邻补角的定义求解即可；
（2）设∠NOB＝x°，∠BOC＝4x°，根据角平分线的定义表示出∠COM＝∠MON∠CON，再根据∠BOM列出方程求解x，然后求解即可．
【解答】解（1）∵∠AOM＝90°，OC平分∠AOM，
∴∠AOC∠AOM90°＝45°，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣45°＝135°，
即∠AOD的度数为135°；
（2）∵∠BOC＝4∠NOB
∴设∠NOB＝x°，∠BOC＝4x°，
∴∠CON＝∠COB﹣∠BON＝4x°﹣x°＝3x°，
∵OM平分∠CON，
∴∠COM＝∠MON∠CONx°，
∵∠BOMx+x＝90°，
∴x＝36°，
∴∠MONx°36°＝54°，
即∠MON的度数为54°．
【点评】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键，（2）难点在于根据∠BOM列出方程．
14．（2024 铜山区期末）如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．
（1）求∠BOD的度数；
（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．
①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；
②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）依据∠COE＝60°，OA平分∠COE，可得∠AOC＝30°，再根据∠AOB＝90°，即可得到∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°；
（2）①分两种情况进行讨论：当OE平分∠AOB时，∠AOE＝45°；当OF平分∠AOB时，∠AOF＝45°；分别依据角的和差关系进行计算即可得到t的值；
②分两种情况进行讨论：当OE平分∠BOD时，∠BOE∠BOD；当OF平分∠BOD时，∠DOF∠BOD；分别依据角的和差关系进行计算即可得出t的值．
【解答】解：（1）∵∠COE＝60°，OA平分∠COE，
∴∠AOC＝30°，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°；
（2）①分两种情况：
Ⅰ当OE平分∠AOB时，∠AOE＝45°，
即9°t+30°﹣3°t＝45°，
解得t＝2.5；
Ⅱ当OF平分∠AOB时，∠AOF＝45°，
即9°t﹣150°﹣3°t＝45°，
解得t＝32.5；
综上所述，当t＝2.5或32.5时，直线EF平分∠AOB；
②t的值为12或36．
分两种情况：
Ⅰ．当OE平分∠BOD时，∠BOE∠BOD，
即9°t﹣60°﹣3°t（60°﹣3°t），
解得t＝12；
Ⅱ．当OF平分∠BOD时，∠DOF∠BOD，
即9°t﹣300°（3°t﹣60°），
解得t＝36；
综上所述，若直线EF平分∠BOD，t的值为12或36．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键，还需要通过计算进行初步估计位置，掌握分类思想，注意不能漏解．
15．（2024 定远县校级期末）已知如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE＝90°．
（1）若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOC＝1：5，求∠AOE的度数；
（3）在（2）的条件下，过点O作OF⊥AB，请直接写出∠EOF的度数．
【考点】对顶角、邻补角．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据平角的定义求解即可；
（2）根据平角的定义可求∠BOD，根据对顶角的定义可求∠AOC，根据角的和差关系可求∠AOE的度数；
（3）先过点O作OF⊥AB，再分两种情况根据角的和差关系可求∠EOF的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝36°，∠COE＝90°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝54°；
（2）∵∠BOD：∠BOC＝1：5，
∴∠BOD＝180°30°，
∴∠AOC＝30°，
∴∠AOE＝30°+90°＝120°；
（3）如图1，∠EOF＝120°﹣90°＝30°，
或如图2，∠EOF＝360°﹣120°﹣90°＝150°．
故∠EOF的度数是30°或150°．
【点评】本题主要考查了角的计算，涉及到的角有平角、直角；熟练掌握平角等于180度，直角等于90度，是解答本题的关键．
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