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期末专项培优 一元一次不等式组
一．选择题（共5小题）
1．（2024 长安区校级模拟）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024 龙岗区校级模拟）不等式组的解集是3＜x＜a+2，则a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．a≤3 C．a＜1或a＞3 D．1＜a≤3
3．（2024 南京二模）若不等式组有解，则k的取值范围是（　　）
A．k＜2 B．k≥2 C．k＜1 D．1≤k＜2
4．（2024 海门市校级自主招生）关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（　　）
A．﹣5≤a B．﹣5≤a C．﹣5＜a D．﹣5＜a
5．（2024 永州）定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]＝3，[0.6]＝0，[﹣3.6]＝﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（　　）
A．[x]＝x（x为整数） B．0≤x﹣[x]＜1
C．[x+y]≤[x]+[y] D．[n+x]＝n+[x]（n为整数）
二．填空题（共5小题）
6．（2024 宁夏）若不等式组有解，则a的取值范围是 　 　．
7．（2024 岱岳区一模）若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣9，则m的取值范围是 　 　．
8．（2024 谷城县校级模拟）若不等式组恰有两个整数解．则实数a的取值范围是　 　．
9．（2024 霞山区校级自主招生）按下面程序计算，若开始输入x的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件所有x的值是 　 　．
10．（2024 江津区）我们定义ad﹣bc，例如2×5﹣3×4＝10﹣12＝﹣2，若x，y均为整数，且满足13，则x+y的值是 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 黔东南州）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．
12．（2024 兴庆区校级二模）解不等式组：，并求它的整数解的和．
13．（2024 攀枝花）某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．
（1）若该超市一次性购进两种商品共80件，且恰好用去1600元，问购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）若该超市要使两种商品共80件的购进费用不超过1640元，且总利润（利润＝售价﹣进价）不少于600元．请你帮助该超市设计相应的进货方案，并指出使该超市利润最大的方案．
14．（2024 湘潭）我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：
脐橙品种 A B C
每辆汽车运载量（吨） 6 5 4
每吨脐橙获得（百元） 12 16 10
（1）设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；
（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；
（3）若要使此次销售获利最大，应采用（2）中哪种安排方案？并求出最大利润的值．
15．（2023秋 义乌市期末）某慈善组织租用甲、乙两种货车共16辆，把蔬菜266吨，水果169吨全部运到灾区．已知一辆甲种货车同时可装蔬菜18吨，水果10吨：一辆乙种货车同时可装蔬菜16吨，水果11吨．
（1）若将这批货物一次性运到灾区，有哪几种租车方案？
（2）若甲种货车每辆需付燃油费1600元，乙种货车每辆需付燃油费1200元，应选（1）中的哪种方案，才能使所付的燃油费最少？最少的燃油费是多少元？
期末专项培优 一元一次不等式组
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 长安区校级模拟）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【专题】计算题．
【答案】B
【分析】先求出不等式组的解集（含字母a），因为不等式组有3个整数解，可逆推出a的值．
【解答】解：由于不等式组有解，则，必定有整数解0，
∵，
∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0．
若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解；
若三个整数解为0，1，2，则；
解得．
故选：B．
【点评】解答此题要先求出不等式组的解集，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
2．（2024 龙岗区校级模拟）不等式组的解集是3＜x＜a+2，则a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．a≤3 C．a＜1或a＞3 D．1＜a≤3
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】根据题中所给条件，结合口诀，可得a﹣1与3之间、5和a+2之间都存在一定的不等关系，解这两个不等式即可．
