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第2章 学情评估卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．若分式存在，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2．在，，，中，分式有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4
3．纳米是一种长度单位（符号：）.已知，数据用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
4．下列分式中是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
5．将关于的分式方程去分母、去括号可得（ ）
A. B. C. D.
6．下面是佳佳计算的过程，对于第①②③步，下列说法正确的是（ ）
…………① …………② ………… ③ .
A. 第①②③步都正确 B. 第①②③步都有错
C. 只有第③步有错 D. 第②③两步都有错
7．计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
8．在有理数范围内定义一种运算☆，其规则为☆，根据规则，☆的解为（ ）
A. B. C. D.
9．为了践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某地计划将30公顷的荒山进行绿化，实际绿化时，工作效率是原计划的1.5倍，进而比原计划提前3天完成绿化任务，设原来平均每天绿化荒山公顷，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
10．如果关于的分式方程有整数解，且关于的不等式组有且只有四个整数解，那么符合条件的整数的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
二、填空题（每题3分，共24分）
11．计算：.
12．当的值为_ _ _ _ _ _ 时，分式的值是0.
13．“的2倍与的3倍的倒数的差”用代数式表示为_ _ _ _ _ _ _ _ .
14．化简：_ _ _ _ .
15．关于的分式方程的解为，则的值是_ _ _ _ .
16．若对任意自然数都成立，则_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ .
17．若关于的方程无解，则的值是_ _ _ _ _ _ _ _ .
18．某超市第一次用3 000元购进某种干果销售，第二次又用9 000元购进该干果，但第二次的进价比第一次的进价提高了，购进干果的质量比第一次的2倍还多，如果超市先按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，最后的按原售价的七折售完，超市两次销售这种干果共盈利_ _ _ _ 元.
三、解答题（共66分）
19．（6分）计算：
（1） ；
（2） .
20．（6分）解分式方程：
（1） ;
（2） .
21．（8分）先化简，再求值：，其中.
22．（8分）已知分式.
（1） 化简分式.
（2） 分式的值能等于吗？请说明理由.
23．（9分）阅读下列解题过程，并回答问题：
若，求 的值.
解：因为,所以.
所以.
（1） 解题过程中，由得，是对分式进行了_ _ ；
（2） 仿照以上过程，解决以下问题：已知,求的值.
24．（9分） 宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶和茶百戏.某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花1 480元购进甲种点茶器具套装的数量是花890元购进乙种点茶器具套装数量的2倍.
（1） 求甲、乙两种点茶器具套装的单价；
（2） 某学校社团开展茶文化学习活动，从该网店购进甲、乙两种点茶器具套装共花了2 252元，甲种点茶器具套装比乙种点茶器具套装多2套，则学校购进甲、乙两种点茶器具套装各多少套？
25．[［2025临沂月考］]（10分）用数学的眼光观察：
①等式：,.
②若，求代数式的值.
解：因为，所以，所以，所以.
用数学的思维思考并表达：
（1） 填空：_ _ _ _ ；
（2） 若，求的值；
（3） 已知，求的值.
26．[［2025长沙期末］]（10分）阅读：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“关联分式”，常数称为“关联值”. 如分式，，，则与互为“关联分式”，“关联值”.
（1） 若分式，，判断与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”.
（2） 已知分式，，与互为“关联分式”，且“关联值”.
① 用含的式子表示；
② 若为正整数，且分式的值为正整数，求的值.
第2章 学情评估卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．若分式存在，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2．在，，，中，分式有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
3．纳米是一种长度单位（符号：）.已知，数据用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
4．下列分式中是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
5．将关于的分式方程去分母、去括号可得（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
6．下面是佳佳计算的过程，对于第①②③步，下列说法正确的是（ ）
…………① …………② ………… ③ .
A. 第①②③步都正确 B. 第①②③步都有错
C. 只有第③步有错 D. 第②③两步都有错
【答案】C
7．计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
8．在有理数范围内定义一种运算☆，其规则为☆，根据规则，☆的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
9．为了践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某地计划将30公顷的荒山进行绿化，实际绿化时，工作效率是原计划的1.5倍，进而比原计划提前3天完成绿化任务，设原来平均每天绿化荒山公顷，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
10．如果关于的分式方程有整数解，且关于的不等式组有且只有四个整数解，那么符合条件的整数的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
【答案】A
二、填空题（每题3分，共24分）
11．计算：.
