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第1章 学情评估卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．与的公因式是（ ）
A. 4 B. C. D.
2．下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
3．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（ ）
A. B.
C. D.
4．[［2025长沙期末］]将因式分解，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知，，则、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
6．[［2025永州期末］]小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
7．将多项式加上一个整式，使它能利用完全平方公式进行因式分解，则下列不满足条件的整式是（ ）
A. B. C. D.
8．如图是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上的符号代表的内容.
因式分解：. 解： ☆. 其中运用到的方法是 和 .
下列说法错误的是（ ）
A. 代表 B. ☆代表
C. 可能代表提公因式法 D. 可能代表完全平方公式法
9．已知，，分别是的边长，若，，则的周长为（ ）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 12
10．[［2025怀化期中］]小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别表示下列六个字：化，爱，我，怀，游，美.现将因式分解，结果呈现的密码可能是（ ）
A. 我爱美 B. 怀化游 C. 美我怀化 D. 爱我怀化
二、填空题（每题3分，共24分）
11．因式分解：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
12．从，，这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解，写出一个这样的等式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
13．若，，则_ _ _ _ _ _ .
14．若多项式可分解为，则的值为_ _ _ _ .
15．计算：…_ _ _ _ _ _ _ _ .
16．如图，A，B分别是边长为，的正方形地砖，C是长为，宽为的长方形地砖，现有4块A型地砖，10块B型地砖，12块C型地砖，要无重叠、无缝隙地拼成一个最大的正方形，则剩余1块_ _ _ _ 型地砖.
（第16题）
17．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”.例如，当，时，，15是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第100个智慧优数是_ _ .
18．[［2025株洲月考］]某校八年级两个班级的劳动实践基地抽象出来的几何模型如图所示，该模型中有两个边长分别为，的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示八年级两个班级的基地面积.若，，则.
（第18题）
三、解答题（共66分）
19．（6分）因式分解：
（1） ；
（2） .
20．（6分）用简便方法计算：
（1） ；
（2） .
21．（8分）下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务.
因式分解：.
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
【任务一】 以上变形过程中，第一步依据的公式用字母，表示为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【任务二】
① 以上分解过程第步出现错误，错误的原因为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
② 请直接写出因式分解的正确结果.
22．（8分）已知两个多项式，.
（1） 当，时，多项式的值为，则当，时，求多项式的值.
（2） 试将进行因式分解.
23．（9分）两名同学将一个二次三项式其中，，均为常数，且因式分解，一名同学因看错了一次项系数而分解成，另一名同学因看错了常数项而分解成.
（1） 求原多项式的二次项系数，一次项系数和常数项的值；
（2） 将原多项式因式分解.
24．（9分）如图，将一张大长方形纸板按图中所示裁剪成9块，其中2块均是边长为的大正方形，2块均是边长为的小正方形，5块均是长为，宽为的小长方形.
（1） 观察图形，可以发现代数式可以因式分解为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 若阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求图中空白部分的面积.
25．（10分）阅读与思考
给出下面四个等式： ； ； ； . 通过观察，可以得到结论：两个连续奇数的平方差一定能被8整除. 说明过程如下：设这两个连续奇数分别为，为整数， 则 （依据） . 因为为整数，所以一定能被8整除， 即两个连续奇数的平方差一定能被8整除.
（1） 任务一：材料中的“依据”是指_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （乘法公式）.
（2） 任务二：事实上，任意两个奇数的平方差也一定是8的倍数.请你说明理由.［提示：设这两个奇数分别为，，均为整数，且］
（3） 任务三：任意两个连续偶数的平方差也一定能被8整除吗？请说明理由.
26．（10分）【阅读材料】我们把多项式与叫作完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常常进行如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法.配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题.比如：
例1：把因式分解. 解： . 例2：求的最小值. 解： ， 则当时，有最小值，最小值是.
【初步感知】
（1） 因式分解：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值.
【尝试应用】
（3） 已知，求的值.
第1章 学情评估卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．与的公因式是（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】C
2．下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
3．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
4．[［2025长沙期末］]将因式分解，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
5．已知，，则、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
6．[［2025永州期末］]小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
【答案】B
7．将多项式加上一个整式，使它能利用完全平方公式进行因式分解，则下列不满足条件的整式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
8．如图是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上的符号代表的内容.
因式分解：. 解： ☆. 其中运用到的方法是 和 .