【解答】解：根据题意可知a﹣1≤3且a+2≤5
所以a≤3
又因为3＜x＜a+2
即a+2＞3
所以a＞1
所以1＜a≤3
故选：D．
【点评】主要考查了已知一元一次不等式解集求不等式中的字母的值，同样也是利用口诀求解，注意：当符号方向不同，数字相同时（如：x＞a，x＜a），没有交集也是无解但是要注意当两数相等时，在解题过程中不要漏掉相等这个关系．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
3．（2024 南京二模）若不等式组有解，则k的取值范围是（　　）
A．k＜2 B．k≥2 C．k＜1 D．1≤k＜2
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】根据不等式组的解集为两个不等式解集的公共部分，所以在有解的情况下，k的值必须小于2．
【解答】解：因为不等式组有解，
由同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到，如图
当k≥2时，无解，
当1＜k＜2时，有解，
当k≤1时，有解，
∴若不等式组有解，则k＜2．
故选：A．
【点评】主要考查了已知一元一次不等式解集求不等式中的字母的值，同样也是利用口诀求解，但是要注意当两数相等时，解集也是x＞2，不要漏掉相等这个关系．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．
4．（2024 海门市校级自主招生）关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（　　）
A．﹣5≤a B．﹣5≤a C．﹣5＜a D．﹣5＜a
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】C
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【解答】解：不等式组的解集是2﹣3a＜x＜21，
因为不等式组只有4个整数解，则这4个解是20，19，18，17．
所以可以得到16≤2﹣3a＜17，
解得﹣5＜a．
故选：C．
【点评】正确解出不等式组的解集，正确确定2﹣3a的范围，是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
5．（2024 永州）定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]＝3，[0.6]＝0，[﹣3.6]＝﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（　　）
A．[x]＝x（x为整数） B．0≤x﹣[x]＜1
C．[x+y]≤[x]+[y] D．[n+x]＝n+[x]（n为整数）
【考点】一元一次不等式组的应用．
【专题】压轴题；新定义．
【答案】C
【分析】根据“定义[x]为不超过x的最大整数”进行计算．
【解答】解：A、∵[x]为不超过x的最大整数，
∴当x是整数时，[x]＝x，成立；
B、∵[x]为不超过x的最大整数，
∴0≤x﹣[x]＜1，成立；
C、例如，[﹣5.4﹣3.2]＝[﹣8.6]＝﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]＝﹣6+（﹣4）＝﹣10，
∵﹣9＞﹣10，
∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]，
∴[x+y]≤[x]+[y]不成立，
D、[n+x]＝n+[x]（n为整数），成立；
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是理解新定义．新定义解题是近几年高考常考的题型．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 宁夏）若不等式组有解，则a的取值范围是 　a＞﹣1　．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先解出不等式组的解集，根据已知不等式组有解，即可求出a的取值范围．
【解答】解：∵由①得x≥﹣a，
由②得x＜1，
故其解集为﹣a≤x＜1，
∴﹣a＜1，即a＞﹣1，
∴a的取值范围是a＞﹣1．
故答案为：a＞﹣1．
【点评】考查了不等式组的解集，求不等式组的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知数处理，求出不等式组的解集并与已知解集比较，进而求得另一个未知数的取值范围．
7．（2024 岱岳区一模）若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣9，则m的取值范围是 　﹣2＜m≤﹣1或1＜m≤2　．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣2＜m≤﹣1或1＜m≤2．
【分析】先求出不等式的解集，根据已知不等式组的整数解的和为﹣9即可得出答案．
【解答】解：
∵解不等式①得：x≥﹣4，
∴不等式组的解集是﹣4≤x＜m，
又∵不等式组的所有整数解的和为﹣9，
∴不等式组的整数解是﹣4，﹣3，﹣2或﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，
∴﹣4+（﹣3）+（﹣2）＝﹣9或（﹣4）+（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0+1＝﹣9，
∴﹣2＜m≤﹣1或1＜m≤2，