【答案】26
12．当的值为_ _ _ _ _ _ 时，分式的值是0.
【答案】
13．“的2倍与的3倍的倒数的差”用代数式表示为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
14．化简：_ _ _ _ .
【答案】
15．关于的分式方程的解为，则的值是_ _ _ _ .
【答案】1
16．若对任意自然数都成立，则_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ .
【答案】；
17．若关于的方程无解，则的值是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】0或
18．某超市第一次用3 000元购进某种干果销售，第二次又用9 000元购进该干果，但第二次的进价比第一次的进价提高了，购进干果的质量比第一次的2倍还多，如果超市先按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，最后的按原售价的七折售完，超市两次销售这种干果共盈利_ _ _ _ 元.
【答案】5 280
三、解答题（共66分）
19．（6分）计算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式.
20．（6分）解分式方程：
（1） ;
（2） .
【答案】
（1） 解：方程两边同乘，得，
解得，经检验，是分式方程的解.
（2） 方程两边同乘，
得，解得，
经检验，不是分式方程的解，所以分式方程无解.
21．（8分）先化简，再求值：，其中.
解：原式
.
当时，原式.
22．（8分）已知分式.
（1） 化简分式.
（2） 分式的值能等于吗？请说明理由.
【答案】
（1） 解：
.
（2） 不能.理由：令，解得，当时，原分式无意义，所以分式的值不能等于.
23．（9分）阅读下列解题过程，并回答问题：
若，求 的值.
解：因为,所以.
所以.
（1） 解题过程中，由得，是对分式进行了_ _ ；
（2） 仿照以上过程，解决以下问题：已知,求的值.
【答案】（1） 约分
（2） 解：令,则,,,所以原式.
24．（9分） 宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶和茶百戏.某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花1 480元购进甲种点茶器具套装的数量是花890元购进乙种点茶器具套装数量的2倍.
（1） 求甲、乙两种点茶器具套装的单价；
（2） 某学校社团开展茶文化学习活动，从该网店购进甲、乙两种点茶器具套装共花了2 252元，甲种点茶器具套装比乙种点茶器具套装多2套，则学校购进甲、乙两种点茶器具套装各多少套？
【答案】
（1） 解：设甲种点茶器具套装的单价为元，则乙种点茶器具套装的单价为元.
根据题意得，解得.
经检验，是该分式方程的解.所以.
答：甲种点茶器具套装的单价为148元，乙种点茶器具套装的单价为178元.
（2） 设学校购进甲种点茶器具套装套，则购进乙种点茶器具套装套.根据题意，得.解得，所以.
答：学校购进甲种点茶器具套装8套，购进乙种点茶器具套装6套.
25．[［2025临沂月考］]（10分）用数学的眼光观察：
①等式：,.
②若，求代数式的值.
解：因为，所以，所以，所以.
用数学的思维思考并表达：
（1） 填空：_ _ _ _ ；
（2） 若，求的值；
（3） 已知，求的值.
【答案】（1） 4
（2） 解：因为，所以，所以.所以，
所以.
（3） 因为，所以，所以，所以，所以，所以.所以，所以.
26．[［2025长沙期末］]（10分）阅读：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“关联分式”，常数称为“关联值”. 如分式，，，则与互为“关联分式”，“关联值”.
（1） 若分式，，判断与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”.
（2） 已知分式，，与互为“关联分式”，且“关联值”.
① 用含的式子表示；
② 若为正整数，且分式的值为正整数，求的值.
【答案】
（1） 解：因为，，
所以，所以与互为“关联分式”，“关联值”.
（2） ① 因为，，
所以.
因为与互为“关联分式”，且“关联值”，
所以，所以.
② 因为，所以.因为分式的值为正整数，且为正整数，所以或，所以或（舍去）.所以的值为1.
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