下列说法错误的是（ ）
A. 代表 B. ☆代表
C. 可能代表提公因式法 D. 可能代表完全平方公式法
【答案】D
9．已知，，分别是的边长，若，，则的周长为（ ）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 12
【答案】B
10．[［2025怀化期中］]小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别表示下列六个字：化，爱，我，怀，游，美.现将因式分解，结果呈现的密码可能是（ ）
A. 我爱美 B. 怀化游 C. 美我怀化 D. 爱我怀化
【答案】D
二、填空题（每题3分，共24分）
11．因式分解：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
12．从，，这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解，写出一个这样的等式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（答案不唯一）
13．若，，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
14．若多项式可分解为，则的值为_ _ _ _ .
【答案】3
15．计算：…_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
16．如图，A，B分别是边长为，的正方形地砖，C是长为，宽为的长方形地砖，现有4块A型地砖，10块B型地砖，12块C型地砖，要无重叠、无缝隙地拼成一个最大的正方形，则剩余1块_ _ _ _ 型地砖.
（第16题）
【答案】B
17．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”.例如，当，时，，15是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第100个智慧优数是_ _ .
【答案】609
18．[［2025株洲月考］]某校八年级两个班级的劳动实践基地抽象出来的几何模型如图所示，该模型中有两个边长分别为，的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示八年级两个班级的基地面积.若，，则.
（第18题）
【答案】16
三、解答题（共66分）
19．（6分）因式分解：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式.
20．（6分）用简便方法计算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式.
21．（8分）下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务.
因式分解：.
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
【任务一】 以上变形过程中，第一步依据的公式用字母，表示为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【任务二】
① 以上分解过程第步出现错误，错误的原因为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
② 请直接写出因式分解的正确结果.
【任务一】
【任务二】 ① 四；进行乘法运算的过程多余
② 解：.
22．（8分）已知两个多项式，.
（1） 当，时，多项式的值为，则当，时，求多项式的值.
（2） 试将进行因式分解.
【答案】
（1） 解：因为当，时，，
所以，所以，
所以，所以，，
所以，所以当，时，
.
（2） .
23．（9分）两名同学将一个二次三项式其中，，均为常数，且因式分解，一名同学因看错了一次项系数而分解成，另一名同学因看错了常数项而分解成.
（1） 求原多项式的二次项系数，一次项系数和常数项的值；
（2） 将原多项式因式分解.
【答案】
（1） 解：因为一名同学因看错了一次项系数而分解成，，
所以，.
因为另一名同学因看错了常数项而分解成，，所以.
（2） 由（1）得原多项式为，
所以.
24．（9分）如图，将一张大长方形纸板按图中所示裁剪成9块，其中2块均是边长为的大正方形，2块均是边长为的小正方形，5块均是长为，宽为的小长方形.
（1） 观察图形，可以发现代数式可以因式分解为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 若阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求图中空白部分的面积.
【答案】（1）
（2） 解：因为题图中阴影部分的面积为，
所以，所以.
因为大长方形纸板的周长为，
所以，所以，
所以，
所以空白部分的面积为.
25．（10分）阅读与思考
给出下面四个等式： ； ； ； . 通过观察，可以得到结论：两个连续奇数的平方差一定能被8整除. 说明过程如下：设这两个连续奇数分别为，为整数， 则 （依据） . 因为为整数，所以一定能被8整除， 即两个连续奇数的平方差一定能被8整除.
（1） 任务一：材料中的“依据”是指_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （乘法公式）.
（2） 任务二：事实上，任意两个奇数的平方差也一定是8的倍数.请你说明理由.［提示：设这两个奇数分别为，，均为整数，且］
（3） 任务三：任意两个连续偶数的平方差也一定能被8整除吗？请说明理由.
【答案】（1） 完全平方公式
（2） 解：理由：设两个奇数分别为，，均为整数，且，则
，
因为，为整数，且，所以和中必定一个是奇数，另一个是偶数，所以一定是偶数，即能被2整除，所以一定能被8整除，即任意两个奇数的平方差一定能被8整除.
（3） 不是，理由：设这两个连续偶数分别为，为整数，则.
因为为整数，所以是奇数，所以任意两个连续偶数的平方差一定是4的倍数，不是8的倍数.
26．（10分）【阅读材料】我们把多项式与叫作完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常常进行如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法.配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题.比如：
例1：把因式分解. 解： . 例2：求的最小值. 解： ， 则当时，有最小值，最小值是.
【初步感知】
（1） 因式分解：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值.
【尝试应用】
（3） 已知，求的值.
【答案】（1）
（2） 解：，所以当时，多项式有最大值，最大值是11.
（3） 因为，
所以，
所以，
所以，所以，，所以，，所以.
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