故答案为：﹣2＜m≤﹣1或1＜m≤2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解等知识点，能熟记求不等式组解集的方法是解此题的关键．
8．（2024 谷城县校级模拟）若不等式组恰有两个整数解．则实数a的取值范围是　a≤1　．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知不等式组有两个整数解得出不等式组1＜2a≤2，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
∵解不等式①得：x，
解不等式②得：x＜2a，
∴不等式组的解集为x＜2a，
∵不等式组有两个整数解，
∴1＜2a≤2，
∴a≤1，
故答案为：a≤1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式（组），不等式组的整数解，关键是能根据不等式组的解集得出关于a的不等式组，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
9．（2024 霞山区校级自主招生）按下面程序计算，若开始输入x的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件所有x的值是 　131或26或5或　．
【考点】一元一次不等式组的应用．
【专题】压轴题；图表型．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用逆向思维来做，分析第一个数就是直接输出656，可得方程5x+1＝656，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有答案．
【解答】解：我们用逆向思维来做：
第一个数就是直接输出其结果的：5x+1＝656，
解得：x＝131；
第二个数是（5x+1）×5+1＝656，
解得：x＝26；
同理：可求出第三个数是5；
第四个数是，
∴满足条件所有x的值是131或26或5或．
故答案为：131或26或5或．
【点评】此题考查了方程与不等式的应用．注意理解题意与逆向思维的应用是解题的关键．
10．（2024 江津区）我们定义ad﹣bc，例如2×5﹣3×4＝10﹣12＝﹣2，若x，y均为整数，且满足13，则x+y的值是 　±3　．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【专题】压轴题；新定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据题意列出不等式，根据x的取值范围及x为整数求出x的值，再把x的值代入求出y的值即可．
【解答】解：由题意得，1＜1×4﹣xy＜3，即1＜4﹣xy＜3，
∴，
∵x、y均为整数，∴xy为整数，
∴xy＝2，
∴x＝±1时，y＝±2；
x＝±2时，y＝±1；
∴x+y＝2+1＝3或x+y＝﹣2﹣1＝﹣3．
故答案为：±3
【点评】此题比较简单，解答此题的关键是根据题意列出不等式，根据x，y均为整数求出x、y的值即可．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 黔东南州）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大小小大取中间，大大小小无解，把它们的解集用一条数轴表示出来．
【解答】解：由①得：﹣2x≥﹣2，即x≤1，
由②得：4x﹣2＜5x+5，即x＞﹣7，
所以﹣7＜x≤1．
在数轴上表示为：
【点评】本题考查不等式组的解法和解集在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心．
12．（2024 兴庆区校级二模）解不等式组：，并求它的整数解的和．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，进而求其整数解，最后求它的整数解的和即可．
【解答】解：，
由①得x＞﹣2
由②得x≤1
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1
∴不等式组的整数解的和为﹣1+0+1＝0．
【点评】本题旨在考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
13．（2024 攀枝花）某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．
（1）若该超市一次性购进两种商品共80件，且恰好用去1600元，问购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）若该超市要使两种商品共80件的购进费用不超过1640元，且总利润（利润＝售价﹣进价）不少于600元．请你帮助该超市设计相应的进货方案，并指出使该超市利润最大的方案．
【考点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用．
【专题】应用题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设该超市购进甲商品x件，则购进乙商品（80﹣x）件，根据恰好用去1600元，求出x的值，即可得到结果；
（2）设该超市购进甲商品y件，乙商品（80﹣y）件，根据两种商品共80件的购进费用不超过1640元，且总利润（利润＝售价﹣进价）不少于600元列出不等式组，求出不等式组的解集确定出x的值，即可设计相应的进货方案，并找出使该超市利润最大的方案．
【解答】解：（1）设该超市购进甲商品x件，则购进乙商品（80﹣x）件，
根据题意得：10x+30（80﹣x）＝1600，
解得：x＝40，80﹣x＝40，
则购进甲、乙两种商品各40件；
（2）设该超市购进甲商品y件，乙商品（80﹣y）件，
由题意得：，
解得：38≤y≤40，
∵y为非负整数，
∴y＝38，39，40，相应地乙商品42，41，40，
∴利润分别为5×38+10×42＝190+420＝610，5×39+10×41＝195+410＝605，5×40+10×40＝200+400＝600，
则该超市利润最大的方案是购进甲商品38件，乙商品42件．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用，以及一元一次方程的应用，找出题中的等量关系及不等式关系是解本题的关键．
14．（2024 湘潭）我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：
脐橙品种 A B C
每辆汽车运载量（吨） 6 5 4
每吨脐橙获得（百元） 12 16 10
（1）设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；
（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；
（3）若要使此次销售获利最大，应采用（2）中哪种安排方案？并求出最大利润的值．
【考点】一元一次不等式组的应用．
【专题】压轴题；方案型；图表型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）等量关系为：车辆数之和＝20；
（2）关系式为：装运每种脐橙的车辆数≥4；
（3）总利润为：装运A种脐橙的车辆数×6×12+装运B种脐橙的车辆数×5×16+装运C种脐橙的车辆数×4×10，然后按x的取值来判定．
【解答】解：（1）根据题意，装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，
那么装运C种脐橙的车辆数为（20﹣x﹣y），
则有：6x+5y+4（20﹣x﹣y）＝100
整理得：y＝﹣2x+20（1≤x≤9且为整数）；
（2）由（1）知，装运A、B、C三种脐橙的车辆数分别为x，﹣2x+20，x．
由题意得：
解得：4≤x≤8
因为x为整数，
所以x的值为4，5，6，7，8，所以安排方案共有5种．
方案一：装运A种脐橙4车，B种脐橙12车，C种脐橙4车；
方案二：装运A种脐橙5车，B种脐橙10车，C种脐橙5车，
方案三：装运A种脐橙6车，B种脐橙8车，C种脐橙6车，
方案四：装运A种脐橙7车，B种脐橙6车，C种脐橙7车，
方案五：装运A种脐橙8车，B种脐橙4车，C种脐橙8车；
（3）设利润为W（百元）则：W＝6x×12+5（﹣2x+20）×16+4x×10＝﹣48x+1600
∵k＝﹣48＜0
∴W的值随x的增大而减小．
要使利润W最大，则x＝4，
故选方案一W最大＝﹣48×4+1600＝1408（百元）＝14.08（万元）
答：当装运A种脐橙4车，B种脐橙12车，C种脐橙4车时，获利最大，最大利润为14.08万元．
【点评】解决本题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系．确定x的范围，得到装在的几种方案是解决本题的关键．
15．（2023秋 义乌市期末）某慈善组织租用甲、乙两种货车共16辆，把蔬菜266吨，水果169吨全部运到灾区．已知一辆甲种货车同时可装蔬菜18吨，水果10吨：一辆乙种货车同时可装蔬菜16吨，水果11吨．
（1）若将这批货物一次性运到灾区，有哪几种租车方案？
（2）若甲种货车每辆需付燃油费1600元，乙种货车每辆需付燃油费1200元，应选（1）中的哪种方案，才能使所付的燃油费最少？最少的燃油费是多少元？
【考点】一元一次不等式组的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设租用甲种货车x辆，表示出租用乙种货车为（16﹣x）辆，然后根据装运的蔬菜和水果数不少于所需要运送的吨数列出一元一次不等式组，求解后再根据x是正整数设计租车方案；
（2）方法一：根据所付的费用等于两种车辆的燃油费之和列式整理，再根据一次函数的增减性求出费用的最小值；
方法二：分别求出三种方案的燃油费用，比较即可得解．
【解答】解：（1）设租用甲种货车x辆，租用乙种货车为（16﹣x）辆，
根据题意得，
由①得x≥5，
由②得x≤7，
∴5≤x≤7，
∵x为正整数，
∴x＝5或6或7，
因此，有3种租车方案：
方案一：租甲种货车5辆，乙种货车11辆；
方案二：租甲种货车6辆，乙种货车10辆；
方案三：租甲种货车7辆，乙种货车9辆；
（2）方法一：由（1）知，租用甲种货车x辆，租用乙种货车为（16﹣x）辆，设两种货车燃油总费用为y元，
由题意得y＝1600x+1200（16﹣x），
＝400x+19200，
∵400＞0，
∴y随x值增大而增大，当x＝5时，y有最小值，
∴y最小＝400×5+19200＝21200元；
方法二：
当x＝5时，16﹣5＝11辆，
5×1600+11×1200＝21200元；
当x＝6时，16﹣6＝10辆，
6×1600+10×1200＝21600元；
当x＝7时，16﹣7＝9辆，
7×1600+9×1200＝22000元．
答：选择（1）中的方案一租车，才能使所付的费用最少，最少费用是21200元．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，找出题中不等量关系，列出不等式组是解题的关键．
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